Parabeln – Vorzeichen der Funktionswerte

Parabeln – Vorzeichen der Funktionswerte Übung

• Berechne die Nullstellen der Funktion mithilfe der $pq$-Formel.

  Tipps

  Du kannst die $pq$-Formel auf die Normalform anwenden:

  $f(x)=x^2+px+q$

  Hier siehst du, wo du $p$ und $q$ ablesen kannst.

  Vereinfache und berechne bei der $pq$-Formel zuerst die Wurzel.

  Lösung

  Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu berechnen, können wir die $pq$-Formel anwenden, wenn die Funktion in der folgenden sogenannten Normalform vorliegt:

  $f(x)=x^2+px+q$

  Da unsere Funktion bereits in der Normalform vorliegt, können wir die $pq$-Formel direkt anwenden:

  $f(x)=x^2+x-2$

  Die $pq$-Formel lautet:

  $x_{1/2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$

  Vergleichen wir unsere Funktion mit der allgemeinen Normalform, so können wir $p=1$ und $q=-2$ direkt ablesen.

  Wir setzen diese Werte in die $pq$-Formel ein:

  $x_{1/2}=-\frac{1}{2} \pm \sqrt{(\frac{1}{2})^2-(-2)}$

  Wir können nun Schritt für Schritt die Wurzel berechnen:

  $x_{1/2}=-\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}$

  $x_{1/2}=-\frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}$

  Das Rechenzeichen $\pm$ steht abkürzend für die beiden Rechnungen $+$ und $-$. Wir können nun also getrennt die Werte $x_1$ und $x_2$ berechnen, indem wir addieren bzw. subtrahieren:

  $x_1=-\frac{1}{2}- \frac{3}{2}$ und $x_2=-\frac{1}{2} + \frac{3}{2}$

  $x_1=-2$ und $x_2=1$

  Die quadratische Funktion hat demnach Nullstellen bei $x_1=-2$ und $x_2=1$.

• Bestimme den Wertebereich der Funktion.

  Tipps

  Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

  Du kannst die Nullstellen der Funktion in den beiden Klammern ablesen. Welchen Wert musst du jeweils für $x$ einsetzen, damit die jeweilige Klammer Null wird?

  Hier siehst du den Funktionsgraphen.

  Lösung

  Das Vorzeichen:
  Bei der Funktion $f(x)=-(x+2)\cdot(x-2)$ handelt es sich um eine quadratische Funktion, deren Graph eine Parabel ist, die nach unten geöffnet ist. Dies erkennen wir an dem negativen Vorzeichen vor der ersten Klammer.

  Die Nullstellen:
  Um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen, setzen wir den Funktionsterm gleich Null. Bei dem Funktionsterm $-(x+2)\cdot(x-2)$ handelt es sich um ein Produkt. Wir wissen, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn einer der beiden Faktoren Null ist. In unserem Fall ist der Funktionsterm also Null, wenn entweder $(x+2)$ oder $(x-2)$ Null ergibt. Dies ist für $x_1=+2$ und $x_2=-2$ erfüllt. Die Nullstellen der Funktion sind also $x_1=+2$ und $x_2=-2$.

  Die Parabel:
  Wir wissen nun, dass der Funktionsgraph eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen $x_1=+2$ und $x_2=-2$ ist. Du siehst diese Parabel in der Abbildung.

  Der Wertebereich:
  Die Parabel kommt aus dem Negativen. Es gilt daher: $f(x) < 0$ für $x < -2$
  Zwischen den beiden Nullstellen verläuft die Parabel im Positiven. Es gilt: $f(x) > 0$ für $-2 < x < 2$
  Danach gilt erneut: $f(x) < 0$ für $x > 2$

• Ermittle den Wertebereich der quadratischen Funktionen.

  Tipps

  Lies zuerst die Nullstellen ab, und schau, ob die Parabel nach unten oder nach oben geöffnet ist.

  Lösung

  Der Wertebereich einer Funktion gibt an, in welchen Bereichen die Funktion im Positiven und in welchen Bereichen sie im Negativen verläuft. Im positiven Wertebereich haben die Funktionswerte ein positives und im negativen Wertebereich ein negatives Vorzeichen.

  In unseren Beispielen können wir dies direkt an den Funktionsgraphen ablesen. Dazu untersuchen wir, ob die Parabeln nach oben oder nach unten geöffnet sind und wo ihre Nullstellen (Schnittpunkte mit der $x$-Achse) liegen:

  Parabel 1:
  Die Parabel ist nach unten geöffnet und hat die Nullstellen $x_1=-4$ und $x_2=0$. Daher gilt:
  $f(x) > 0$ für $-4 < x < 0$ und
  $f(x) < 0$ für $x < -4$ und $x > 0$

  Parabel 2:
  Die Parabel ist nach oben geöffnet und hat die Nullstellen $x_1=-3$ und $x_2=1$. Daher gilt:
  $f(x) < 0$ für $-3 < x < 1$ und
  $f(x) > 0$ für $x < -3$ und $x > 1$

  Parabel 3:
  Die Parabel ist nach unten geöffnet und hat keine Nullstellen, sie verläuft daher überall im Negativen:
  $f(x) < 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$

  Parabel 4:
  Die Parabel ist nach unten geöffnet und hat die Nullstellen $x_1=-2$ und $x_2=0$. Daher gilt:
  $f(x) > 0$ für $-2 < x < 0$ und
  $f(x) < 0$ für $x < -2$ und $x > 0$

• Formuliere den Wertebereich der quadratischen Funktionen.

  Tipps

  Bestimme zuerst die Nullstellen. Du kannst sie in der faktorisierten Form direkt in den Klammern ablesen.

  Wenn du die Nullstellen kennst und weißt, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist, kannst du dir den Graphen skizzieren.

  Beispiel:

  $f(x)=-(x-1)\cdot (x-3)$

  $f(x) > 0$ für $1 < x < 3$ und $f(x) < 0$ für $x < 1$ und $x > 3$

  Lösung

  Der Wertebereich einer Funktion gibt an, in welchen Bereichen die Funktion im Positiven und in welchen Bereichen sie im Negativen verläuft. Im positiven Wertebereich haben die Funktionswerte ein positives und im negativen Wertebereich ein negatives Vorzeichen.

  Dazu untersuchen wir, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist und wo ihre Nullstellen (Schnittpunkte mit der $x$-Achse) liegen. Um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen, setzen wir den Funktionsterm gleich Null. In unseren Beispielen liegt die Funktion jeweils in der faktorisierten Form vor. Wir können daher die Nullstellen direkt am Funktionsterm ablesen.
  Bei dem Funktionsterm handelt es sich jeweils um ein Produkt aus zwei Klammern. Wir wissen, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn einer der beiden Faktoren Null ist. In unserem Fall ist der Funktionsterm also Null, wenn entweder die erste oder die zweite Klammer Null ergibt.

  Funktion 1:
  $f(x)=(x-4)\cdot (x+5)$
  Die Parabel ist oben geöffnet und hat die Nullstellen $x_1=4$ und $x_2=-5$.
  Daher gilt:
  $f(x) < 0$ für $-5 < x < 4$ und $f(x) > 0$ für $x < -5$ und $x > 4$

  Funktion 2:
  $f(x)=-(x-4)\cdot (x+5)$
  Die Parabel ist unten geöffnet und hat die Nullstellen $x_1=4$ und $x_2=-5$.
  Daher gilt:
  $f(x) > 0$ für $-5 < x < 4$ und $f(x) < 0$ für $x < -5$ und $x > 4$

  Funktion 3:
  $f(x)=(x+4)\cdot (x-5)$
  Die Parabel ist oben geöffnet und hat die Nullstellen $x_1=-4$ und $x_2=5$.
  Daher gilt:
  $f(x) < 0$ für $-4 < x < 5$ und $f(x) > 0$ für $x < -4$ und $x > 5$

  Funktion 4:
  $f(x)=-(x-4)^2 = -(x-4)\cdot (x-4)$
  Die Parabel ist unten geöffnet. Sie hat eine Nullstelle bei $x=4$.
  Daher gilt:
  $f(x) < 0$ für $x < 4$ und $x > 4$

• Gib die verschiedenen Formen der Funktionsgleichung quadratischer Funktionen sowie die Formeln zur Berechnung der Nullstellen an.

  Tipps

  In der faktorisierten Form besteht der Funktionsterm aus Faktoren. Er ist also ein Produkt.

  Die $pq$-Formel ist eine Formel, mit der wir die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ berechnen können.

  Lösung

  Eine quadratische Funktion ist eine Funktion, bei der in der Funktionsgleichung die Variable $x$ quadriert wird. Dabei kann die Funktionsgleichung in unterschiedlichen Formen vorliegen:

  Variante 1: $f(x)=a\cdot(x-d)^2+e$
  Dies nennen wir die Scheitelpunktform. Dieser Name kommt daher, dass man hier an der Funktionsgleichung direkt die Koordinaten des Scheitelpunkts ablesen kann. Es gilt: $S(d\vert e)$

  Variante 2: $f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$
  Wir nennen sie die allgemeine Form.

  Variante 3: $f(x)=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)$
  Dies ist die faktorisierte Form, da hier der Funktionsterm als Produkt aus zwei Faktoren geschrieben wird. Bei dieser Schreibweise ist das Quadrat bei der Variable $x$ nicht direkt zu sehen. Erst wenn wir die Klammern auflösen, erhalten wir wieder die allgemeine Form und können das $x^2$ sehen. Der Vorteil der faktorisierten Form ist, dass wir direkt die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ ablesen können.

  Um die Nullstellen der quadratischen Funktion in der allgemeinen oder der Scheitelpunktform zu berechnen, setzen wir den Funktionsterm gleich $0$ und bringen ihn dann auf Normalform:

  $0=x^2+px+q$

  Dann wenden wir die $pq$-Formel an:

  $x_{1/2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$

• Bestimme den Wertebereich der Funktion.

  Tipps

  Zuerst musst du die Nullstellen der Funktion bestimmen. Setze dazu $f(x)=0$ und bringe die Gleichung auf Normalform:

  $0=x^2+px+q$

  Wenn du die Normalform ermittelt hast, kannst du die $pq$-Formel anwenden, um die Nullstellen zu berechnen.

  Wenn du die Nullstellen bestimmt hast, musst du noch überlegen, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. Dann kannst du sie skizzieren und dir so den Wertebereich überlegen.

  Lösung

  Der Wertebereich einer Funktion gibt an, in welchen Bereichen die Funktion im Positiven und in welchen Bereichen sie im Negativen verläuft. Im positiven Wertebereich haben die Funktionswerte ein positives und im negativen Wertebereich ein negatives Vorzeichen.

  Dazu untersuchen wir, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist und wo ihre Nullstellen (Schnittpunkte mit der $x$-Achse) liegen.

  $f(x)=2x^2-6x-80$

  Wir erkennen an dem positiven Vorzeichen vor dem $2x^2$, dass die Parabel nach oben geöffnet ist.

  Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir den Funktionsterm gleich Null:

  $0=2x^2-6x-80$

  Die Nullstellen können wir nun berechnen, indem wir die $pq$-Formel anwenden. Dazu müssen wir den Funktionsterm zuerst auf Normalform bringen. Wir teilen dafür auf beiden Seiten durch $2$ und erhalten:

  $0=x^2-3x-40$

  Wir können nun $p=-3$ und $q=-40$ ablesen.

  Wir setzen dies in die $pq$-Formel ein und berechnen:

  $x_{1/2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$

  $x_{1/2}=-\frac{-3}{2} \pm \sqrt{(\frac{-3}{2})^2+40}$

  $x_{1/2}=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}+40}$

  $x_{1/2}=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{169}{4}}$

  $x_{1/2}=\frac{3}{2} \pm \frac{13}{2}$

  Wir berechnen nun einzeln $x_1$ und $x_2$:

  $x_1=\frac{3}{2} - \frac{13}{2} = -5$

  $x_2=\frac{3}{2} + \frac{13}{2} = 8$

  Wir wissen jetzt, dass die Parabel nach oben geöffnet ist und die Nullstellen $x_1=-5$ und $x_2=8$ besitzt.
  Damit gilt für den Wertebereich:

  $f(x) < 0$ für $-5 < x < 8$

  $f(x) > 0$ für $x < -5$ und $x > 8$