Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen
Nullstellen bei quadratischen Funktionen sind die Punkte, an denen der Funktionswert den Wert Null annimmt. Mithilfe verschiedener Formen wie der allgemeinen Form, der Normalform oder der Scheitelpunktform können die Nullstellen mathematisch bestimmt werden. Die Anzahl der Nullstellen einer Funktion hängt von ihrer Form ab. Interessiert? Diese und weitere Informationen findest du im folgenden Text!
- Einführung: Nullstellen quadratischer Funktionen bestimmen
- Nullstellen quadratischer Funktionen
- Nullstellen quadratischer Funktionen bestimmen – allgemeine Form
- Nullstellen quadratischer Funktionen bestimmen – Normalform
- Nullstellen quadratischer Funktionen bestimmen – Diskriminante
- Nullstellen quadratischer Funktionen bestimmen – Scheitelpunktform
- Nullstellen quadratischer Funktionen bestimmen – Form ohne absolutes Glied
- Nullstellen quadratischer Funktionen bestimmen – faktorisierte Form
- Zusammenfassung: Nullstellen quadratischer Funktionen rechnerisch bestimmen
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Grundlagen zum Thema Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen
Einführung: Nullstellen quadratischer Funktionen bestimmen
Der Pinguin Fridolin sitzt auf seiner Eisscholle und möchte in hohem Bogen in das Wasser springen. Weil er sich das nicht gleich zutraut, will er die Bewegung erst einmal genau analysieren. Dazu werden im folgenden Text die Nullstellen quadratischer Funktionen berechnet. Anschließend wird das Bestimmen von Nullstellen quadratischer Funktionen einfach erklärt. Der Text enthält zudem verschiedene Beispiele, um die Nullstellen quadratischer Funktionen zu bestimmen. Im letzten Kapital werden die wichtigsten Inhalte in einer tabellarischen Übersicht zusammengefasst.
Nullstellen quadratischer Funktionen
Der Graph einer quadratischen Funktion wird Parabel genannt. Bei einer nach unten geöffneten Parabel wird der höchste Punkt Scheitelpunkt genannt. Bei einer nach oben geöffneten Parabel ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt. Der Scheitelpunkt wird mit einem $S$ bezeichnet. Dort, wo der Graph die $x$-Achse schneidet, liegen die Nullstellen der Funktion.
- Nullstellen sind diejenigen $x$-Werte, für die der Funktionswert gleich null ist, also $f(x) = 0$.
Eine Parabel kann zwei, eine oder keine Nullstellen besitzen.
Nullstellen quadratischer Funktionen bestimmen – allgemeine Form
Betrachten wir zunächst folgende Parabel:
Diese Parabel ist nach unten geöffnet. Ihr höchster Punkt, der Scheitelpunkt, liegt bei $S(1|8)$. Dieser Graph besitzt zwei Nullstellen. Zu dem Graph gehört die folgende Funktion:
$ f(x) = -2 \cdot x^{2} + 4 \cdot x + 6 $
Die Funktionsgleichung liegt in der allgemeinen Form vor. Diese sieht ganz allgemein folgendermaßen aus:
$ f(x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c $
Die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ sind dabei beliebige Zahlen. Es gilt jedoch, dass $a \neq 0$. In unserem Fall ist $a=-2$, $b= 4$ und $c=6$. Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form werden mit der Mitternachtsformel berechnet. Diese lautet:
$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$
Die Zahlen aus der Funktionsgleichung werden in die Mitternachtsformel eingesetzt, die Formel wird vereinfacht und zusammengefasst.
$ x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (-2) \cdot 6}}{2 \cdot (-2)}$
$ x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{-4} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{-4} = \frac{-4 \pm 8}{-4}$
In der Formel gibt es ein Plusminuszeichen $\pm$. Die entsprechenden Terme müssen nun getrennt ausgerechnet werden. Mit dem Pluszeichen wird die Lösung $x_1$ berechnet, mit dem Minuszeichen die Lösung $x_2$.
$x_1 = \frac{-4 + 8}{-4} \qquad x_1 = -1$
$x_2 = \frac{-4 - 8}{-4} \qquad x_2 = 3$
Die beiden Nullstellen befinden sich bei $x_1=-1$ und $x_2=3$.
Nullstellen quadratischer Funktionen bestimmen – Normalform
Vielleicht kennst du quadratische Funktionen vor allem in der Normalform. Diese sieht im Allgemeinen folgendermaßen aus:
$ f(x) = x^{2} + p \cdot x + q $
Bei der Normalform ist der Vorfaktor oder auch Koeffizient von $x^{2}$ gleich $1$. Den Koeffizienten kann man beim Aufschreiben weglassen. Die anderen beiden Koeffizienten werden mit $p$ und $q$ bezeichnet. Zur Lösung der quadratischen Gleichung haben wir bei Gleichungen in allgemeiner Form die Mitternachtsformel verwendet. Für Gleichungen in Normalform verwenden wir die
$x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^{2} - q}$
Auch hier gibt es mit dem Plusminus zwei mögliche Lösungen. Die beiden Lösungen können aber denselben Wert haben. Daher gibt es nicht immer zwei Nullstellen.
Nullstellen quadratischer Funktionen bestimmen – Diskriminante
Wie viele Nullstellen eine quadratische Funktion besitzt, kann mit der Diskriminanten $D$ bestimmt werden. Diese ist der Ausdruck unter der Wurzel in der Mitternachtsformel:
$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$
$D = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c $
Oder der Ausdruck unter der Wurzel in der $pq$-Formel:
$x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^{2} - q}$
$D = (\frac{p}{2})^{2} - q$
Gegeben ist nun folgende Funktion in allgemeiner Form:
$ f(x) = 2 \cdot x^{2} - 4 \cdot x + 1 $
Wir nutzen die entsprechende Diskriminante, um die Anzahl der Nullstellen zu bestimmen:
$D = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c $
$D = (-4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 $
$D = 8$
Ist die Diskriminante größer als null, so hat die Funktion zwei Nullstellen. Denn der Wurzelterm wird in der einen Lösung addiert, in der anderen subtrahiert.
Betrachten wir die folgende Funktion:
$ f(x) = 2 \cdot x^{2} - 4 \cdot x + 2 $
Berechnen wir auch hier die Diskriminante, um herauszufinden, wie viele Nullstellen diese Funktion besitzt:
$D = (-4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 16 - 16$
$D = 0$
Die Diskriminante ist gleich null, daraus lässt sich schließen, dass die Funktion nur eine Nullstelle hat. Die zwei Wurzelterme mit $+$ und $-$ sind dann beide gleich.
Bei der folgenden Funktion sehen wir nach Einsetzen der Werte $a$, $b$ und $c$, dass die Diskriminante kleiner als null ist.
$ f(x) = 2 \cdot x^{2} - 4 \cdot x + 3 $
$D = (-4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 $
$D = -8 $
Eine quadratische Funktion mit negativer Diskriminante hat keine Nullstellen. Denn die Diskriminante ist der Ausdruck unter der Wurzel. Aus negativen Zahlen kann man aber keine Wurzel ziehen. Hier noch einmal zusammengefasst:
- $D> 0 \Rightarrow$ Parabel besitzt zwei Nullstellen.
- $D=0 \Rightarrow$ Parabel besitzt genau eine Nullstelle.
- $D<0 \Rightarrow$ Parabel besitzt keine Nullstelle.
Nullstellen quadratischer Funktionen bestimmen – Scheitelpunktform
Betrachten wir die folgende Parabel:
Ihre Funktionsgleichung ist gegeben als:
$ f(x) = 2 \cdot (x - 3)^{2} - 8 $
Auch hier wollen wir wieder die Nullstellen der Funktion herausfinden. Diese Funktion liegt in Scheitelpunktform vor. Diese sieht im Allgemeinen folgendermaßen aus:
$ f(x) = a \cdot (x - d)^{2} + e $
Aus ihr kann der Scheitelpunkt direkt abgelesen werden. Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(d|e)$. Bei der dargestellten Funktion liegt der Scheitelpunkt also bei $S(3|-8)$. Um die Nullstellen einer in Scheitelpunktform gegebenen quadratischen Funktion auszurechnen, muss lediglich nach $x$ umgestellt werden. Dafür wird der Funktionsterm zunächst gleich null gesetzt.
$\begin{array}{rlll} a \cdot (x - d)^{2} + e& =& 0 & |-e \\ \\ a \cdot (x - d)^{2} &=& -e & |:a \\ \\ (x - d)^{2} &=& - \frac{e}{a} & |\sqrt{} \\ \\ x_{1,2} - d &=& \pm \sqrt{- \frac{e}{a}} & |+d \\ \\ x_{1,2} &=& d \pm \sqrt{- \frac{e}{a}}&\\ \\ \end{array} $
Wir erhalten die Lösungsformel für die Scheitelpunktform. In diese Formel werden nun die Werte von $a$, $d$ und $e$ eingesetzt.
$ x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{- \frac{(-8)}{2}} = 3 \pm \sqrt{ \frac{8}{2}} $
Als Nullstellen ergeben sich nun:
$x_1 = 3 + \sqrt{ \frac{8}{2}} \qquad x_1 = 1$
$x_2 = 3 - \sqrt{ \frac{8}{2}} \qquad \, x_2 = 5$
Die Anzahl der Nullstellen hängt auch hier vom Term unter der Wurzel ab. Da der Term größer als null ist, erhalten wir zwei Nullstellen.
Nullstellen quadratischer Funktionen bestimmen – Form ohne absolutes Glied
Schauen wir uns als Nächstes die folgende Parabel an:
Die zugehörige Funktionsgleichung lautet:
$ f(x) = 2 \cdot x^{2} - 12 \cdot x $
Bei dieser Form ist ein $x$ in allen Termen enthalten. Man nennt diese Form ohne absolutes Glied und schreibt sie allgemein so:
$ f(x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x $
Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion ohne absolutes Glied zu bestimmen, wird der Funktionsterm zunächst null gesetzt. Danach kann ein $x$ ausgeklammert werden.
$\begin{array}{rll} a \cdot x^{2} + b \cdot x &=& 0 \\ \\ a \cdot x \cdot x + b \cdot x &=& 0 \\ \\ x \cdot (a \cdot x + b) &=& 0 \\ \\ \end{array} $
Nun kann der Satz vom Nullprodukt angewandt werden. Dieser besagt:
- Ein Produkt ist gleich null, wenn mindestens einer seiner Faktoren null ist.
Wir erkennen also an der Gleichung $ x \cdot (a \cdot x + b) = 0 $, dass $x=0$ eine Nullstelle ist, da $x$ einer der beiden Faktoren ist.
$x_1 = 0$
Für die andere Nullstelle muss die Klammer gleich null gesetzt und nach $x$ aufgelöst werden.
$a \cdot x + b = 0$
$x_2 = - \frac{b}{a}$
Setzen wir die Zahlen aus der Funktion in diese Formel ein, so erhalten wir die Nullstellen:
$x_1 = 0$
$x_2 = - \frac{-12}{2} = \frac{12}{2} = 6$
Ist in der Form ohne absolutes Glied $b = 0$, dann gibt es nur eine Nullstelle bei $x=0$.
Nullstellen quadratischer Funktionen bestimmen – faktorisierte Form
Die nächste Parabel, die wir betrachten, ist die folgende:
Die dazugehörige Funktionsgleichung lautet:
$ f(x) = (10 - x) \cdot (x + 1)$
Die Form dieser quadratischen Funktion ist besonders einfach. Man nennt diese Form vollständig faktorisiert, also in Faktoren aufgespalten, hier in die beiden Faktoren in den Klammern. Allgemein schreibt man eine vollständig faktorisierte quadratische Funktion als:
$ f(x) = (x - a) \cdot (x - b)$
Weil ein Produkt genau dann null ist, wenn einer der Faktoren null ist, kann man die Nullstellen in dieser Form einfach ablesen. Ist der Faktor $(x-b)$ nicht null, so muss der Faktor $(x-a)$ null sein:
$ 0 = (x - a) \cdot (x - b) \quad \text{angenommen}:\, (x - b) \neq 0$
$ 0 = (x - a)$
Wir setzen $a=10$ ein und lösen die Gleichung nach $x$ auf:
$ 0 = (x_1 - 10) \Rightarrow x_1 = 10 $
Bei dieser Funktion liegt die erste Nullstelle bei $x_1 = 10$.
Ist umgekehrt der erste Faktor $(x-a) \neq 0$, so muss der zweite Faktor null sein, also
$ 0 = (x - a) \cdot (x - b) \quad \text{angenommen}:\, (x - a) \neq 0$
$ 0 = (x - b)$
Für die zweite Nullstelle müssen wir uns vorstellen, dass in der Klammer Folgendes steht:
$ 0 = (x_2 - (-1)) \Rightarrow x_2 = -1$
Zusammenfassung: Nullstellen quadratischer Funktionen rechnerisch bestimmen
Die folgende Tabelle und die dazugehörigen Stichpunkte fassen das Berechnen von Nullstellen quadratischer Funktionen noch einmal zusammen.
| Funktionsgleichung | Nullstellen | Besonderheit |
|---|---|---|
| $f(x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c$ mit $a \neq 0$ | |
Es können zwei, eine oder gar keine Nullstelle vorhanden sein. |
| $ f(x) = x^{2} + p \cdot x + q $ | |
Es können zwei, eine oder gar keine Nullstelle vorhanden sein. |
| $ f(x) = a \cdot (x - d)^{2} + e $ | $ x_{1,2} = d \pm \sqrt{- \frac{e}{a}} $ | Es können zwei, eine oder gar keine Nullstelle vorhanden sein. |
| $ f(x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x $ | $x_1 = 0$ und $x_2 = - \frac{b}{a}$ |
immer mindestens eine Nullstelle; $b=0 \rightarrow 1$ Nullstelle; $b \neq 0 \rightarrow 2$ Nullstellen |
| $ f(x) = (x - a) \cdot (x - b)$ | $x_1 = a$ und $x_2 = b$ |
$a= b \rightarrow 1$ Nullstelle; $a \neq b \rightarrow 2$ Nullstellen |
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Transkript Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen
Fridolin der Pinguin sitzt auf seiner Scholle. Er möchte auch lernen, so toll zu springen und zu tauchen wie seine Freunde. Weil er sich nicht traut, einfach ins Wasser zu hüpfen, will er die Bewegungen erstmal genau analysieren. Und dazu wird er die Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen. Hier springt der majestätische Delfin. Der Sprung verläuft entlang einer Parabel! Eine Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion. Zu dieser Parabel ist dies die zugehörige Funktionsgleichung. Diese Parabel ist nach unten geöffnet, und ihren höchsten Punkt nennt man Scheitelpunkt. Wo der Graph die x-Achse schneidet, liegen die Nullstellen der Funktion. Das sind diejenigen x-Werte, für die der Funktionswert, also f von x, gleich 0 ist. Hier gibt es 2 Nullstellen, das muss aber nicht immer so sein — dazu später mehr. Schauen wir uns die Funktionsgleichung genauer an. Sie liegt in der allgemeinen Form vor — die sieht ganz allgemein SO aus. a, b und c sind dabei beliebige Zahlen, jedoch darf a nicht 0 sein. Bei uns sind a, b und c minus 2, 4 und 6. Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form berechnest du mit der Mitternachtsformel: x eins zwei ist gleich minus b plus/minus Wurzel aus b Quadrat minus vier a c und das Ganze durch zwei a. Du setzt die Zahlen aus der Funktionsgleichung in die Formel ein, vereinfachst und fasst zusammen. In der Formel gibt es ein plus/minus. Die entsprechenden Terme musst du getrennt ausrechnen. Mit dem plus findest du: x 1 ist gleich minus 1. Und mit dem minus: x 2 ist gleich 3. Also sind die beiden Nullstellen bei minus 1 und drei. Vielleicht kennst du quadratische Funktionen vor allem in der Normalform. Hier ist der Vorfaktor, oder auch Koeffizient genannt, von x Quadrat gleich 1. Und meistens nennt man diese Koeffizienten p und q. Wie die Mitternachtsformel bei der allgemeinen Form gibt es für die Normalform die pq-Formel. Und genau wie bei der Mitternachtsformel gibt es mit dem plus/minus zwei mögliche Lösungen. Es muss aber nicht immer zwei Nullstellen geben. Wie viele Nullstellen eine quadratische Funktion besitzt, kannst du mit der Diskriminante bestimmen. Die ist der Ausdruck unter der Wurzel in der Mitternachtsformel oder der pq-Formel. Zur Berechnung der Nullstellen diese Funktion,die in allgemeiner Form vorliegt nutzen wir die Mitternachtsformel und die entsprechende Diskriminante. Die Diskriminante ist dann dieser Ausdruck. Daran, dass die Diskriminante größer ist als 0, erkennst du, dass die Funktion 2 Nullstellen hat – da wir in der Mitternachtsformel einmal diesen Wert addieren und einmal subtrahieren. Bei dieser Funktion ist das anders. Ihre Diskriminante ist gleich 0 und daraus kannst du folgern, dass die Funktion nur eine Nullstelle hat – die beiden Terme mit plus und minus der Wurzel sind dann beide gleich. Und bei dieser Funktion sehen wir, nach Einsetzen der Werte für a, b und c, dass die Diskriminante sogar kleiner als 0 ist! Da die Diskriminante der Ausdruck unter der Wurzel ist, bemerkst du schon das Problem. Aus negativen Zahlen kann man keine Wurzeln ziehen! Und deshalb hat eine quadratische Funktion mit negativer Diskriminante gar keine Nullstellen – das sieht man auch an ihrem Graphen. Nun aber zurück zu Fridolins tollenden Freunden. Fridolin staunt: der schwere Wal kann so elegant tauchen? Er schwimmt entlang einer Parabel mit dieser Funktionsgleichung. Wie funktioniert dieser Tauchgang genau? Wir suchen wieder die Nullstellen dieser Funktion. Wir könnten versuchen, die Klammer aufzulösen und die Mitternachtsformel benutzen um die Nullstellen zu finden. Aber schau mal: die Funktion liegt in Scheitelpunktform vor. Die sieht im Allgemeinen so aus und du kannst aus ihr direkt den Scheitelpunkt ablesen: er liegt bei 3, minus 8. Bei nach oben geöffneten Parabeln ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt der Parabel. Um die Nullstellen einer in Scheitelpunktform gegebenen quadratischen Funktion auszurechnen, musst du nur umstellen und die Lösungsformel sieht SO aus. In die setzen wir die Werte von a, d und e ein und finden als Nullstellen 1 und 5. Die Anzahl der Nullstellen hängt wieder vom Term unter der Wurzel ab. Wenn er größer ist als 0, gibt es 2 Nullstellen; ist er gleich 0, gibt es eine; und ist er kleiner als 0, hat die Funktion gar keine Nullstellen. Große Sprünge macht das Walross nicht — es plumpst einfach ins Wasser. Aber dort macht es einen gekonnten Tauchgang. Der verläuft entlang dieser Parabel, zu der diese Funktionsgleichung gehört. Fridolin sucht wieder die Nullstellen. Bei dieser Form ist ein x in allen Termen enthalten. Man nennt diese Form "ohne absolutes Glied" und schreibt sie allgemein so. Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion ohne absolutes Glied zu bestimmen, kannst du zunächst ein x ausklammern. Dann kannst du den Satz vom Nullprodukt anwenden — ein Produkt ist gleich 0 genau dann, wenn mindestens einer seiner Faktoren 0 ist. Also ist eine Nullstelle automatisch bei x gleich 0. Für die andere musst du die Klammer gleich 0 setzen und nach x auflösen. Und die zweite Nullstelle ist bei minus b durch a. Wenn wir unsere Zahlen einsetzen, finden wir eine Nullstelle bei 0 und die andere bei 6. Wenn in der Form ohne absolutes Glied b gleich 0 ist, gibt es nur die eine Nullstelle bei 0. Bei keinem Meeresbewohner sehen die Sprünge so leicht aus wie bei dem Thunfisch. Er springt entlang einer Parabel, die dieser Funktionsgleichung gehorcht. Was sind die Nullstellen dieser Parabel? Die Form dieser quadratischen Funktion ist besonders einfach: sie ist vollständig faktorisiert, also in Faktoren aufgespalten, hier in die beiden Faktoren in den Klammern. Allgemein schreibt man eine faktorisierte quadratische Funktion SO. Weil ein Produkt 0 ist, wenn einer der Faktoren 0 ist, kannst du nach einer kleinen Umformung die Nullstellen der quadratischen Funktion in dieser Form einfach ablesen. In unserem Fall liegt die erste Nullstelle bei x 1 gleich 10. Für die zweite müssen wir uns vorstellen, dass in der Klammer x minus "minus 1" steht. Und dann können wir die zweite Nullstelle x 2 gleich minus 1 auch ablesen. Tauchen wir also in die Zusammenfassung ein: Wenn du die Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmen sollst, sieh dir zuerst genau an, in welcher Form die Funktion gegeben ist. Die allgemeine Form sieht so aus. Denk daran, dass a nicht 0 ist, b und c aber alle beliebigen Zahlen sein dürfen. Du kannst auch jede quadratische Funktion auf allgemeine Form bringen. Die Nullstellen rechnest du mit der Mitternachtsformel aus. Denk immer daran, dass du manchmal 2, eine oder gar keine Nullstellen findest. Mit der Diskriminante kannst du das schnell herausfinden. In der Normalform sieht eine quadratische Funktion SO aus. Es können alle quadratischen Funktionen auch auf Normalform gebracht werden. Um die Nullstellen auszurechnen, benutzt du die pq-Formel. Auch bei ihr gibt es eine Diskriminante, die dir die Anzahl der Nullstellen angibt. Wenn die Gleichung in der Scheitelpunktform gegeben ist, kannst du direkt den Scheitelpunkt ablesen. Die Nullstellen berechnest du mit dieser Formel und wie viele es gibt, mit dem Ausdruck unter der Wurzel. Bei diesen Formen kann es vorkommen, dass die Funktion gar keine Nullstelle besitzt. Wenn die Funktion ohne absolutes Glied gegeben ist, sieht das anders aus. Hier kannst du ein x ausklammern, und deshalb liegt eine Nullstelle bei Funktionen mit dieser Form immer bei x gleich 0. Die andere liegt bei minus b durch a — wenn aber b gleich 0 ist, sind beide Nullstellen bei x gleich 0. Am schnellsten findest du die Nullstellen bei Funktionen, die in faktorisierten Form vorliegen. Die kannst du einfach ablesen als x 1 gleich a und x 2 gleich b. Achte dabei aber auf die Vorzeichen! Und wenn a und b gleich sind, gibt es nur eine Nullstelle. Fridolin hat die Sprungbewegungen und Tauchformen der anderen Meeresbewohner verstanden. Jetzt will er es selbst ausprobieren. Du schaffst es, Fridolin! Das sind aber viele Nullstellen!
Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen Übung
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Gib an, in welcher Form die jeweilige Funktion vorliegt und wie du ihre Nullstellen berechnen kannst.
TippsDie allgemeine Form einer quadratischen Gleichung setzt sich wie folgt zusammen:
$f(x)=\underbrace{ax^2}_{\text{quadratisches Glied}}+\underbrace{bx}_{\text{lineares Glied}}+\underbrace{c}_{\text{absolutes Glied}}$
In der Normalform einer quadratischen Funktion ist der Vorfaktor des quadratischen Gliedes gleich $1$.
Die Diskriminante der Mitternachtsformel lautet $b^2-4ac$.
LösungIm Folgenden schauen wir uns einige Formen quadratischer Funktionen an. Zudem betrachten wir, wie wir die Nullstellen einer quadratischen Funktion in Abhängigkeit von ihrer Form berechnen können.
Allgemeine Form
Die quadratische Funktion $f(x)=-2x^2+4x+6$ liegt in der allgemeinen Form $f(x)=ax^2+bx+c$ vor.
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form berechnen wir mit der Mitternachtsformel. Diese lautet:
$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Normalform
Die quadratische Funktion $f(x)=x^2-2x-3$ liegt in der Normalform $f(x)=x^2+px+q$ vor.
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in Normalform berechnen wir mit der $pq$-Formel. Diese lautet:
$x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$
Scheitelpunktform
Die quadratische Funktion $f(x)=2(x-3)^2-8$ liegt in der Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ vor.
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform berechnen wir wie folgt:
$x_{1,2}=d\pm\sqrt{-\frac ea}$
Ohne absolutes Glied
Die quadratische Funktion $f(x)=2x^2-12x$ liegt in der Form ohne absolutes Glied $f(x)=ax^2+bx$ vor.
Für die Berechnung der Nullstellen einer quadratischen Funktion ohne absolutes Glied klammern wir die Variable $x$ aus und nutzen den Satz vom Nullprodukt. Dieser besagt, dass ein Produkt genau dann null ist, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. Die Nullstellen lauten dann:
$x_1=0$ und $x_2=-\frac ba$
Faktorisierte Form
Die quadratische Funktion $f(x)=(10-x)(x+1)$ liegt in der faktorisierten Form $f(x)=(x-a)(x-b)$ vor.
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion dieser Form lauten:
$x_1=a$ und $x_2=b$
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Berechne die Nullstellen der gegebenen quadratischen Funktionen.
TippsDie Nullstellen einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form kannst du mithilfe der Mitternachtsformel bestimmen. Diese lautet:
$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in faktorisierter Form $f(x)=(x-a)(x-b)$ lauten:
$x_1=a$ und $x_2=b$
Wenn eine quadratische Funktion ohne absolutes Glied $f(x)=ax^2+bx$ vorliegt, kannst du die Variable $x$ ausklammern. Die Lösungen der Gleichung $x(ax+b)=0$ lauten dann:
$x_1=0$ und $x_2=-\frac ba$
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ kannst du mithilfe folgender Formel berechnen:
$x_{1,2}=d\pm\sqrt{-\frac ea}$
LösungIm Folgenden berechnen wir gemeinsam die Nullstellen der gegebenen quadratischen Funktionen.
Nullstellen der Funktion $f$
Bei der Funktionsgleichung $f(x)=2x^2-12x$ handelt es sich um eine quadratische Funktion ohne absolutes Glied.
Wenn eine quadratische Funktion ohne absolutes Glied $f(x)=ax^2+bx$ vorliegt, können wir die Variable $x$ ausklammern. Die Nullstellen erhalten wir dann mithilfe des Satzes vom Nullprodukt. Dieser besagt, dass ein Produkt genau dann null ist, wenn mindestens einer der Faktoren null ist.
Es folgt für die Berechnung der Nullstellen:
$ \begin{array}{lll} f(x) &=& 0 \\ 2x^2-12x &=& 0 \\ x(2x-12) &=& 0 \end{array} $
Das Produkt $x(2x-12)$ ist dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. Demnach erhalten wir folgende Lösungen:
$ \begin{array}{llll} x_1 &=& 0 & \\ \\ 2x_2-12 &=& 0 & \vert +12 \\ 2x_2 &=& 12 & \vert :2 \\ x_2 &=& 6 & \end{array} $
Nullstellen der Funktion $g$
Bei der Funktionsgleichung $g(x)=2(x-3)^2-8$ handelt es sich um eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform.
Wenn eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ vorliegt, können wir die Nullstellen mithilfe dieser Formel berechnen:
$x_{1,2}=d\pm\sqrt{-\frac ea}$
Für die Funktionsgleichung $g(x)$ erhalten wir dann:
$ \begin{array}{lll} x_{1,2} &=& 3\pm\sqrt{-\frac {-8}2} \\ x_{1,2} &=& 3\pm\sqrt{4} \\ x_{1,2} &=& 3\pm 2 \\ \\ x_1 &=& 5 \\ x_2 &=& 1 \end{array} $
Nullstellen der Funktion $h$
Bei der Funktionsgleichung $h(x)=-2x^2+4x+6$ handelt es sich um eine quadratische Funktion in allgemeiner Form.
Wenn eine quadratische Funktion in allgemeiner Form $f(x)=ax^2+bx+c$ vorliegt, können wir die Nullstellen mithilfe der Mitternachtsformel berechnen:
$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Für die Funktionsgleichung $h(x)$ erhalten wir dann:
$ \begin{array}{lll} x_{1,2} &=& \frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot (-2)\cdot 6}}{2\cdot (-2)} \\ x_{1,2} &=& \frac{-4\pm\sqrt{16+48}}{-4} \\ x_{1,2} &=& \frac{-4\pm\sqrt{64}}{-4} \\ x_{1,2} &=& \frac{-4\pm 8}{-4} \\ \\ x_1 &=& -1 \\ x_2 &=& 3 \end{array} $
Nullstellen der Funktion $k$
Bei der Funktionsgleichung $k(x)=(10-x)(x+1)$ handelt es sich um eine quadratische Funktion in faktorisierter Form.
Um die Gleichung $(10-x)(x+1)=0$ zu lösen, nutzen wir den Satz vom Nullprodukt. Demnach muss entweder $10-x_1=0$ oder $x_2+1=0$ gelten. So erhalten wir folgende Nullstellen für die Funktionsgleichung $h(x)$:
$ \begin{array}{llll} 10-x_1 &=& 0 & \vert +x_1 \\ 10 &=& x_1 & \\ \\ x_2+1 &=& 0 & \vert -1 \\ x_2 &=& -1 & \end{array} $
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Ermittle die Anzahl der Nullstellen der gegebenen quadratischen Funktionen.
TippsDie Nullstellen einer quadratischen Form in Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ lauten:
$x_{1,2}=d\pm\sqrt{-\frac ea}$
Dabei ist der Ausdruck $-\frac ea$ die Diskriminante $D$.
Für die Diskriminante $D$ gelten folgende Zusammenhänge:
- $D>0$: zwei Nullstellen
- $D=0$: eine Nullstelle
- $D<0$: keine Nullstelle
Die Diskriminante für eine quadratische Funktion in allgemeiner Form $f(x)=ax^2+bx+c$ lautet:
$b^2-4ac$
Die Diskriminante für eine quadratische Funktion in Normalform $f(x)=x^2+px+q$ lautet:
$\left(\frac p2\right)^2-q$
LösungUm die Anzahl der Nullstellen der gegebenen Funktionsgleichungen zu bestimmen, betrachten wir deren Diskriminanten. Da hier drei unterschiedliche Formen der quadratischen Funktion vorliegen, verwenden wir unterschiedliche Beziehungen für die jeweiligen Diskriminanten:
- Die Diskriminante $D$ für eine quadratische Funktion in allgemeiner Form $f(x)=ax^2+bx+c$ lautet $~b^2-4ac$.
- Die Diskriminante $D$ für eine quadratische Funktion in Normalform $f(x)=x^2+px+q$ lautet $~\left(\frac p2\right)^2-q$.
- Die Diskriminante $D$ für eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ lautet $~-\frac ea$.
Für die Diskriminante $D$ gelten folgende Zusammenhänge:
- $D>0$: zwei Nullstellen
- $D=0$: eine Nullstelle
- $D<0$: keine Nullstelle
Beispiel 1: $~f(x)=-2x^2+4x+8$
$D=b^2-4ac=4^2-4\cdot (-2)\cdot 8=16+64=80>0$
Diese Funktion besitzt somit zwei Nullstellen.
Beispiel 2: $~g(x)=x^2+6x+9$
$D=\left(\frac p2\right)^2-q=\left(\frac 62\right)^2-9=9-9=0$
Diese Funktion besitzt somit eine Nullstelle.
Beispiel 3: $~h(x)=-2(x-2)^2+8$
$D=-\frac ea=-\frac 8{-2}=4>0$
Diese Funktion besitzt somit zwei Nullstellen.
Beispiel 4: $~k(x)=2x^2+2x+1$
$D=b^2-4ac=2^2-4\cdot 2\cdot 1=4-8=-4<0$
Diese Funktion besitzt somit keine Nullstelle.
-
Ordne den Funktionsgleichungen die zugehörige Parabel zu.
TippsDie Nullstellen einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form $f(x)=ax^2+bx+c$ kannst du mithilfe der Mitternachtsformel bestimmen. Diese lautet:
$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in faktorisierter Form $f(x)=(x-a)(x-b)$ lauten:
$x_1=a$ und $x_2=b$
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ kannst du mithilfe folgender Formel berechnen:
$x_{1,2}=d\pm\sqrt{-\frac ea}$
LösungUm den Parabeln die jeweiligen Funktionsgleichungen zuordnen zu können, berechnen wir im Folgenden deren Nullstellen:
Beispiel 1: $~f(x)=-0,5x^2+x-1$
Da diese quadratische Funktion in allgemeiner Form $f(x)=ax^2+bx+c$ vorliegt, nutzen wir für die Berechnung der Nullstellen die Mitternachtsformel:
$ \begin{array}{lll} x_{1,2} &=& \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x_{1,2} &=& \frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot (-0,5)\cdot (-1)}}{2\cdot (-0,5)} \\ x_{1,2} &=& \frac{-1\pm\sqrt{-1}}{-1} \end{array} $
Weil der Ausdruck unter der Wurzel, also die Diskriminante, negativ ist, besitzt die Funktion keine Nullstelle. Es gibt nur eine Parabel in Timos Skizze, die keine Nullstelle besitzt. Sie ist grün eingezeichnet. Somit können wir die grüne Parabel dieser Funktionsgleichung zuordnen.
Beispiel 2: $~g(x)=-(x-2)^2+4$
Da diese quadratische Funktion in Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ vorliegt, nutzen wir für die Berechnung der Nullstellen folgende Formel:
$ \begin{array}{lll} x_{1,2} &=& d\pm\sqrt{-\frac ea} \\ x_{1,2} &=& 2\pm\sqrt{-\frac 4{-1}} \\ x_{1,2} &=& 2\pm 2 \\ \\ x_1 &=& 4 \\ x_2 &=& 0 \end{array} $
Die Funktion hat ihre Nullstellen in $x_1=4$ und $x_2=0$. Somit können wir die rote Parabel dieser Funktionsgleichung zuordnen.
Beispiel 3: $~h(x)=x^2+4x-5$
Da diese quadratische Funktion in Normalform $f(x)=x^2+px+q$ vorliegt, nutzen wir für die Berechnung der Nullstellen die $pq$-Formel:
$ \begin{array}{lll} x_{1,2} &=& -\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} \\ x_{1,2} &=& -\frac 42\pm\sqrt{\left(\frac 42\right)^2+5} \\ x_{1,2} &=& -2\pm\sqrt{9} \\ x_{1,2} &=& -2\pm 3 \\ \\ x_1 &=& 1 \\ x_2 &=& -5 \end{array} $
Die Funktion hat ihre Nullstellen in $x_1=1$ und $x_2=-5$. Somit können wir die lila Parabel dieser Funktionsgleichung zuordnen.
Beispiel 4: $~k(x)= (x+3)(x-3)$
Da diese quadratische Funktion in der faktorisierten Form $f(x)=(x-a)(x-b)$ vorliegt, nutzen wir für die Berechnung der Nullstellen den Satz vom Nullprodukt:
$ \begin{array}{llll} x_1+3 &=& 0 & \vert -3 \\ x_1 &=& -3 & \\ \\ x_2-3 &=& 0 & \vert +3\\ x_2 &=& 3 & \end{array} $
Die Funktion hat ihre Nullstellen in $x_1=-3$ und $x_2=3$. Somit können wir die gelbe Parabel dieser Funktionsgleichung zuordnen.
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Bestimme, wie viele Nullstellen die gegebenen Funktionen besitzen.
TippsDie Nullstellen einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form $f(x)=a^2+bx+c$ berechnest du mithilfe der Mitternachtsformel:
$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Bei dieser Aufgabe musst du die Nullstellen nicht unbedingt berechnen. Es reicht, wenn du die Diskriminante untersuchst. So findest du heraus, wie viele Nullstellen die Funktion besitzt.
Für die Diskriminante $D=b^2-4ac$ gilt:
- $D>0$: zwei Nullstellen
- $D=0$: eine Nullstelle
- $D<0$: keine Nullstelle
LösungDie Nullstellen einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form berechnen wir mithilfe der Mitternachtsformel:
$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Da wir allerdings nur die Anzahl der Nullstellen suchen, reicht es, die Diskriminante zu betrachten.
Für die Diskriminante $D=b^2-4ac$ gilt:- $D>0$: zwei Nullstellen
- $D=0$: eine Nullstelle
- $D<0$: keine Nullstelle
Beispiel 1: $f(x)=2x^2-4x+1$
$D=(-4)^2-4\cdot 2\cdot 1=16-8=8>0$
Somit hat diese Funktion zwei Nullstellen.
Beispiel 2: $f(x)=2x^2-4x+3$
$D=(-4)^2-4\cdot 2\cdot 3=16-24=-8<0$
Somit hat diese Funktion keine Nullstelle.
Beispiel 3: $f(x)=2x^2-4x+2$
$D=(-4)^2-4\cdot 2\cdot 2=16-16=0$
Somit hat diese Funktion eine Nullstelle.
-
Prüfe die Aussagen zu quadratischen Funktionen bezüglich ihrer Richtigkeit.
TippsEine quadratische Funktion kann in unterschiedlichen Formen vorliegen. Einige lauten wie folgt:
- allgemeine Form: $f(x)=ax^2+bx+c$
- Normalform: $f(x)=x^2+px+q$
- Scheitelpunktform: $f(x)=a(x-d)^2+e$
Eine quadratische Funktion in allgemeiner Form setzt sich wie folgt zusammen:
$f(x)=\underbrace{ax^2}_{\text{quadratisches Glied}}+\underbrace{bx}_{\text{lineares Glied}}+\underbrace{c}_{\text{absolutes Glied}}$
Die faktorisierte Form einer quadratischen Funktion lautet allgemein:
$f(x)=(x-a)(x-b)$
LösungEine quadratische Funktion kann in den folgenden Formen vorliegen:
- allgemeine Form: $f(x)=ax^2+bx+c$
- Normalform: $f(x)=x^2+px+q$
- Scheitelpunktform: $f(x)=a(x-d)^2+e$
- Form ohne absolutes Glied: $f(x)=ax^2+bx$
- faktorisierte Form: $f(x)=(x-a)(x-b)$
$f(x)=\underbrace{ax^2}_{\text{quadratisches Glied}}+\underbrace{bx}_{\text{lineares Glied}}+\underbrace{c}_{\text{absolutes Glied}}$
- Quadratische Funktionen, die entweder in der allgemeinen Form oder in der Normalform oder in der Scheitelpunktform vorliegen, können keine, eine oder zwei Nullstellen haben.
- Eine quadratische Funktion in faktorisierter Form besitzt mindestens eine Nullstelle.
- Eine quadratische Funktion ohne absolutes Glied hat mindestens eine Nullstelle bei $x=0$.
- Ist der Koeffizient des linearen Gliedes gleich null, so besitzt eine quadratische Funktion ohne absolutes Glied beide Nullstellen bei $x=0$. Damit haben solche Funktionen nur eine Nullstelle. Es folgt für eine quadratische Funktion ohne absolutes Glied mit $b=0$ die Funktion $f(x)=ax^2$, welche die Nullstelle $x=0$ besitzt.
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warum gibt es so viele Arten :,(
das ist voll kompliziert, muss ich wirklich alles Auswendig lernen aus diesem Video nur damit ich Nullstellen bestimmen kann?
gut
Danke 🤩
Sehr tolles und verständliches Video! Macht weiter so. LG
Nur leider ist Fridolin ein Pinguin und hat von Mathe nicht den blassesten Schimmer... ^^