Quadratische Funktion – Parameter

Quadratische Funktion – Parameter Übung

• Gib die Bedeutung des Streckparameters $a$ an.

  Tipps

  Zeichne dir eine Normalparabel $y=x^2$ in ein Koordinatensystem.

  Zeichne in das gleiche Koordinatensystem die Parabel zu $y=0,5x^2$ und $y=2x^2$.

  Was fällt dir auf?

  Zeichne in das gleiche Koordinatensystem die Parabel zu $y=-x^2$.

  Was fällt dir auf?

  Lösung

  Welche Auswirkung hat der Streckfaktor $a$ auf die Parabel?

  • Für $a=1$ handelt es sich um eine Normalparabel.
  • Wenn $0<a<1$ ist, dann ist die Parabel gestaucht, das bedeutet, breiter als die Normalparabel.
  • Wenn $a>1$ ist, dann ist die Parabel gestreckt, das bedeutet, schmaler als die Normalparabel.

  Auch über das Vorzeichen des Streckfaktors lassen sich Rückschlüsse auf die Parabel ziehen:

  • Für $a>0$ ist die Parabel nach oben geöffnet.
  • Für $a<0$ ist die Parabel nach unten geöffnet.

• Stelle dar, welche Auswirkung die Parameter $d$ und $e$ haben.

  Tipps

  Wenn du dir die Auswirkung von $e$ betrachtest, beachte, dass $e$ zu dem Funktionswert addiert oder von diesem subtrahiert wird.

  Der Scheitelpunkt der obigen Funktion ist $S(-d|e)$.

  An dem Scheitelpunkt kannst du die Verschiebungen erkennen.

  Lösung

  Wenn eine quadratische Funktion in der Scheitelpunktform

  $y=a(x+d)^2+e$

  gegeben ist, kann man aus dieser den Scheitelpunkt $S(-d|e)$ ablesen. Der Scheitelpunkt ist der höchste (bzw. tiefste) Punkt einer Parabel, wenn diese nach unten (bzw. oben) geöffnet ist.

  Der Scheitelpunkt der Normalparabel $y=x^2$ ist $S(0|0)$, der Koordinatenursprung. An dem Scheitelpunkt der obigen Funktion kann man erkennen, wie die Funktion verschoben wird:

  • um $d$ Einheiten nach links, wenn $d>0$ ist,
  • um $d$ Einheiten nach rechts, wenn $d<0$ ist,
  • um $e$ Einheiten nach oben, wenn $e>0$ ist und
  • um $e$ Einheiten nach unten, wenn $e<0$ ist.

  Verschieben nach rechts oder links bedeutet, entlang der x-Achse und nach oben oder unten entlang der y-Achse.

• Entscheide, ob die Parabeln Normalparabeln, gestaucht oder gestreckt sind.

  Tipps

  Es geht in dieser Aufgabe ausschließlich um den Streckfaktor $a$.

  Du musst dir nicht überlegen, ob die Parabel nach unten oder oben geöffnet ist.

  Falls der Streckfaktor $1$ ist, liegt eine Normalparabel vor, falls er $-1$ ist, ist die Normalparabel nach unten geöffnet.

  Wenn eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform $y=a(x+d)^2+e$ gegeben ist, kann man an dem Streckfaktor $a$ erkennen, ob der Graph der Funktion eine

  • Normalparabel ist ($|a|=1$),
  • breiter als die Normalparabel, also gestaucht, ($0<|a|<1$) oder
  • schmaler als die Normalparabel, also gestreckt, ($|a|>1$) ist.

  Lösung

  Wenn eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform $y=a(x+d)^2+e$ gegeben ist, übrigens auch in der allgemeinen Form $y=ax^2+bx+c$, kann man an dem Streckfaktor $a$ erkennen, ob der Graph der Funktion eine

  • Normalparabel ist ($|a|=1$),
  • breiter als die Normalparabel, also gestaucht, ($0<|a|<1$) oder
  • schmaler als die Normalparabel, also gestreckt, ($|a|>1$) ist.

  Wenn $a$ positiv (negativ) ist, dann ist die Parabel nach oben (unten) geöffnet.

  1. $y=0,25 (x-2)^2+3$: Der Streckfaktor ist $0<a=\frac14<1$; also ist die Parabel gestaucht.
  2. $y=(x-2)^2+3$: Der Streckfaktor ist $a=1$; also liegt eine Normalparabel vor.
  3. $y=4(x-2)^2+3$: Der Streckfaktor ist $a=4>1$; also ist die Parabel gestreckt.
  4. $y=-0,75(x+1)^2+1$: Der Streckfaktor ist $-1<a=-0,75<0$; also ist die Parabel gestaucht (und übrigens nach unten geöffnet).
  5. $y=-x^2+1$: Der Streckfaktor ist $a=-1$; dies ist eine nach unten geöffnete Normalparabel.
  6. $y=-3(x+1)^2-1$: Der Streckfaktor ist $a=-3<-1$; also ist die Parabel gestreckt (und auch nach unten geöffnet).

• Untersuche die Auswirkungen der Parameter auf den Funktionsgraphen.

  Tipps

  Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform $y=a(x+d)^2+e$ ist gegeben durch $S(-d|e)$.

  Mache dir klar, welche Bedeutung welcher Parameter besitzt:

  • $a$ ist der Streckfaktor.
  • $d$ bewirkt eine Verschiebung entlang der x-Achse.
  • $e$ bewirkt eine Verschiebung entlang der y-Achse.

  Wenn die Richtung „rechts“, „links“, „oben“ bzw. „unten“ angegeben ist, muss die Angabe der Einheiten positiv sein.

  Lösung

  Man kann sich zum einen den Scheitelpunkt der Funktion $0,5(x-2)+4$ zunächst anschauen: $S(2|4)$. Der Scheitelpunkt der Normalparabel lautet $S(0|0)$. Man kann nun sehen, dass der Scheitelpunkt um $2$ Einheiten nach rechts und um $4$ Einheiten nach oben verschoben ist.

  Allgemein führt der Parameter $d$ in Scheitelpunktform $y=a(x+d)^2+e$ zu einer Verschiebung entlang der x-Achse:

  • Er wird nach links verschoben, wenn $d>0$ ist.
  • Er wird nach rechts verschoben, wenn $d<0$ ist.

  Der Parameter $e$ führt zu einer Verschiebung entlang der y-Achse:

  • Er wird nach oben verschoben, wenn $e>0$ ist.
  • Er wird nach unten verschoben, wenn $e<0$ ist.

  Der Streckfaktor $a=0,5$ zeigt aufgrund des positiven Vorzeichens an, dass die Parabel nach oben geöffnet ist. Da $0<0,5<1$ ist, ist die Parabel gestaucht; das bedeutet, dass sie breiter als die Normalparabel ist.

• Beschreibe, was ein Parameter ist.

  Tipps

  Unterscheide Parameter von Variablen.

  Die Variable $x$ wird auf der x-Koordinatenachse abgetragen.

  Bei verschiedenen Parametern sieht der Funktionsgraph anders aus.

  Zum Beispiel sehen die linearen Funktionen $f(x)=2x$ und $g(x)=-4x$ im Koordinatensystem unterschiedlich aus.

  Ganz allgemein sieht eine lineare Funktion wie folgt aus

  $y=mx+n$.

  $m$ steht für die Steigung und $n$ für den y-Achsenabschnitt. Es handelt sich um Parameter.

  Lösung

  Parameter kommen in der Mathematik häufig vor. Man kann sie sicher leicht mit einer Variablen verwechseln.

  Ebenso wie Variablen sind sie veränderbare Größen. Jedoch beeinflussen sie den Verlauf einer Funktion.

  Sie tauchen zum Beispiel

  • bei der allgemeinen Darstellung von Funktionen oder
  • bei Funktionsscharen auf.

  Zum Beispiel lautet eine allgemeine lineare Funktionsgleichung $y=m\cdot x+n$:

  • Dabei steht der Parameter $m$ für die Steigung.
  • Der Parameter $n$ ist der y-Achsenabschnitt.

• Ermittle die quadratische Funktion in Scheitelpunktform.

  Tipps

  Ob eine Parabel nach oben oder unten geöffnet ist, erkennt man an dem Vorzeichen des Streckfaktors.

  Wenn eine quadratische Gleichung in Scheitelpunktform $y=a(x+d)^2+e$ gegeben ist, lautet der Scheitelpunkt $S(-d|e)$.

  In der quadratischen Funktion $y=a(x+d)^2+e$ steht

  • $d$ für Verschiebungen entlang der x-Achse und
  • $e$ für Verschiebungen entlang der y-Achse.

  Lösung

  Wenn man die Streckung oder Stauchung kennt, kann man dann die Gleichung angeben?

  Die Scheitelpunktform einer quadratischen Gleichung lautet

  $y=a(x+d)^2+e$.

  Aus dieser kann der Scheitelpunkt $S(-d|e)$ abgelesen werden. Umgekehrt kann man mithilfe von Verschiebungen den neuen Scheitelpunkt und damit die Funktionsgleichung angeben.

  Der Faktor vor dem quadratischen Term $a$ ist der Streckfaktor. Dieser gibt an

  • ob die Parabel nach oben (bzw. unten) geöffnet ist, wenn $a>0$ (bzw. $a<0$), oder
  • ob die Parabel breiter (bzw. schmaler) als die Normalparabel ist, wenn $0<|a|<1$ (bzw. $|a|>1$) ist.

  • Eine um $4$ Einheiten nach links verschobene Normalparabel hat den Scheitelpunkt $S(-4|0)$, besitzt also die Gleichung $y=(x+4)^2$.
  • Eine um $3$ Einheiten nach rechts und $2$ Einheiten nach unten verschobene Normalparabel hat entsprechend den Scheitelpunkt $S(3|-2)$ die Gleichung $y=(x-3)^2-2$.
  • Eine um den Faktor $2$ gestreckte Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(1|3)$ hat die Gleichung $y=2(x-1)^2+3$.
  • Eine um den Faktor $0,3$ gestauchte, nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(-2|-2)$ hat die Gleichung $y=-0,3(x+2)^2-2$.