Scheitelpunktform
Quadratische Funktionen geben dir Kopfschmerzen? Wir helfen! Der Scheitelpunkt einer Parabel ist der höchste oder tiefste Punkt der Parabel. Er kann einfach abgelesen werden, wenn die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform gegeben ist. Finde heraus, was die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist und wie du die berechnen kannst!
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Grundlagen zum Thema Scheitelpunktform
Scheitelpunkt – Definition
Jede Parabel hat einen Scheitelpunkt. In diesem Text wird dir verständlich erklärt, was der Scheitelpunkt ist und wie du ihn mithilfe der Scheitelpunktform berechnen kannst.
Bei jeder quadratischen Funktion ist der Funktionsgraph eine Parabel. Diese Parabel liegt so im Koordinatensystem, dass ihre Symmetrieachse parallel zur $y$‑Achse verläuft. Die Parabel hat einen besonderen Punkt, nämlich den Scheitelpunkt. Die Parabel ist entweder nach oben oder nach unten geöffnet. Der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt bei einer nach oben geöffneten Parabel oder der höchste Punkt bei einer nach unten geöffneten Parabel.
Der Scheitelpunkt einer Parabel im Koordinatensystem ist der Extrempunkt der Parabel, das heißt der höchste oder der tiefste Punkt.
Ist die Parabel durch die Funktionsgleichung $y = f(x)$ beschrieben, ist der Scheitelpunkt derjenige Punkt des Funktionsgraphen mit dem kleinsten bzw. größten $y$-Wert. Der Scheitelpunkt $S$ wird durch seine Koordinaten $S(x|y)$ angegeben. Die Frage nach dem Scheitelpunkt einer Parabel ist also die Frage nach den Koordinaten dieses Punkts. Um sie zu ermitteln, können wir die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion bestimmen.
Wusstest du schon?
Für den Bau von Achterbahnen werden mathematische Konzepte wie die Scheitelpunktform genutzt, um die spannendsten Streckenabschnitte sicher zu gestalten. Der höchste Punkt einer Achterbahnfahrt, der Scheitelpunkt, wird mit solchen Berechnungen entworfen, um den ultimativen Nervenkitzel zu garantieren!
Quadratische Funktion – allgemeine Form
Bevor wir uns die Scheitelpunktform anschauen, wiederholen wir kurz, was die allgemeine Form eine quadratische Funktion ist. Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion vom Grad $2$. Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet wie folgt:
$f(x)=ax^2+bx+c$
Hier siehst du zum Beispiel den Graphen der Funktion $f(x)=x^2$, die sogenannte Normalparabel.
Wie du erkennen kannst,
- ist diese Parabel nach oben geöffnet,
- ist der tiefste Punkt der Parabel ihr Scheitelpunkt und
- ist die Parabel achsensymmetrisch. Die Symmetrieachse ist hier die $y$‑Achse.
Jede Parabel hat eine Symmetrieachse, die durch den Scheitelpunkt parallel zur $y$‑Achse verläuft.
Quadratische Funktion – Scheitelpunktform
Jetzt kommen wir zur Scheitelpunktform. Diese lautet wie folgt:
$f(x)=a(x-d)^2+e$
Der Scheitelpunkt $S(d|e)$ kann dieser Form direkt entnommen werden. Dabei müssen wir darauf achten, dass sich das Vorzeichen des Parameters $d$ als Koordinate des Scheitelpunkts umkehrt.
Beispiele:
Scheitelpunktform: $f(x) = a(x-d)^{2} + e \quad \Leftrightarrow \quad$ Scheitelpunkt: $S(d|e)$
Scheitelpunktform – Parameter
Nun betrachten wir die Bedeutung der drei Parameter $a$, $d$ und $e$ aus der Scheitelpunktform genauer.
Parameter $a$
Der Parameter $a$ mit $a\neq 0$ ist der Streckfaktor:
- Für $|a|>1$ wird die Parabel gestreckt.
- Für $|a|<1$ wird sie gestaucht.
Betrachte als Beispiel für $|a|<1$ die Funktion $f(x)=0{,}5x^2$. Die zugehörige rote Parabel ist breiter als die grüne Normalparabel.
Wenn der Streckfaktor im Betrag größer ist als $1$, wie zum Beispiel bei der blauen Parabel mit ${f(x)=3x^2}$, dann verläuft der Graph schmaler als die grüne Normalparabel.
Was passiert, wenn $a$ negativ ist? Dann ist die Parabel nach unten geöffnet. Dies siehst du hier am Beispiel der Funktion $f(x)=-x^2$. Die zugehörige violette Parabel ist an der $x$‑Achse gespiegelt.
Der Scheitelpunkt ist bei jeder der oben angegebenen Parabeln der Koordinatenursprung $S(0|0)$, da der Parameter $a$ die Parabel lediglich staucht oder streckt, aber nicht verschiebt.
Parameter $e$
Der Parameter $e$ bewirkt eine Verschiebung in Richtung der $y$‑Achse:
- Nach oben für $e>0$
- Nach unten für $e<0$
Durch die Verschiebung ändert sich auch die $y$-Koordinate des Scheitelpunkts.
Hier siehst du die gelbe Parabel zu $f(x)=x^2+2$, die um $2$ Längeneinheiten nach oben verschoben ist. Der Scheitelpunkt ist $S(0|2)$.
Die hellblaue Parabel gehört zu $f(x)=x^2-2$. Sie ist um $2$ Längeneinheiten nach unten verschoben. Der Scheitelpunkt ist $S(0|-2)$.
Fehleralarm
Oft wird angenommen, dass der Scheitelpunkt immer der höchste Punkt einer Parabel ist. Tatsächlich kann er auch der tiefste Punkt sein, abhängig von der Öffnungsrichtung der Parabel.
Parameter $d$
Der Parameter $d$ bewirkt eine Verschiebung in Richtung der $x$‑Achse. Sei die Scheitelpunktform gegeben durch $f(x)=a(x-d)^2+e$, dann
- wird die Parabel nach rechts verschoben für $d>0$ und
- nach links für $d<0$.
Beachte dabei das Minuszeichen! Die Parabel zu der Funktion $f(x)=(x-2)^2$ ist um $2$ Längeneinheiten nach rechts verschoben. Der Scheitelpunkt ist $S(2|0)$.
Die Parabel zu $f(x)=(x+1)^2 = (x - (-1))^2$ ist dagegen um $1$ Längeneinheit nach links verschoben. Der Scheitelpunkt ist $S(-1|0)$.
Kennst du das?
Vielleicht hast du schon einmal beobachtet, wie der Wasserstrahl eines Springbrunnens auf und ab sprudelt. Der höchste Punkt, den das Wasser erreicht, ist der Scheitelpunkt einer sehr steilen Parabel. Mit der Scheitelpunktform kann genau berechnet werden, wie hoch das Wasser steigt und wie weit es spritzt. Das zeigt, wie Mathematik und natürliche Vorgänge miteinander verbunden sind.
Allgemeine Form und Scheitelpunktform ineinander umwandeln
Man kann die allgemeine Form einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform umwandeln und umgekehrt:
$\quad f(x) = ax^{2} + bx + c \quad \longleftrightarrow \quad f(x) = a(x-d)^{2} + e $
Aber wie funktioniert das?
Scheitelpunktform in allgemeine Form umwandeln
Schauen wir uns zunächst an, wie man die Scheitelpunktform in die allgemeine Form umwandeln kann. Wir betrachten dazu folgende quadratische Funktion in Scheitelpunktform:
$f(x) = 2(x-8)^{2} +2$
Den Klammerterm können wir mit der zweiten binomischen Formel umformen:
$(m-n)^{2} = m^{2} -2mn + n^{2}$
$\quad \downarrow$
$\begin{array}{rcll} f(x) &=& 2\cdot (x-8)^{2} + 2 & \big\vert ~\text{binomische Formel}\\ &=& 2(x^{2}-2\cdot x \cdot 8 + 8^{2}) +2 \\ &=& 2x^2 - 32x + 128 + 2 \\ &=& 2x^{2} -32x +130 \end{array}$
Wir haben also die Scheitelpunktform umgewandelt, indem wir die Klammer mithilfe der zweiten binomischen Formel ausmultipliziert und danach die Terme zusammengefasst haben. Aber wie funktioniert die Umwandlung in die andere Richtung? Wie bestimmt man die Scheitelpunktform, wenn die Funktion in allgemeiner Form gegeben ist?
Allgemeine Form in Scheitelpunktform umwandeln
Unser Ausgangspunkt ist die allgemein Form, die wir eben bestimmt haben:
$f(x) = 2x^{2} -32x +130 $
Um auf die Scheitelpunktform zu kommen, müssen wir eine Klammer erzeugen. Dafür klammern wir zuerst den Faktor vor dem $x^{2}$ aus den Termen mit $x^{2}$ und $x$ aus:
$f(x) = 2(x^{2} - 16x)+130 $
Vergleichen wir die neu entstandene Klammer in der Funktionsgleichung mit der zweiten binomischen Formel:
$2(x^{2} - 16x)+130 = f(x)$
$m^{2}-2mn+n^{2} = (m-n)^{2}$
In der binomischen Formel finden wir an erster Stelle einen quadratischen Term. Auch in der Klammer taucht so ein Term auf: $m^{2} \leftrightarrow x^{2}$. Darauf folgt der Term $-2mn$. In der Klammer steht $-16x$. Das müssen wir auf die gleiche Form bringen. Das $x$ haben wir schon mit dem $m$ der binomischen Formel identifiziert. Die $16$ können wir auch schreiben als $2\cdot8$ und erhalten so die Form $2 \cdot x \cdot 8$. Also hat $n$ den Wert $8$. Der dritte Term der binomischen Formel ist das $n^{2}$, dort müsste in der Klammer also $8^{2}=64$ stehen, damit wir sie anwenden können. Leider fehlt dieser dritte Term.
Der Trick mit der quadratischen Ergänzung
Wir können aber einen Trick anwenden, um die Formel doch noch anwenden zu können. Wir addieren die $64$, die wir brauchen, und ziehen sie sofort wieder ab. So ändern wir den Wert der Gleichung nicht, denn wir haben eigentlich nur eine Null addiert, weil $+64-64$ Null ergibt. Diese Null hilft uns aber, deswegen nennt man sie auch nahrhafte Null.
$f(x) = 2(x^{2} -2\cdot x \cdot 8 \underbrace{~+~64-64}_{=~0}) + 130 \newline = 2(\underbrace{x^{2} -2\cdot x \cdot 8 +64}_{\text{binomische Formel}}) \underbrace{~-~128 + 130}_{=~2}$
Jetzt müssen wir nur noch die binomische Formel anwenden und erhalten:
$f(x) = 2(x-8)^{2} +2$
Das ist gerade die Scheitelpunktform, mit der wir angefangen haben.
Ausblick – das lernst du nach Scheitelpunktform
Vertiefe deine Kenntnisse der Mathematik und lerne, wie du den Scheitelpunkt mithilfe der Nullstellen berechnen kannst. Die Scheitelpunktform kann dir auch dabei helfen, Extremwertaufgaben mit quadratischen Funktionen zu lösen.
Sieh dir außerdem Funktionsscharen und die Bedeutung der Ortskurve an, um Parabeln besser zu verstehen. Sei gespannt auf neue Herausforderungen!
Zusammenfassung der Scheitelpunktform
- Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel im Koordinatensystem.
- Wir können ihn einfach ablesen, wenn die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform gegeben ist:
$\quad f(x) = a(x-d)^{2} + e \quad \Leftrightarrow \quad$ Scheitelpunkt: $S(d|e)$ - Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion kann in die Scheitelpunktform umgewandelt werden und andersherum:
Häufig gestellte Fragen zum Thema Scheitelpunkform
Transkript Scheitelpunktform
Für Matheo ist er jedes Jahr ein absolutes Highlight: Der Mathe-Jahrmarkt in Castrop-Rauxel. Was es da alles gibt! Riesen-Polygon, Sinusachterbahn, Bogenmaß schießen und auch ein paar besondere Herausforderungen wie den parabolischen Extraktor. Um an die begehrten Preise zu kommen, muss man eine Parabel steuern, indem man ihre Funktionsgleichung anpasst. Der Scheitelpunkt der Parabel soll dann genau auf dem Knopf landen. Dafür muss sich Matheo mit der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion auskennen. Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet f von x ist gleich a 'x Quadrat' plus b x plus c. Betrachten wir Parabeln ohne Streckung und Spiegelung, dann ist der Vorfaktor a gleich 1. Wir gehen hier von der Normalparabel aus. Diese hat die Gleichung 'f von x gleich x Quadrat'. Wir können sie in y-Richtung verschieben, indem wir hier etwas ergänzen. Um die Normalparabel um 5 Längeneinheiten nach oben zu verschieben, addieren wir 5. Um die Parabel in x-Richtung zu verschieben, müssen wir hier etwas ergänzen. Achtung mit dem Vorzeichen! Um die Funktion nach rechts zu verschieben, müssen wir subtrahieren! Indem wir 3 abziehen, verschieben wir die Parabel um 3 Längeneinheiten nach rechts. Was haben wir genau gemacht? Wir haben uns überlegt, wie wir die Parabel, und damit ihren Scheitelpunkt, verschieben und haben die Gleichung der Normalparabel entsprechend abgewandelt. Haben wir umgekehrt eine quadratische Funktion in dieser Form gegeben, können wir den Scheitelpunkt direkt ablesen. Deshalb heißt diese Form die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion. Matheo will diesen Punkt bei 8 2 erreichen. Die Scheitelpunktform der entsprechenden Parabel lautet also f von x ist gleich 'in Klammern' 'x minus 8' zum Quadrat plus 2. Dagegen hat die Normalparabel ihren Scheitelpunkt bei 0 0. Daher ist hier eine 0 und hier auch. Wir erhalten also f von x gleich x Quadrat. Bei der Normalparabel ist also die Scheitelpunktform mit der allgemeinen Form identisch. Eine verschobene Normalparabel hat eine allgemeine Form und eine Scheitelpunktform. Natürlich kann man beide Formen ineinander überführen. Aber, wie geht das? Schauen wir uns die Scheitelpunktform von Matheos Funktion einmal näher an: hier haben wir eine quadrierte Klammer, die wir mit Hilfe der zweiten binomischen Formel ausmultiplizieren können. Wenn wir diese Summanden noch zusammenfassen, erhalten wir die allgemeine Form von Matheos quadratischer Funktion. Und Matheo kann jetzt die Gleichung eingeben. Und wie geht das umgekehrt? Um von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form zu kommen, haben wir eine Klammer mit Hilfe einer binomischen Formel ausmultipliziert. Für den umgekehrten Fall müssen wir also eine der binomischen Formeln nutzen, um eine Klammer zu erzeugen. Schauen wir uns dazu Matheos quadratische Funktion in ihrer allgemeinen Form noch einmal an und vergleichen sie mit der zweiten binomischen Formel. Die 16x können wir in '2 mal x mal 8' umwandeln. Dann können wir m mit x und n mit 8 identifizieren. Für 'm Quadrat' haben wir 'x Quadrat'. Das steht hier, sehr gut! Genauso rechnen wir bei 'n Quadrat': Nämlich 8 Quadrat das ergibt 64. Mh! Das steht hier aber nicht da! Wir können den Funktionsterm also nicht unmittelbar mit der zweiten binomischen Formel zusammenfassen. Damit uns das doch gelingt, benutzen wir einen Trick. Wir addieren hier einfach die benötigte 64. Wenn wir sie gleich wieder abziehen, haben wir den Term nicht verändert, denn zusammen ergeben 64 minus 64 null. Jetzt können wir diesen Teil des Terms mit der zweiten binomischen Formel umformen. Der Trick mit der Null heißt quadratische Ergänzung. Die hinzugefügte Null hat viele Namen: "nahrhafte Null","produktive Null" oder auch "Nullergänzung". Wir wenden die zweite binomische Formel an. Dann bleiben hier 'minus 64' 'plus 66' übrig. Das ergibt 2 und wir erhalten die Scheitelpunktform von Matheos Funktion, die wir schon kennen. Bisher haben wir nur den Fall betrachtet, dass in der allgemeinen Form der Faktor a gleich 1 ist. Dabei handelte es sich um verschobene Normalparabeln. Sind aber gestreckte, gestauchte oder gespiegelte Parabeln gegeben, dann ist der Faktor a ungleich 1. Wie gehen wir dann vor? Zunächst klammern wir den Faktor so aus. Dann ziehen wir hier eine 2 raus. Als nahrhafte Null ergibt sich 2 Quadrat 'minus 2 Quadrat'. Dann können wir diese Glieder mit der zweiten binomischen Formel zusammenfassen. Nun können wir die äußere Klammer wieder mit der 3 ausmultiplizieren und hier noch etwas zusammenfassen. Den Scheitelpunkt können wir auch hier direkt ablesen: Er liegt bei 2 3. Der Vorfaktor ist der gleiche wie bei der allgemeinen Form. Er zeigt nur die Streckung der Parabel an und spielt für den Scheitelpunkt keine Rolle. Fassen wir das noch einmal zusammen: Wir können jede quadratische Funktion in allgemeiner Form und in Scheitelpunktform angeben. An der Scheitelpunktform kann man den Scheitelpunkt des Graphen direkt ablesen. Um sie in die allgemeine Form umzuwandeln, multiplizieren wir die Klammer mit Hilfe einer binomischen Formel aus. Wenn man umgekehrt die allgemeine Form in die Scheitelpunktform überführen will, muss man mit Hilfe einer binomischen Formel die Klammer erzeugen. Dazu wird die quadratische Ergänzung gebraucht. Und Matheo? Der hat sich seinen Preis redlich verdient! Eine nahrhafte Null, wie schön! Au! Manchmal ist Mathe wirklich ein hartes Brot!
Scheitelpunktform Übung
-
Vergleiche die Funktionsgleichungen und Scheitelpunkte.
TippsDer Scheitelpunkt der nicht verschobenen oder gespiegelten Normalparabel liegt bei $(0|0)$.
Setzt du die $x$-Koordinaten des Scheitelpunktes in die Funktionsgleichung ein, so ergeben sich die $y$-Koordinaten des Scheitelpunktes als Funktionswerte.
Die Parabel $f(x) = (x-1)^2 -3$ hat den Scheitelpunkt $S(1|-3)$.
LösungAn der Scheitelpunktform einer Normalparabel kannst du ihren Scheitelpunkt direkt ablesen. Die Scheitelpunktform sieht so aus:
$f(x)= (x-d)^2 + e$
Der Scheitelpunkt liegt bei $(d|e)$. Du nimmst also den Subtrahenden in der quadrierten Klammer als $x$-Koordinate des Scheitelpunktes und den Term außerhalb der quadrierten Klammer als $y$-Koordinate. Dass dies der Scheitelpunkt ist, kannst du so einsehen: Setzt du für $x$ den Minuenden (hier also $d$) ein, so ist der Term in der Klammer $0$. Für jeden anderen Wert von $x$ ist der Term in der Klammer $\neq 0$ und die Klammer wird durch das Quadrieren $>0$. Der Funktionswert ist daher an jeder anderen Stelle größer als bei $x=d$. Daher ist der Tiefpunkt $(d|f(d)) = (d|e)$.
Hier erhältst du folgende Paare aus Funktionsgleichungen und Scheitelpunkten:
- Die Normalparabel $f(x) = x^2$ hat den Scheitelpunkt $S(0|0)$.
- Die Funktion $f(x) = (x-8)^2 +2$ beschreibt eine verschobene Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(8|2)$.
- Die Funktion $f(x) = 3(x-2)^2 +3$ hat denselben Scheitelpunkt wie die Funktion $f(x) = (x-2)^2 +3$, nämlich $S(2|3)$. Sie ist nur etwas mehr gestreckt.
- Die Scheitelpunktform $f(x)=(x-d)^2 +e$ steht für eine verschobene Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(d|e)$.
-
Beschreibe, wie man die Funktionsgleichungen ineinander umrechnet.
TippsSetzt du die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes in die Scheitelpunktform ein, so wird die quadrierte Klammer $0$.
Die zweite binomische Formel lautet:
$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$
In der allgemeinen Form der Parabelgleichung $f(x) = a \cdot x^2+b \cdot x + c$ ist das lineare Glied $b \cdot x$.
LösungEine Parabel ist der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion. Der Funktionsgraph der Funktion $f(x) = x^2$ ist die Normalparabel. Ihr Scheitelpunkt ist der Punkt $S(0 |0)$. Verschiebt man die Normalparabel im Koordinatensystem, so hat die Funktionsgleichung die allgemeine Form:
$f(x) = x^2 +b \cdot x +c$
Den Scheitelpunkt der Parabel kann man in der Scheitelpunktform leichter ablesen, denn dann hat die Funktionsgleichung folgende Form:
$f(x) = (x-d)^2 +e$
Hier ist der Scheitelpunkt:
$S(d|e)$
Um die Scheitelpunktform einer Funktion in die allgemeine Form umzurechnen, muss mithilfe der binomischen Formeln ausmultipliziert werden.
Beispiel:
$f(x) = (x-8)^2 +2 $
$= x^2 -16 \cdot x +64 +2$
$= x^2 - 16x + 66$
Um die allgemeine Form in die Scheitelpunktform umzurechnen, müssen Klammern mithilfe des linearen Glieds erzeugt werden:
$f(x) = x^2 - 16x + 66 = x^2 - 2 \cdot 8x+66$
Da das Absolutglied nicht zu der zweiten binomischen Formel passt, kann die quadratische Ergänzung angewendet werden:
$f(x) = x^2 -2 \cdot 8x + (64 -64) +2 = (x-8)^2 + 2$
-
Ermittle die Scheitelpunkte bzw. die Scheitelpunktform und anschließend die allgemeine Form.
TippsDie Scheitelpunktform kannst du leicht in die allgemeine Form umrechnen, indem du die Klammer ausmultiplizierst.
Die Parabel $f(x) = (x-(-1))^2 = x^2 +2x+1$ hat den Scheitelpunkt $(-1|0)$.
LösungAn der Scheitelpunktform der Parabelgleichung kannst du den Scheitelpunkt direkt ablesen. Umgekehrt kannst du einem Scheitelpunkt die Funktionsgleichung der Normalparabel in Scheitelpunktform zuordnen: Hat der Scheitelpunkt die Koordinaten $(d|e)$, so lautet die zugehörige Scheitelpunktform der Normalparabel $f(x)= (x-d)^2+e$. Zwischen der allgemeinen Form und der Scheitelpunktform kannst du durch quadratische Ergänzung bzw. Ausmultiplizieren umrechnen.
Hier erhältst du folgende Zuordnungen:
$S(4|2)$
- Die Scheitelpunktform lautet $f(x) = (x-4)^2 +2$.
- Daraus erhältst du die allgemeine Form $f(x)= x^2 -2\cdot 4x+16+2 = x^2 -8x+18$ durch Ausmultiplizieren.
- Aus dieser Scheitelpunktform kannst du die allgemeine Form ausmultiplizieren, nämlich $f(x) = (x-2)^2 +4 = x^2-4x-4-4 = x^2-4x+8$.
- Der zugehörige Scheitelpunkt ist $S(2|4)$. Den liest du aus der obigen Scheitelpunktform ab.
- Der Scheitelpunkt ist hier $S(-2 \vert {-}4)$. Dieser lässt sich leicht aus der Scheitelpunktform ablesen.
- Um die Funktion in die allgemeine Form zu bringen, muss die Klammer ausmultipliziert werden: $f(x) = (x+2)^2-4 = x^2 + 4x +4 -4 = x^2 + 4x$.
-
Ermittle die Scheitelpunktform aus der allgemeinen Form.
TippsDie allgemeine Form einer verschobenen Normalparabel $f(x) = x^2 + bx + c$ kannst du mittels quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform umrechnen. Dazu klammerst du aus dem linearen Term den Faktor $2$ aus und ergänzt $0 = \frac{b^2}{4} - \frac{b^2}{4}$:
$\begin{array}{rcl} f(x) &=& x^2 + bx + c \\ &=& \big(x+ \frac{b}{2}\big)^2 + \big(-\frac{b^2}{4} +c\big) \end{array}$
Steht ein Faktor vor dem quadratischen Glied, so muss dieser zunächst ausgeklammert werden. Anschließend kann die quadratische Ergänzung durchgeführt werden, indem der Vorfaktor des linearen Glieds halbiert und dann quadriert wird. Danach folgt die Anwendung der binomischen Formel und zum Schluss muss noch so weit wie möglich ausgeklammert werden.
Beispiel:
$f(x) = 3x^2 - 18x + 6$
$~~= 3 (x^2- 6x +2)$
$~~= 3 (x^2 - 2\cdot 3 x + (3^2 -3^2) +2)$
$~~= 3 ((x-3)^2 -7)$
$~~= 3(x-3)^2 - 21$
LösungUm aus der allgemeinen Form einer Parabelgleichung die Scheitelpunktform zu gewinnen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
Ist der Koeffizient des quadratischen Terms $1$ oder $-1$, so kannst du die quadratische Ergänzung direkt aus dem linearen Term ablesen, indem du einen Faktor $2$ ausklammerst.
Ist der Koeffizient des quadratischen Terms $\neq \pm1$, musst du diesen Koeffizienten zuerst ausklammern und bei der Umrechnung berücksichtigen.
-
Bestimme die Scheitelpunkte.
TippsDie Parabel $f(x) = (x-10)^2+30$ hat den Scheitelpunkt $S(10|30)$.
Die Parabel mit der Funktionsgleichung $f(x) = 2x^2 +4x$ ist gegenüber der Normalparabel gestreckt und verschoben.
LösungDer Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine nach oben oder nach unten geöffnete Parabel. Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion mit auf $1$ normierten Koeffizienten des quadratischen Glieds heißt Normalparabel. Die Funktionsgleichung einer Normalparabel kannst du in der allgemeinen Form $f(x) = x^2 + bx + c$ oder in der Scheitelpunktform $f(x) = (x-d)^2 + e$ darstellen. Spricht man von der Normalparabel, so ist die Funktion mit $b=c=0$ in der allgemeinen Form bzw. $d=e=0$ in der Scheitelpunktform gemeint.
Folgende Aussagen sind falsch:
- $f(x) = 3(x-2)^2 + 3 \\ \Rightarrow S(2 \vert -3)$
- $f(x) = (x-8)^2 + 2 \\ \Rightarrow S(-8|2)$
-
Benenne die Funktionsgraphen anhand ihrer Scheitelpunkte.
Tipps- Besitzt das quadratische Glied ($ax^2$) ein positives Vorzeichen, ist die Parabel nach oben geöffnet. Ist das Vorzeichen negativ, ist die Parabel nach unten geöffnet.
- Ein positives lineares Glied ($bx$) gibt an, dass die Parabel nach links verschoben ist. Ein negatives lineares Glied gibt hingegen an, dass die Parabel nach rechts verschoben ist.
Der Scheitelpunkt ist der Tiefpunkt der nach oben geöffneten Parabel und der Hochpunkt der nach unten geöffneten Parabel.
Bestimme die Scheitelpunktform der Parabeln, indem du den Scheitelpunkt aus der Zeichnung abliest. Rechne dann die Scheitelpunktform in die allgemeine Form um.
Die Funktion $f(x) = x^2 +2x -3$ hat den Scheitelpunkt $(-1|-4)$, denn die Scheitelpunktform lautet:
$f(x) = x^2 + 2x -3 = (x+1)^2 -1-3 = (x-(-1))^2 -4$
LösungDer Graph einer quadratischen Funktion $f(x) = ax^2+bx+c$ ist eine nach oben oder nach unten geöffnete Parabel. An dem Vorzeichen des quadratischen Glieds kannst du die Öffnungsrichtung ablesen: Ist das quadratische Glied positiv, ist die Parabel nach oben geöffnet, anderenfalls nach unten.
Um den Graphen die passenden Funktionsgleichungen zuzuordnen, kannst du die Scheitelpunktform mithilfe der Scheitelpunkte aufstellen und anschließend durch Ausmultiplizieren in die allgemeine Form bringen.
Ein anderer Weg: Du bringst die einzelnen Funktionen durch das Anwenden der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform und liest dann die Scheitelpunkte ab.
Wählst du z. B. die Funktion $f(x) = x^2-6x+11$, so findest du die Scheitelpunktform:
$f(x) = x^2 - 2 \cdot 3x + (3^2 - 3^2) + 11 = (x-3)^2 + 2$
Die zugehörige Parabel hat also den Scheitelpunkt $S(3|2)$. Die zweite Parabel hat diesen Scheitelpunkt, weshalb hier die Funktion zugeordnet werden kann.
Ob der Scheitelpunkt gegenüber dem Ursprung $(0|0)$ nach links oder nach rechts verschoben ist, erkennst du an dem Vorzeichen des linearen Glieds: Bei einer Verschiebung nach rechts ist der Koeffizient des linearen Terms negativ, anderenfalls positiv.
Du erhältst nun folgende Zuordnungen:
- Der Graph der Funktion $f(x) = 2x^2-4x$ ist durch den Faktor $2$ vor dem quadratischen Glied eine gestreckte Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $(1|-2)$.
- Die Funktion $f(x) = -x^2 +5$ beschreibt eine nach unten geöffnete Normalparabel mit Scheitelpunkt $(0|5)$.
- Die Parabelgleichung $x^2-6x+11$ hat die Scheitelpunktform $f(x) = (x-3)^2 +2$ und beschreibt eine Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(3|2)$.
- Die Parabelgleichung $x^2+6x+11$ beschreibt die Spiegelung der eben genannten Normalparabel an der $y$-Achse. Sie hat daher den Scheitelpunkt $S(-3|2)$.
- Der Graph der Funktion $f(x) = x^2+4x$ verläuft durch den Ursprung, denn $f(0) = 0$. Der Ursprung ist aber nicht der Scheitelpunkt, da die Scheitelpunktform lautet: $f(x) = (x-(-2))^2 -4$. Daher ist der Scheitelpunkt $S(-2|4)$
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