Parameter d bei der Sinusfunktion

Parameter d bei der Sinusfunktion Übung

• Beschreibe den Einfluss des Parameters d auf die Sinusfunktion.

  Tipps

  Überlege dir noch einmal, welchen Einfluss der Parameter $d$ in der Funktionsgleichung $f(x)=\sin (x-d)$ hat.

  Du veränderst mit ihm den Wert, von dem du den Sinuswert bestimmst.

  Welchen Einfluss gibt es auf die Amplitude, Periodendauer und die Lage der Sinuskurve?

  Für $d=\frac 1 2 \pi$ und $x=\frac 1 2 \pi$ ergibt sich $f(\frac 1 2 \pi )=\sin(\frac 1 2 \pi - \frac 1 2 \pi)=\sin(0)=0$.

  Bei einer normalen Sinusfunktion mit $d=0$ heißt die gleiche Formel aber $f(\frac 1 2 \pi )=\sin(\frac 1 2 \pi -0)= 1$.

  Was kannst du damit auf die Bedeutung von $d$ schließen? Was ändert sich an der Funktion und was eben nicht?

  Lösung

  Wenn wir negative Werte für d in die Funktionsgleichung einsetzen, wird die Funktion immer nach links verschoben. Wir sehen dies an den Wertetabellen: Wir betrachten zuerst die normale Sinusfunktion

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac 1 2 \pi & \pi & \frac 3 2\pi & 2 \pi \\ \hline y & 0& 1 & 0 & -1 & 0\\ \end {array} $

  und dann die Funktion $f(x)=\sin(x+\frac 1 2 \pi)$, also $d=-\frac 1 2\pi$

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac 1 2 \pi & \pi & \frac 3 2\pi & 2 \pi \\ \hline y & 1& 0 & -1 & 0 & 1\\ \end {array} $

  Es fällt auf, dass die Minima und Maxima in $x$-Richtung verschoben sind und zwar um $\frac 1 2\pi$ nach links.

  Die Amplitude und die Periodendauer bleiben dabei gleich.

  Aussage 1 , 2 und 3 sind also falsch.

  Aussage 4 und 5 sind richtig.

• Beschreibe den Einfluss des Parameters d auf die Sinusfunktion.

  Tipps

  Schau dir das Bild der normalen Sinusfunktion oben noch einmal an und vergleiche es mit der Wertetabelle, wenn wir einen anderen Wert für $d$ einsetzen.

  Was passiert mit der Sinusfunktion, wenn wir vom $x$-Wert etwas abziehen, bevor wir den Sinuswert bestimmen?

  Lösung

  Wenn wir $d=\mathbf{0}$ setzen, erhalten wir die normale Sinusfunktion mit der Wertetabelle

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac 1 2 \pi & \pi & \frac 3 2\pi & 2 \pi \\ \hline y & 0& 1 & 0 & -1 & 0\\ \end {array} $

  • Die Funktion $f(x)=\sin (x-d)$ wird mit $d=0$ zu $f(x)=\sin(x)$ und damit zur normalen Sinusfunktion.

  Wenn wir aber $d=\mathbf{\frac 1 2 \pi}$ setzen, bekommen wir folgende Wertetabelle

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac 1 2 \pi & \pi & \frac 3 2\pi & 2 \pi \\ \hline y & -1& 0 & 1 & 0 & -1\\ \end {array} $

  • Wir berechnen die Funktionswerte, indem wir von $x$ den Wert von $d$ abziehen und davon den Sinus bestimmen.

  Wir sehen, dass der Funktionsgraph nicht in x-Richtung gestreckt oder gestaucht wurde, die Periodendauer ist also gleich geblieben.

  • Die Minima haben nach wie vor den Abstand $2\pi$, also wurde der Funktionsgraph in $x$-Richtung weder gestreckt noch gestaucht.

  Außerdem ist der Funktionsgraph nicht in y-Richtung gestaucht oder gestreckt worden, die Amplitude ist also auch gleich geblieben.

  • Die Maxima bzw. Minima haben nach wie vor denselben Abstand zur x-Achse, nämlich 1. Damit ist auch die Amplitude nicht verändert worden.

  Der Funktionsgraph ist aber um $\frac 1 2 \pi$ versetzt.

  Gilt $d>0$, so ist der Graph also entlang der x-Achse nach rechts verschoben.

  • Das Minimum bei $x=-\frac 1 2 \pi$ der normalen Sinusfunktion ist nach rechts verschoben worden und ist nun bei $x=0$. Die Funktionen werden bei positiven $d$-Werten also nach rechts verschoben.

• Bilde die Funktionsgleichungen anhand der Wertetabellen.

  Tipps

  Vergiss nicht, dass ein positives $d$ den Funktionsgraphen nach rechts verschiebt, während ein negatives $d$ den Graphen nach links verschiebt.

  Stelle dir den Verlauf des Graphen anhand der Wertetabelle einmal bildlich vor.

  Wo sind seine höchsten Werte und wo seine niedrigsten?

  Wo schneidet er die $x$-Achse?

  Und nun vergleiche diesen Verlauf mit dem einer normalen Sinusfunktion.

  Alternativ kannst du Wertetabellen für die Funktionen aufstellen und im Anschluss mit den vorgegebenen Wertetabellen vergleichen.

  Suche die Nullstelle vor dem Maximum. Bei der normalen Sinusfunktion liegt diese bei $x=0$.

  Lösung

  Wir gehen bei den verschiedenen Wertetabellen immer gleich vor. Wir suchen nach der Nullstelle vor dem Maximum.

  Denn diese Nullstelle ist bei der normalen Sinusfunktion im Koordinatenursprung, also untersuchen wir den Abstand zwischen dieser jetzigen Nullstelle und dem Koordinatenursprung.

  Dieser Abstand ist unser gesuchtes $d$.

  Bevor wir anfangen, lässt sich allgemein noch sagen, dass, wenn mehrere solcher Nullstellen im Verlauf oder in der Wertetabelle auftauchen, wir immer die Nullstelle vor dem Maximum nehmen, die am nächsten zum Koordinatenursprung liegt.

  • Erste Wertetabelle: Wir suchen als Erstes die Nullstelle vor dem Maximum. Sie liegt hier bei $x=\frac 3 4 \pi$. Diese Nullstelle ist bei der normalen Sinusfunktion im Koordinatenursprung. Der Funktionsgraph ist also um $\frac 3 4 \pi$ nach rechts verschoben worden. Unser $d$ ist also positiv und ist $d=\frac 3 4 \pi$. Damit lautet die Formel

  $f(x)=\sin(x -\frac 3 4 \pi)$.

  • Zweite Wertetabelle: Hier ist die Nullstelle vor dem Maximum bei $x=-\frac 1 8 \pi$. Der Graph wurde also nach links verschoben, mit $d=–\frac 1 8 \pi$. Unsere Formel lautet nun

  $f(x)=\sin(x + \frac 1 8 \pi)$.

  • Dritte Wertetabelle: Die Suche nach der Formel läuft analog über die Nullstelle vor dem ersten Maximum. Unsere Formel lautet also

  $f(x)=\sin(x - \frac 1 3 \pi)$.

  • Vierte Wertetabelle: Wir finden die Formel wieder über die verschobene Nullstelle. Sie lautet

  $f(x)=\sin(x+ \frac 2 3 \pi)$.

• Ermittle die richtigen Funktionsgleichungen der angegebenen Sinuskurven.

  Tipps

  Überlege dir als Erstes immer, ob die Funktion nach rechts oder links verschoben wurde.

  Damit weißt du immer schon das Vorzeichen von $d$ in der Funktionsgleichung $f(x)=\sin (x-d)$.

  Vergiss nicht:

  • Ist $d<0$, so verschieben wir den Funktionsgraphen nach links.
  • Ist $d>0$, so verschieben wir den Funktionsgraphen nach rechts.

  Am besten suchst du nach der Position, wo der Graph die $x$-Achse schneidet und anschließend in ein Maximum übergeht.

  Diese Stelle ist bei der normalen Sinusfunktion im Koordinatenursprung.

  So kannst du bestimmen, wie der Graph verschoben wurde.

  Lösung

  Wir suchen bei den Diagrammen immer nach der Stelle, wo die Funktion die $x$-Achse schneidet und anschließend in ein Maximum übergeht.

  Diese Stelle ist für die normale Sinusfunktion $f(x)=\sin (x)$ im Koordinatenursprung. So können wir nicht nur die Verschiebungsrichtung bestimmen, sondern erkennen auch, wie groß der Wert von $d$ ist.

  Beim ersten Diagramm finden wir die Nullstelle vor dem Maximum bei $x=\frac 3 8 \pi$. Die Funktion ist also um diesen Wert nach rechts verschoben worden. Damit ist $d=\frac 3 8 \pi$ und die Formel lautet $f(x)=\sin(x-\frac 3 8 \pi)$.

  Beim zweiten Diagramm ist die Nullstelle vor dem Maximum bei $x=-\frac 1 8 \pi$. Die Funktion wurde also nach links verschoben. Die Formel lautet dann $f(x)=\sin(x+\frac 1 8 \pi)$.

  Analog lauten die Formeln für das dritte Diagramm $f(x)=\sin(x -\frac 1 4 \pi)$ und für das vierte Diagramm $f(x)=\sin(x+\frac 3 4 \pi)$.

• Bestimme die Veränderung des Graphen in Abhängigkeit des Parameters $d$ in der Funktionsgleichung $f(x)=\sin (x-d)$.

  Tipps

  Der Parameter $d$ verändert den Wert, von dem du den Sinuswert bestimmst.

  Mache dir vielleicht ein paar Wertetabellen mit den einzelnen Werten.

  So kannst du sehen, wie sich die Funktionsgraphen verschieben.

  Für $d>0$ wird die Sinuskurve entlang der x-Achse nach rechts verschoben.

  Lösung

  Wir bilden zu den Werten die Wertetabellen und sehen so, in welche Richtungen die Graphen verschoben wurden.

  Zu dem Wert $d=\frac 1 2 \pi$ erhalten wir die Wertetabelle, indem wir die typischen Werte für $x$ einsetzen, $d$ abziehen und dann die Sinuswerte berechnen. Die Wertetabelle sieht folgendermaßen aus:

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac 1 2 \pi & \pi & \frac 3 2\pi & 2 \pi \\ \hline y & -1& 0 & 1 & 0 & -1\\ \end {array} $

  Wir sehen, dass der Funktionsgraph nun bei $x=0$ seinen niedrigsten Wert hat. Da dieses lokale Minimum aber sonst bei $x=- \frac 1 2 \pi$ ist, muss die Funktion um $\frac 1 2 \pi$ nach rechts verschoben sein. Der Wert $d=\frac 1 2 \pi$ gehört also zu der Aussage „Der Funktionsgraph wird nach rechts verschoben.“

  Wir überprüfen dies auch für $d=-\frac 1 2 \pi$ und stellen zunächst wieder die Wertetabelle auf

  $ \begin {array} {l|c|c|c|c|c} x & 0 & \frac 1 2 \pi & \pi & \frac 3 2\pi & 2 \pi \\ \hline y & 1& 0 & -1 & 0 & 1\\ \end {array} $

  Hier wird deutlich, dass sich das lokale Maximum bei $x=\frac 1 2 \pi$ nach links verschoben hat zu $x=0$. Der Wert $d=-\frac 1 2 \pi$ gehört also zu der Aussage „Der Funktionsgraph wird nach links verschoben.“

  Analog können wir das für alle anderen Werte überprüfen und erhalten:

  • Der Wert $d=-\frac 3 4 \pi$ gehört also zu der Aussage „Der Funktionsgraph wird nach links verschoben.“

  • Der Wert $d=-\frac 1 4 \pi$ gehört also zu der Aussage „Der Funktionsgraph wird nach links verschoben.“

  • Der Wert $d=\frac 3 2 \pi$ gehört also zu der Aussage „Der Funktionsgraph wird nach rechts verschoben.“

  • Der Wert $d=\frac 1 4 \pi$ gehört also zu der Aussage „Der Funktionsgraph wird nach rechts verschoben.“

• Ermittle die Parameter der Funktionsgleichungen für die vorgegebenen Graphen.

  Tipps

  Wir betrachten Funktionen mit der Gleichung $f(x)=\sin(x-d)+e$.

  Was veränderst du, wenn du zu dem Sinus im Nachhinein noch etwas addierst?

  Wohin würdest du die Funktion verschieben?

  Der Parameter e gibt an, um wie viele Einheiten die Sinuskurve in positive y-Richtung verschoben wurde.

  Lass dich von den zwei Parametern nicht aus der Ruhe bringen. Bestimme zuerst den Parameter $e$ und verschiebe den Graphen im Anschluss in y-Richtung um $-e$. Dann kannst du auch den Parameter $d$ bestimmen.

  Lösung

  Die Funktionen sind nicht nur nach rechts oder links verschoben worden, sondern auch nach oben oder unten. Der Parameter $e$ steht für diese Verschiebung in $y$-Richtung.

  Wir bestimmen zuerst $e$ und überlegen uns im Anschluss, wie die Funktion nach links oder rechts verschoben wurde.

  Erstes Diagramm: Wir sehen, dass das Maximum 2 ist. Normalerweise liegt es aber bei 1. Die Funktion ist also um 1 nach oben verschoben worden. Damit ist unser $e=1$.

  Das erste Maximum ist bei der nicht verschobenen Sinusfunktion bei $x=\frac 1 2 \pi$. Hier ist es aber bei $x=\frac 3 4 \pi$. Der Funktionsgraph wurde also nach rechts verschoben.

  Den Abstand berechnen wir, indem wir die Werte voneinander subtrahieren. Somit bestimmen wir auch direkt unser $d$. Wir rechnen $d=\frac 3 4 \pi - \frac 1 2 \pi=\frac 1 4 \pi=0{,}25\pi$.

  Unsere Formel lautet dann

  $f(x)=\sin(x-0{,}25 \pi) +1$.

  Zweites Diagramm: Das Maximum ist $-1$. Der Graph wurde also um 2 nach unten verschoben. Damit ist $e=-2$.

  Den Wert von $d$ berechnen wir wieder über die Verschiebung des Graphen. Das Maximum ist normalerweise bei $x=\frac 1 2 \pi$, hier ist es aber bei $x=0$. Der Funktionsgraph ist also um $0{,}5\pi$ nach links verschoben worden.

  Damit lautet die Formel

  $f(x)=\sin(x- (-0{,}5\pi))-2$.

  Drittes Diagramm: Wir finden die Parameter wieder durch die Verschiebung des Maximums zunächst in $y$-Richtung und dann in $x$-Richtung. Die Formel lautet

  $f(x)=\sin(x-(-0{,}75\pi ))-0{,}5$.

  Viertes Diagramm: Die Formel finden wir wieder über die Verschiebungen

  $f(x)=\sin(x-0{,}5 \pi)+2$.