Multiplikation und Division von Potenzen – Herleitung

Multiplikation und Division von Potenzen – Herleitung Übung

• Zeige auf, wie du mit dem Produkt von Potenzen rechnen kannst.

  Tipps

  Die Potenz einer Zahl ist ein mehrfaches Produkt dieser Zahl mit sich selbst. Die Anzahl der Faktoren ist der Exponent der Potenz.

  In der Gleichung $3^2 = 9$ ist $3$ die Basis und $2$ der Exponent.

  Es gilt: $3^3 = (3 \cdot 3) \cdot 3 = 3^2 \cdot 3^1$, also $3^2 \cdot 3^1 = 3^{2+1}$.

  Lösung

  Die Potenz $x^m$ einer Zahl $x$ ist ein mehrfaches Produkt dieser Zahl $x$ mit sich selbst. Die Anzahl der Faktoren ist der Exponent $m$. Für $x=7$ und $m=4$ ist also:

  $x^m = 7^4 = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$

  Wegen der Assoziativität der Multiplikation kannst du verschiedene dieser Faktoren zusammenfassen:

  $7^4 = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = (7 \cdot 7 \cdot 7) \cdot 7 = 7^3 \cdot 7^1$

  Bei dieser Rechnung war es nicht besonders wichtig, dass wir als Basis $x=7$ und als Exponent $m=4$ gewählt haben. Im Allgemeinen gilt also für eine beliebige Basis $x$ und beliebige Exponenten $m$ und $n$:

  $x^{m+n} = x^m \cdot x^n$

  In dem Bild oben ist $2^3 \cdot 2^4$ die Anzahl der Steine, die in das rechteckige Feld passen. Du kannst diese Anzahl mit dem Potenzgesetz berechnen:

  $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$

  Rechnest du die Potenzen aus, so erhältst du:

  $ \begin{array}{rcl} 2^3 &=& 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \\ 2^4 &=& 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \\ 2^7 &=& 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128 \end{array} $

• Bestimme die Ergebnisse.

  Tipps

  Der Quotient zweier Potenzen derselben Basis ist wieder eine Potenz dieser Basis.

  Der Exponent eines Quotienten von Potenzen ist nicht der Quotient der Exponenten.

  Es gilt: $\frac{5^4}{5^3} = 5^{4-3}$.

  Lösung

  Das Potenzgesetz für die Multiplikation lautet:

  $ x^m \cdot x^n= x^{m+n}$

  Hierbei sind $x$, $m$ und $n$ beliebige Zahlen. Für die Division von Potenzen derselben Basis gilt:

  $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$

  Hierbei muss $x \neq 0$ gelten, da du nicht durch 0 dividieren darfst. $m$ und $n$ sind dabei beliebige Zahlen.

  Mit diesen beiden Potenzgesetzen kannst du die zueinander gehörigen Seiten der Gleichungen bestimmen:

  • $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$
  • $10^5 \cdot 10^3 = 10^{5+3} = 10^8$
  • $\frac{3^5}{3^2} = 3^{5-2} = 3^3$
  • $\frac{8^6}{8} = \frac{8^6}{8^1} = 8^{6-1} = 8^5$

• Ermittle die Ergebnisse.

  Tipps

  Verwende die Regel:

  $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$

  Das Produkt von Potenzen derselben Basis ist wieder eine Potenz derselben Basis.

  Hier ist eine Beispielrechnung:

  $\frac{3^7}{3^2} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^5$

  Lösung

  Multiplizierst du zwei Potenzen derselben Basis, so erhältst du als Produkt wieder eine Potenz dieser Basis. Der Exponent des Produkts der Potenzen ist nicht etwa das Produkt, sondern die Summe der Exponenten:

  $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$

  Für die Division von Potenzen zur selben Basis gilt etwas Analoges: Der Quotient ist eine Potenz eben derselben Basis. Der Exponent des Quotienten ist die Differenz des Exponenten des Dividenden und des Divisors:

  $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$

  Hier erhältst du die folgenden konkreten Rechnungen:

  • Grün: $3^3 \cdot 3^7 = 3^{3+7} = 3^{10} = 3^{13-3}$
  • Gelb: $7^3 \cdot 7^4 = 7^{3+4} = 7^7 = 7^{5+2}$
  • Blau: $\frac{3^7}{3^4} = 3^{7-4} = 3^3 = 3^{11-8}$
  • Violett: $\frac{7^9}{7^4} = 7^{9-4} = 7^5 = 7^{12-7}$

• Bestimme die Potenzen.

  Tipps

  Der Exponent eines Quotienten von Potenzen ist die Differenz der Exponenten des Dividenden und des Divisors.

  Hier ist eine Beispielrechnung:

  $\frac{4^7}{4^4} = 4^3 = 4^2 \cdot 4^1$

  Lösung

  Mit den Potenzgesetzen

  $ \begin{array}{rcl} x^{m+n} &=& x^m \cdot x^n \\ \frac{x^m}{x^n} &=& x^{m-n} \end{array} $

  kannst du jede konkrete Potenz einer Zahl in beliebig viele Produkte oder Quotienten von Potenzen derselben Zahl umformen. Zum Beispiel ist

  $2^4 = 2^{3+1} = 2^3 \cdot 2^1 = 2^{7-3} = \frac{2^7}{2^3}$ usw.

  Hier findest du folgende Zuordnungen:

  $3^8$:

  • $=3 \cdot 3^7$, denn $3 \cdot 3^7 = 3^1 \cdot 3^7 = 3^{1+7} = 3^8$.
  • $=\frac{3^{11}}{3^3}$, denn $\frac{3^{11}}{3^3} = 3^{11-3} = 3^8$.
  • $=3^3 \cdot 3^5$: Hier ist $3^3 \cdot 3^5 = 3^{3+5} = 3^8$.

  $7^4$:

  • $= \frac{7^7}{7^3} = 7^{7-3} = 7^4$
  • $=\frac{7^5}{7} = 7^{5-1} = 7^4$
  • $=7^{1} \cdot 7^3 = 7^{1+3} = 7^4$

  $8^3$:

  • $=\frac{8^7}{8^4} = 8^{7-4} = 8^3$
  • $=8^2 \cdot 8 = 8^2 \cdot 8^1 = 8^{2+1} = 8^3$
  • $= \frac{8^8}{8^5} = 8^{8-5} = 8^3$

  $3^5$:

  • $=\frac{3^9}{3^4} = 3^{9-4} = 3^5$
  • $= 3^3 \cdot 3^2 = 3^{3+2} = 3^5$
  • $=3 \cdot 3^3 \cdot 3 = 3^1 \cdot 3^3 \cdot 3^1 = 3^{1+3+1} = 3^5$

• Gib die korrekten Umformungen der Potenzen wieder.

  Tipps

  Die zweite Potenz einer Zahl $x$ ist das Ergebnis einer Multiplikation dieser Zahl $x$ mit sich selbst. Man schreibt dafür:

  $x^2 = x \cdot x$

  Hier ist eine Beispielrechnung:

  $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$

  Lösung

  Eine Potenz ist eine Zahl der Form $x^m$. Hierbei heißt $x$ die Basis und $m$ der Exponent. Du kannst die Werte einer Potenz ausrechnen, indem du die Basis mehrfach mit sich selbst malnimmst. Die Anzahl der Faktoren ist durch den Exponenten vorgegeben. Es ist also $x^1 = x$ und $x^2 = x \cdot x$ sowie $x^3 = x \cdot x \cdot x$ usw.

  Folgende Gleichungen sind richtig:

  • $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$: Dies entspricht genau der Definition der dritten Potenz.

  • $8^1 = 8$: Die erste Potenz jeder Zahl ist diese Zahl selbst.

  • $x^m\cdot x^n=x^{m+n}$: Dies ist das allgemeine Potenzgesetz für die Multiplikation.

  Folgende Gleichungen sind falsch:

  • $x^m:x^n=x^{m:n}$: Bei dem Potenzgesetz der Division dividierst du die Exponenten nicht, sondern subtrahierst sie: $x^m:x^n=x^{m-n}$.

  • $3^5 \neq 3+3+3+3+3$: Die Potenz einer Zahl steht für eine mehrfache Multiplikation und nicht Addition der Zahl mit sich selbst. Hier ist $3^5 = 3\cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243 \neq 15 = 3+3+3+3+3$.

  • $2 \cdot 2 \cdot 2 \neq 2^4$: Die linke Seite der Gleichung ist das dreifache Produkt der Zahl $2$ mit sich selbst und daher identisch mit $2^3$ und nicht mit $2^4$.

• Begründe die Potenzgesetze.

  Tipps

  $x = \frac{a}{b}$ ist die eindeutige Lösung der Gleichung $b \cdot x = a$ (mit $b \neq 0$).

  Lösung

  Potenzgesetz für die Division

  Du kannst das Potenzgesetz für die Division von Potenzen derselben Basis durch Kürzen von Faktoren erklären. Denn jede Potenz ist ein mehrfaches Produkt der Basis mit sich selbst und aus einem Quotienten solcher Produkte kannst du genauso viele Faktoren kürzen, wie im Nenner vorhanden sind. Übrig bleiben im Zähler so viele Faktoren, wie die Differenz der Anzahl der Faktoren ausmacht. Das ist aber genau die Differenz der Exponenten.

  Mit anderen Worten: Der Exponent des Quotienten ist die Differenz der Exponenten des Dividenden und des Divisors. Im Beispiel bedeutet das:

  $\frac{7^6}{7^2} = 7^{6-2}$.

  Statt durch Kürzen kannst du die Division von Potenzen aber auch durch die Multiplikation von Potenzen erklären. Bei einer Division ist der Quotient die eindeutig bestimmte Zahl, mit der du den Divisor multiplizieren musst, um den Dividenden zurückzuerhalten. In dem Beispiel muss demnach gelten:

  $7^2 \cdot \frac{7^6}{7^2} = 7^6$.

  Mit dem Potenzgesetz für die Multiplikation findest du:

  $7^2 \cdot 7^4 =7^{2+4} = 7^6$.

  Daher ist $7^4$ dasselbe wie $\frac{7^6}{7^2}$.

  $~$

  Exponent $0$

  Aus dem Potenzgesetz der Multiplikation kannst du den Wert einer Potenz mit Exponent $0$ erschließen: Setzt du nämlich $0$ als Exponent in das Potenzgesetz ein, so erhältst du die folgende Rechnung:

  $7^6 \cdot 7^0 =7^{6+0} =7^6$.

  $7^0$ ist also eine Zahl, mit der du jede Potenz von $7$ multiplizieren kannst, ohne sie zu verändern. Die einzige solche Zahl ist $1$, das neutrale Element der Multiplikation.

  Es ist also $7^0=1$.

  Du kannst diese Gleichung auch mit einer Division überprüfen: Nach dem Potenzgesetz für die Division gilt einerseits:

  $\frac{7^5}{7^5} = 7^{5-5} = 7^0$

  Andererseits erhältst du durch Kürzen:

  $\frac{7^5}{7^5} = 1$

  $~$

  Potenzen mit negativen Exponenten

  Du kannst nun sogar Potenzen mit negativen Exponenten ausrechnen. Ihr Wert ist durch die Potenzgesetze für die Multiplikation und Division eindeutig bestimmt:

  $7^{-1} \cdot 7^3 = 7^{(-1) + 3} = 7^2$

  Nach dieser Rechnung ist $7^{-1}$ die eindeutig bestimmte Zahl $k$, die mit $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7$ multipliziert $7^2 = 7 \cdot 7$ ergibt. Es gilt also:

  $7^3 =7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot k = 7 \cdot 7 = 7^2 $

  Das gilt aber nur, wenn $7 \cdot k =1$. Daher ist $k=\frac{1}{7}$:

  $k= \frac{1}{7} = 7^{-1}$

  Der Wert einer Potenz mit negativem Exponenten ist daher stets der Kehrwert der Potenz zur selben Basis mit dem betragsgleichen positiven Exponenten.

  Setzt du nun noch weitere negative Exponenten ein, so findest du ein weiteres interessantes Potenzgesetz: Für die Basis $7$ und den Exponenten $-4$ findest du durch das Potenzgesetz der Addition:

  $7^{-4} = 7^{(-1)+(-1)+(-1)+(-1)} = 7^{-1} \cdot 7^{-1} \cdot 7^{-1} \cdot 7^{-1}$

  Hier kannst du $7^{-1} =\frac{1}{7}$ einsetzen und erhältst:

  $7^{-1} \cdot 7^{-1} \cdot 7^{-1} \cdot 7^{-1} = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{7} = \left(\frac{1}{7}\right)^4 = \frac{1}{7^4}$

  Statt die Potenz im Nenner auszurechnen, kannst du auch $\frac{1}{7} = 7^{-1}$ wieder einsetzen und erhältst so:

  $\left(\frac{1}{7}\right)^4 = \left(7^{-1}\right)^4$

  Zusammengefasst ist das also:

  $7^{-4} = \left(7^{-1}\right)^4$