Normalverteilung – Standardisierung der Binomialverteilung

Normalverteilung – Standardisierung der Binomialverteilung Übung

• Ergänze die Erklärung zur Standardisierung der Binomialverteilung.

  Tipps

  • Der Erwartungswert $E(X)$ einer Zufallsgröße ist ein Lageparameter.
  • Die Standardabweichung $\sigma(X)$ ist ein Streuungsparameter.

  Für den Erwartungswert einer Zufallsgröße gilt $E(X-E(X))=E(X)-E(X)=0$.

  Lösung

  Die Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.

  Dabei werden mehrstufige Zufallsversuche betrachtet: In jeder der $n$ Stufen wird ein Bernoulli-Versuch durchgeführt. Die einzelnen Versuche sind voneinander unabhängig. Vereinfacht bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeiten sich nicht ändern.

  Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung kann mit Hilfe von Histogrammen dargestellt werden. Die Höhe der einzelnen Säulen ist $P(X=k)$ mit der Anzahl der Treffer $k$.

  Wie kann nun eine solche Binomialverteilung standardisiert werden?

  1. Schritt

  Man verschiebt die Kurve so, dass der Erwartungswert $E(Y)=0$ ist. $Y$ ist eine neue Zufallsvariable. Diese erhältst du durch Abziehen des Erwartungswertes von der Zufallsvariable $X$, also $Y=X-E(X)$.

  2. Schritt:

  Nun wird die Standardabweichung auf den Wert $\sigma(Z)=1$ gebracht. Dies erreichst du durch $Z=\frac{Y}{\sigma(X)}$. Dadurch verändert sich der Erwartungswert nicht. Die Säulen in dem Histogramm haben nun nicht mehr die Breite $1$, sondern $\frac{1}{\sigma(X)}$.

  3. Schritt:

  Zuletzt wird die Zufallsgröße $Z$ mit $\sigma(X)$ multipliziert. Anschaulich dient dies dazu, dass die Höhe der Säulen so vergrößert wird, dass der ursprüngliche Flächeninhalt wiederhergestellt wird.

• Gib die Formeln zur Berechnung des Erwartungswertes $E(X)$ sowie der Standardabweichung $\sigma(X)$ der Binomialverteilung an.

  Tipps

  Schau dir ein Beispiel an: Wenn du eine Münze $10$-mal wirfst, ist der Erwartungswert $E(X)=5$.

  In dem obigen Beispiel ist $n=10$ und $p=0{,}5$.

  Die Standardabweichung kannst du auch so schreiben:

  $\sigma(X)=\sqrt{E(X)\cdot (1-p)}$.

  Lösung

  Zur Standardisierung einer Binomialverteilung benötigst du sowohl den Erwartungswert $E(X)$ als auch die Standardabweichung $\sigma(X)$ der Binomialverteilung.

  Diese sind wie folgt gegeben:

  • $E(X)=n\cdot p$ und
  • $\sigma(X)=\sqrt{E(X)\cdot (1-p)}=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$.

  Dabei ist

  • $n$ die Länge der Bernoullikette,
  • $p$ die Erfolgswahrscheinlichkeit,
  • $1-p$ die Misserfolgswahrscheinlichkeit und
  • $X$ eine binomial verteilte Zufallsgröße.

• Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung der binomial verteilten Zufallsvariable.

  Tipps

  Verwende $E(X)=n\cdot p$.

  Es ist $\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}$.

  Lösung

  Hier siehst du das zu dem oben beschriebenen mehrstufigen Zufallsexperiment gehörende Histogramm.

  Du musst dir immer zunächst klarmachen, ob es sich überhaupt um eine Bernoullikette handelt. Eine Bernoullikette ist ein mehrstufiger Zufallsversuch, in dem

  • die einstufigen Zufallsversuche Bernoulliversuche sind und
  • diese voneinander unabhängig sind.

  Es gibt nur zwei Ergebnisse, nämlich das Ziehen einer roten Kugel (Treffer) oder das Ziehen einer grünen Kugel (Nicht-Treffer). Es liegt also eine Bernoulli-Versuch vor.

  Da die Kugel nach dem Ziehen zurückgelegt wird, sind die einzelnen Versuche voneinander unabhängig. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeiten sich nicht ändern.

  Mach dir nun die für den Erwartungswert und die Standardabweichung die benötigten Parameter klar.

  • $n$ ist die Länge der Bernoullikette, das heißt die Anzahl der Durchführungen des Experimentes. Hier ist $n=5$.
  • $p$ ist die Trefferwahrscheinlichkeit. Da $2$ von $5$ Kugeln rot sind, ist $p=\frac25=0,4$.

  Nun kann es losgehen.

  • $E(X)=n\cdot p$, also hier $E(X)=5\cdot 0,4=2$
  • $\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}$, also hier $\sigma(X)=\sqrt{5\cdot 0,4\cdot 0,6}\approx1,0954$

• Ermittle die jeweiligen Zufallsgrößen zur Standardisierung der Binomialverteilung.

  Tipps

  Der Erwartungswert ist $E(X)=4$.

  Es ist $E(Y)=0$.

  Lösung

  Zur Standardisierung der Binomialverteilung gehst du wie folgt vor:

  • Durch Einführen der Zufallsvariablen $Y=X-E(X)$ verschiebst du das Histogramm so, dass der Erwartungswert $E(Y)=0$ ist. Dadurch liegt der Erwartungswert der neuen Zufallsvariable auf der vertikalen Achse. Es ist $E(X)=10\cdot 0,4=4$, also $Y=X-4$.
  • Schließlich führst du eine weitere Zufallsvariable $Z$ so ein, dass $\sigma(Z)=1$ ist. Dies erreichst du durch $Z=\frac{Y}{\sigma(X)}$. Hier ist $\sigma(X)=\sqrt{10\cdot 0,4\cdot 0,6}\approx1,5492$, also $Z=\frac{Y}{1,5492}=\frac{X-4}{1,5492}$.
  • In dem Bild kannst du erkennen, dass sich die Breite der einzelnen Rechtecke verändert hat. Deren Flächeninhalt entspricht nun nicht mehr der Wahrscheinlichkeit $P(X=k)$. Um dies passend zu machen, multiplizierst du abschließend die Zufallsgröße wieder mit der Standardabweichung $\sigma$.

• Beschreibe die Bedeutung der Parameter in der Formel nach Bernoulli.

  Tipps

  Eine Zufallsgröße ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperimentes eine Zahl zu.

  Schau dir ein Beispiel an.

  Du wirfst eine Münze $5$-mal. Ein mögliches Ergebnis wäre das $5$-Tupel $($K|K|Z|Z|Z$)$.

  Dabei steht „K“ für „Kopf“ und „Z“ für „Zahl“.

  Eine mögliche Zuordnung wäre $($K|K|Z|Z|Z$)~\rightarrow~3$, die Häufigkeit des Auftretens von „Zahl“.

  $1-p$ ist ist die Gegenwahrscheinlichkeit von $p$, also die Wahrscheinlichkeit dafür, nicht zu treffen.

  Lösung

  Hier siehst du die Formel nach Bernoulli.

  Diese verwendest du zur Berechnung von Punktwahrscheinlichkeiten bei Bernoulliketten. Was ist eine Bernoullikette? Das $n$-malige Hintereinander-Durchführen voneinander unabhängiger Bernoulli-Experimente führt zu einer Bernoullikette der Länge $n$. In dieser können Treffer $T$ oder Nichttreffer $\overline{T}$ vorkommen.

  Die Zufallsgröße $X$ ordnet jedem Ergebnis dieses mehrstufigen Zufallsversuchs die Anzahl $k$ der Treffer zu. Hierfür steht „$X=k$“.

  Die Wahrscheinlichkeit $p=P(T)$ ist die Trefferwahrscheinlichkeit oder auch Erfolgswahrscheinlichkeit. Demzufolge ist $1-p$ die Gegenwahrscheinlichkeit von $p$, die Wahrscheinlichkeit, nicht zu treffen, also die Misserfolgswahrscheinlichkeit.

  Zusammengefasst kannst du dir merken:

  • $X$: Zufallsgröße
  • $k$: Anzahl der Treffer
  • $n-k$: Anzahl der Nichttreffer
  • $n$: Länge der Bernoullikette (Wie oft wird das Bernoulli-Experiment hintereinander durchgeführt?)
  • $p$: Erfolgswahrscheinlichkeit
  • $1-p$: Misserfolgswahrscheinlichkeit

• Wende das Standardisierungsverfahren für die Binomialverteilung an.

  Tipps

  Verwende

  • $E(X)=n\cdot p$ und
  • $\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$.

  Hier ist $n=100$ und $p=0{,}5$.

  Lösung

  Zur Standardisierung einer Binomialverteilung musst du deren Erwartungswert sowie Standardabweichung berechnen. Verwende hierfür die folgenden Formeln:

  • $E(X)=n\cdot p$ und
  • $\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$.

  Hier ist $n=100$ und $p=0{,}5$ und damit gilt:

  • $E(X)=100\cdot 0{,}5=50$ und
  • $\sigma(X)=\sqrt{100\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5}=\sqrt{25}=5$.

  Nun starten wir mit der Standardisierung.

  1. Verschieben des Histogramms führt zu $Y=X-50$. Damit ist $E(Y)=0$.
  2. Division durch $\sigma(X)$ führt zu $Z=\frac{Y}{5}=\frac{X-50}5=\frac X5-10=0{,}2\cdot X-10$.
  3. Damit die Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke wieder der Wahrscheinlichkeit $P(X=k)$ entsprechen, multiplizierst du zuletzt die Zufallsvariable wieder mit $\sigma$.