Normalverteilung – Lokale Näherungsformel von De Moivre und Laplace

Hallo, hier ist Mandy. Die Normalverteilung mit der Näherungsformel steht in diesem Video im Vordergrund. Wir bauen dabei auch Vorwissen auf, welches wir in einer Wiederholung sichern wollen. Danach schauen wir uns die lokale Näherungsformel von De Moivre und Laplace etwas genauer an und wenden sie danach auf zwei Beispiele an. Zum Schluss erhältst du eine Zusammenfassung mit den wichtigsten Informationen. Beginnen wir gleich mit der Wiederholung: Die Gaußsche Glockenkurve hat eine charakteristische Form. Sie lässt sich im Allgemeinen durch diese Funktionsgleichung darstellen. Für den Spezialfall, der Standardnormalverteilung, bei dem der Erwartungswert null und die Standardabweichung eins ist, gilt diese Formel. Voraussetzung für eine hohe Genauigkeit der Näherungswerte im Vergleich zur Berechnung mit der Bernoulli Formel ist die Erfüllung der Laplace-Bedingung. Sie besagt, dass die Standardabweichung größer als drei sein muss. Wir haben uns nun das nötige Grundwissen angeeignet, um die lokale Näherungsformel von De Moivre und Laplace zu verstehen. Mit Hilfe dieser Formel können wir näherungsweise die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen einer binomialverteilten Zufallsgröße mit einer hohen Anzahl von Durchführungen berechnen. Dies war mit unserem vorherigen Wissen nur schwer bis gar nicht möglich. Du benötigst nur den folgenden Satz: Erfüllt die binomialverteilte Zufallsgröße X die Laplace Bedingung (X)=np(1-p)>3, dann gilt für Bnip(X=k)12e-0,5z²=1(z) mit z=k-. z beschreibt hier die umgewandelte Zufallsgröße X nach dem Standardisierungsprozess. Damit du dir diese Formel gut merken kannst, wenden wir sie auf ein Beispiel an. Um außerdem den Grad der Genauigkeit erkennen zu können, nutzten wir Werte, die auch mit der Bernoulli-Formel zu lösen sind. Die Frage lautet: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim einhundertmaligen Münzwurf genau 60mal Wappen zu werfen? Bevor wir beginnen zu rechnen, notieren wir uns die gegebenen und gesuchten Größen. Gegeben ist die Anzahl der Durchführungen mit n=100. Außerdem kennen wir die Erfolgswahrscheinlichkeit p, also ein Wappen bei einem Wurf zu erhalten. Sie beträgt unter idealen Bedingungen 0,5. Gesucht ist dann die Wahrscheinlichkeit B100; 0,5(X=60). Kommen wir nun zur Lösung: Laut dem Satz für die Näherungsformel, muss als Voraussetzung die Laplace Bedingungen gelten, also die Standardabweichung größer als 3dreisein. Setzen wir dazu unsere Werte ein, dann erhalten wir (X)=1000,50,5=5. Die Bedingung ist schon mal erfüllt. Dann kommen wir nun zur Wahrscheinlichkeit. Zuerst berechnen wir sie auf dem bekannten Wege, mit der Bernoulli Formel. Wir setzen die Werte ein und erhalten B100; 0,5(X=60)=100C600,5600,5400,01084. Jetzt nutzen die Näherungsformel. Das z im Exponenten wurde bereits durch den Quotienten ersetzt, haben wir schon berechnet und den Erwartungswert berechnen wir schnell mit 100 mal 0,5 und das ergibt 50. Wir erhalten dann beim Einsetzen aller Werte 152e-0,5(60-505)²0,01080. Hier ergibt sich fast eine Übereinstimmung der exakten Lösung aus der Bernoulli-formel und der Näherungslösung. Die Wahrscheinlichkeit beträgt also ungefähr ein Prozent. Betrachten wir zum Vergleich ein weiteres Beispiel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim einhundertmaligen Würfelwurf genau 20mal eine sechs zu würfeln? Gegeben ist dann n=100 und p=1/6 und gesucht ist B100; 16(X=20). Um diese Frage zu beantworten, berechnen wir wieder die Wahrscheinlichkeit. Zunächst prüfen wir, ob die Laplace Bedingung gilt. Wir setzen wieder die Werte ein und erhalten (X)=10016563,73. Die Bedingung wird also knapp erfüllt. Zum Vergleich nutzen wir zuerst die Bernoulli-Formel und setzen die Werte ein: B100; 16(X=20)=(100C20)(16)20(56)800,0679. Um die Näherungsformel nutzen zu können, benötigen wir wieder die Standardabweichung, welche wird gerade schon berechnet haben, und den Erwartungswert . =10016=1623. Nun setzen wir alle Werte in die Formel ein und erhalten rund 13,732e-0,5(20-16233,73)²0,0718. Diesmal können wir eine Abweichung von ca. 0,004 berechnen. Beim vorangegangenen Beispiel wa es lediglich 0,00004. Diese Ungenauigkeit ist auf die knappe Erfüllung der Laplace Bedingung zurückzuführen. Demnach werden die Näherungswerte umso genauer, je größer das n und damit auch die Standardabweichung ist. Damit der Satz zur Näherungsformel von De Moivre und Laplace bei dir möglichst lange im Gedächtnis bleibt, wiederholen wir ihn zum Schluss nochmal. Er lautet: Erfüllt die binomialverteilte Zufallsgröße X die Laplace Bedingung (X)=np(1-p)>3, dann gilt für Bnip(X=k)12e-0,5z²=1*(z) mit z=k-. Wir haben festgestellt, dass je größer das n, und damit auch die Standardabweichung, ist, umso größer ist auch die Genauigkeit der berechneten Näherungswerte zu den exakten Werten der Bernoulli-Formel. Das wars schon wieder von mir. Daher sag ich nun bye bye und bis zum nächsten Mal.