Lösungswege für spezielle quadratische Gleichungen

Lösungswege für spezielle quadratische Gleichungen Übung

• Beschreibe die Eigenschaften spezieller quadratischer Gleichungen.

  Tipps

  Eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form lautet:

  • $\underbrace{ax^2}_{\text{quadratisches}\\ \text{ Glied}} + \underbrace{bx}_{\text{lineares} \\ \text{ Glied}} + \underbrace{c}_{\text{Absolutglied}} = 0$

  Dabei sind $a$, $b$ und $c$ Koeffizienten.

  Für die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung gilt $a\neq 0$. Ist $b=0$ und $c\neq 0$, so liegt eine reinquadratische Gleichung vor.

  Lösung

  Eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form lautet:

  • $\underbrace{ax^2}_{\text{quadratisches}\\ \text{ Glied}} + \underbrace{bx}_{\text{lineares} \\ \text{ Glied}} + \underbrace{c}_{\text{Absolutglied}} = 0$

  Dabei sind $a$, $b$ und $c$ Koeffizienten. Es gilt immer $a\neq 0$.

  Variante 1: $ax^2+ bx +0= 0$

  • $b\neq 0$
  • $c=0$

  Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form kein Absolutglied, aber ein lineares Glied, dann besitzt sie immer zwei Lösungen, von denen eine Null ist.

  Eine quadratische Gleichung dieser Form kann man durch Ausklammern der Variablen lösen. So wird die quadratische Gleichung als Multiplikation dargestellt, die eine lineare Gleichung als Faktor enthält.

  Variante 2: $ax^2+ 0\cdot x+ c= ax^2+ c=0$

  • $b=0$
  • $c\neq 0$

  Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form kein lineares Glied, aber ein Absolutglied, dann besitzt sie entweder zwei betragsgleiche Lösungen oder keine Lösung.

  Eine quadratische Gleichung dieser Form heißt auch reinquadratische Form.

  Variante 3: $ax^2+ 0\cdot x+ 0=ax^2=0$

  • $b=0$
  • $c=0$

  Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form weder ein lineares Glied noch ein Absolutglied, dann besitzt sie eine Lösung, nämlich Null.

• Berechne die Lösungen der speziellen quadratischen Gleichungen.

  Tipps

  Eine quadratische Gleichung kann maximal zwei Lösungen besitzen.

  Erhältst du beim Umformen eine negative Zahl unter der Wurzel, so hat die quadratische Gleichung keine Lösung.

  Lösung

  Eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form lautet:

  • $\underbrace{ax^2}_{\text{quadratisches}\\ \text{ Glied}} + \underbrace{bx}_{\text{lineares} \\ \text{ Glied}} + \underbrace{c}_{\text{Absolutglied}} = 0$

  Es gilt immer $a\neq 0$. Die Koeffizienten $b$ und $c$ können aber durchaus gleich Null sein und so kommen dann die folgenden speziellen quadratischen Gleichungen zustande.

  • Variante 1: Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form kein Absolutglied, aber ein lineares Glied, dann besitzt sie immer zwei Lösungen, von denen eine Null ist.

  • Variante 2: Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form kein lineares Glied, aber ein Absolutglied, dann besitzt sie entweder zwei betragsgleiche Lösungen oder keine Lösung.

  • Variante 3: Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form weder ein lineares Glied noch ein Absolutglied, dann besitzt sie eine Lösung, nämlich Null.

  Wir erhalten so die folgenden Lösungen:

  Gleichung 1: $~2x^2-6x=0$

  Wir haben hier eine quadratische Gleichung ohne Absolutglied. Also können wir die Variable $x$ ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden. Demnach ist ein Produkt dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist:

  $\begin{array}{rcll} 2x^2-6x &=& 0 & \vert ~\text{ausklammern} \\ x(2x-6) &=& 0 & \\ \end{array}$

  Nun können wir beide Faktoren getrennt betrachten:

  $\begin{array}{llllllllllll} x_1 &=& 0 & & & & & & 2x_2-6 &=& 0 & \vert +6 \\ & & & & & & & & 2x_2 &=& 6 & \vert :2 \\ & & & & & & & & x_2 &=& 3 & \\ \\ \end{array}$

  Gleichung 2: $~2x^2-18=0$

  Wir haben hier eine reinquadratische Gleichung. Diese besitzt entweder zwei betragsgleiche Lösungen oder keine Lösung:

  $\begin{array}{rcll} 2x^2-18 &=& 0 & \vert +18 \\ 2x^2 &=& 18 & \vert :2 \\ x^2 &=& 9 & \vert \sqrt{~} \\ x_{1,2} &=& \pm\sqrt{9} & \\ \\ x_1 &=& 3 & \\ x_2 &=& -3 & \\ \\ \end{array}$

  Gleichung 3: $~5x^2=0$

  Eine Gleichung ohne lineares Glied und Absolutglied hat immer die Lösung $x=0$.

  Gleichung 4: $~2x^2+18=0$

  Wir haben hier eine reinquadratische Gleichung. Diese besitzt entweder zwei betragsgleiche Lösungen oder keine Lösung:

  $\begin{array}{rcll} 2x^2+18 &=& 0 & \vert -18 \\ 2x^2 &=& -18 & \vert :2 \\ x^2 &=& -9 & \vert \sqrt{~} \\ x_{1,2} &=& \pm\sqrt{-9} & \\ \\ \end{array}$

  Diese Gleichung hat also keine Lösung.

• Erschließe die Art der quadratischen Gleichung.

  Tipps

  Folgende Formen stellen quadratische Gleichungen ohne Absolutglied dar:

  • $ax^2+bx=0$
  • $x(ax+b)=0$
  • $ax^2=-bx$

  Eine quadratische Gleichung ohne lineares Glied und Absolutglied hat immer die Lösung $0$.

  Lösung

  Eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form lautet:

  • $\underbrace{ax^2}_{\text{quadratisches}\\ \text{ Glied}} + \underbrace{bx}_{\text{lineares} \\ \text{ Glied}} + \underbrace{c}_{\text{Absolutglied}} = 0$

  Es gilt immer $a\neq 0$. Die Koeffizienten $b$ und $c$ können aber durchaus gleich Null sein und so kommen dann die folgenden speziellen quadratischen Gleichungen zustande.

  Variante 1:

  Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form kein Absolutglied, aber ein lineares Glied, dann besitzt sie immer zwei Lösungen, von denen eine Null ist. Dieser Variante können wir die folgenden Gleichungen zuordnen:

  • $x(3x+6)=0$
  • $x^2+x=0$

  Variante 2:

  Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form kein lineares Glied, aber ein Absolutglied, dann besitzt sie entweder zwei betragsgleiche Lösungen oder keine Lösung. Hierzu passen folgende Gleichungen:

  • $2x^2-8=0$
  • $16-x^2=0$
  • $2x^2+6=0$

  Variante 3:

  Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form weder ein lineares Glied noch ein Absolutglied, dann besitzt sie eine Lösung, nämlich Null. Dieser Variante ordnen wir folgende Gleichungen zu:

  • $x^2=0$
  • $0=x^2$

• Ermittle die Lösungen der quadratischen Gleichungen.

  Tipps

  Enthält eine quadratische Gleichung kein Absolutglied, so kannst du die Variable $x$ ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden.

  Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt dann Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist.

  Enthält eine quadratische Gleichung kein lineares Glied, so hat sie entweder zwei betragsgleiche Lösungen oder keine Lösung.

  Lösung

  Enthält eine quadratische Gleichung kein lineares Glied, so hat sie entweder zwei betragsgleiche Lösungen oder keine Lösung. Gleichungen dieser Form sind:

  Beispiel 1

  $\begin{array}{rcll} x^2-4 &=& 0 & \vert +4 \\ x^2 &=& 4 & \vert \sqrt{~} \\ x_{1,2} &=& \pm\sqrt{4} & \\ \\ x_1 &=& 2 & \\ x_2 &=& -2 & \end{array}$

  Beispiel 2

  $\begin{array}{rcll} -3x^2+3 &=& 0 & \vert -3 \\ -3x^2 &=& -3 & \vert :(-3) \\ x^2 &=& 1 & \vert \sqrt{~} \\ x_{1,2} &=& \pm\sqrt{1} & \\ \\ x_1 &=& 1 & \\ x_2 &=& -1 & \\ \\ \end{array}$

  Enthält eine quadratische Gleichung kein Absolutglied, so kannst du die Variable $x$ ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden. Dieser besagt, dass ein Produkt dann Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist. Gleichungen dieser Form sind:

  Beispiel 3

  $\begin{array}{rcl} 3x^2+6x &=& 0 \\ x\cdot(3x+6) &=& 0 \\ x_1 &=& 0 \end{array}$

  Für die zweite Lösung setzen wir den linearen Faktor gleich Null und erhalten:

  $\begin{array}{rcll} 3x+6 &=& 0 & \vert -6 \\ 3x &=& -6 & \vert :3 \\ x_2 &=& -2 \\ \\ \end{array}$

  Beispiel 4

  $\begin{array}{rcl} x^2+6x &=& 0 \\ x\cdot (x+6) &=& 0 \\ x_1 &=& 0 \end{array}$

  Für die zweite Lösung setzen wir den linearen Faktor gleich Null und erhalten:

  $\begin{array}{rcll} x+6 &=& 0 & \vert -6 \\ x_2 &=& -6 \end{array}$

• Benenne die Glieder in der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung.

  Tipps

  Damit man von einer quadratischen Gleichung sprechen kann, darf das quadratische Glied nicht wegfallen, daher gilt immer $a\neq 0$.

  In der Gleichung $x^2+5=0$ fehlt das lineare Glied.

  Lösung

  Eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form lautet:

  • $\underbrace{ax^2}_{\text{quadratisches}\\ \text{ Glied}} + \underbrace{bx}_{\text{lineares} \\ \text{ Glied}} + \underbrace{c}_{\text{Absolutglied}} = 0$

  Es gilt immer $a\neq 0$. Die Koeffizienten $b$ und $c$ können aber durchaus gleich Null sein und so kommen dann die folgenden speziellen quadratischen Gleichungen zustande.

  Variante 1: $~ax^2+bx=0$

  Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form kein Absolutglied, aber ein lineares Glied, dann besitzt sie immer zwei Lösungen, von denen eine Null ist.

  Variante 2: $~ax^2+c=0$

  Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form kein lineares Glied, aber ein Absolutglied, dann besitzt sie entweder zwei betragsgleiche Lösungen oder keine Lösung.

  Variante 3: $~ax^2=0$

  Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form weder ein lineares Glied noch ein Absolutglied, dann besitzt sie eine Lösung, nämlich Null.

• Bestimme die Lösung der Gleichung.

  Tipps

  Vereinfache die linke und rechte Seite der Gleichung so weit wie möglich. Forme die Gleichung dann so um, dass auf einer Seite der Gleichung eine Null steht.

  Die erste binomische Formel lautet:

  • $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

  Lösung

  Gegeben ist folgende Gleichung:

  • $(x+1)^2+11(x^2-3)=2x(2x+1)$

  Wir vereinfachen zunächst die linke und rechte Seite der Gleichung so weit wie möglich. Dann formen wir die Gleichung so um, dass auf einer Seite der Gleichung eine Null steht.

  $\begin{array}{rcll} (x+1)^2+11(x^2-3) &=& 2x(2x+1) & \\ x^2+2x+1+11x^2-33 &=& 4x^2+2x & \\ 12x^2+2x-32 &=& 4x^2+2x & \vert -2x \\ 12x^2-32 &=& 4x^2& \vert -4x^2 \\ 8x^2-32 &=& 0 & \\ \end{array}$

  Wir erhalten hier eine quadratische Gleichung ohne lineares Glied. Diese hat entweder zwei betragsgleiche oder keine Lösung. Es folgt:

  $\begin{array}{rcll} 8x^2-32 &=& 0 & \vert +32 \\ 8x^2 &=& 32 & \vert :8 \\ x^2 &=& 4 & \vert \sqrt{~} \\ x_{1,2} &=& \pm\sqrt{4} & \\ \\ x_{1} &=& 2 & \\ x_{2} &=& -2 & \\ \end{array}$