Lineare Ungleichungssysteme – Textaufgaben

Lineare Ungleichungssysteme – Textaufgaben Übung

• Gib die Ungleichungen und die Lösungsmenge des Ungleichungssystems an.

  Tipps

  Stelle das System der linearen Ungleichungen zu dieser Aufgabenstellung auf.

  Die Geraden, welche du in der Skizze sehen kannst, sind die Randgeraden der beiden Ungleichungen.

  Prüfe jeweils einzelne Punkte in den Bereichen darauf, ob sie die beiden Ungleichungen gleichzeitig erfüllen.

  Lösung

  Diese Aufgabe führt zu einem System von linearen Ungleichungen:

  $\begin{align*} &\text{I}&x+y&>7\\ &\text{II}&x-y&<3. \end{align*}$

  Durch Äquivalenzumformungen kann dieses System umgeformt werden zu

  $\begin{align*} &\text{I}&y&>-x+7\\ &\text{II}&y&>x-3. \end{align*}$

  Wenn man die Relationszeichen durch „$=$“ ersetzt, erhält man Gleichungen. Die dazugehörigen Geraden sind die sogenannten Randgeraden.

  Die blaue Randgerade, $y=-x+7$, gehört zu der ersten Ungleichung und die rote, $y=x-3$, zu der zweiten.

  Die farblich schraffierten Bereiche erfüllen die entsprechende Ungleichung.

  Dort, wo die beiden Schraffierungen sich überschneiden, liegen alle Punkte, die beide Ungleichungen erfüllen. Dies ist der Bereich A.

• Stelle die beiden linearen Ungleichungen auf.

  Tipps

  Den beiden Zahlen sind bereits die Variablen zugeordnet.

  • Was ist das Doppelte und
  • was das Vierfache einer Zahl?

  Es gilt: Summand + Summand = Summe. Diese Rechenoperation heißt „Addition“.

  Ungleichungen können umgeformt werden wie Gleichungen. Dabei ist zu beachten, dass beim Multiplizieren mit bzw. Dividieren durch negative Zahlen das Relationszeichen ($<$, $\le$, $>$, $\ge$) sich umkehrt.

  Lösung

  Zunächst werden die beiden Aussagen in Terme übersetzt und schließlich in Ungleichungen:

  • das Doppelte einer Zahl $x$ ist $2x$,
  • das Vierfache ist $4x$ und
  • die Summe ist $x+y$.

  Somit führt

  • die erste Aussage zu $2x+y<4$ und
  • die zweite zu $4x+2y>10$.

  Nun können die beiden Ungleichungen so umgeformt werden, dass $y$ auf einer Seite alleine steht:

  $\begin{align*} 2x+y&<4&|&-2x\\ y&<-2x+4 \end{align*}$

  sowie

  $\begin{align*} 4x+2y&>10&|&-4x\\ 2y&>-4x+10&|&:2\\ y&>-2x+5. \end{align*}$

  Die zugehörigen Randgeraden können in ein Koordinatensystem gezeichnet werden. Bei den Ungleichungen fällt auf, dass der Faktor vor dem $x$ beide Male gleich ist. Das bedeutet, dass die Randgeraden parallel verlaufen.

• Leite das System linearer Ungleichungen her.

  Tipps

  Das Zeichen für „weniger als“ ist „$<$“ und das für „höchstens“ ist „$\le$“.

  Was heißt es, wenn Pauls Schwester und Paul gemeinsam Taschengeld bekommen? Ist das die Summe oder das Produkt?

  Lösung

  Wenn Paul $x~€$ und seine Schwester $y~€$ Taschengeld bekommen, so bekommen sie gemeinsam $x~€ +y~€$. Diese Summe soll geringer sein als $35~€$. Das führt zu der Ungleichung $x+y<35$, welche äquivalent ist zu $y<35-x$.

  Wenn Paul höchstens $5~€$ mehr als seine Schwester bekommen soll, so heißt dies $x \le y+5$. Diese Ungleichung wird nach $y$ umgeformt zu $y\ge x-5$.

  Die Randgeraden kannst du in dem Bild sehen:

  • Dabei gehört die blaue Gerade zu $y=35-x$ und
  • die rote zu $y=x-5$.

• Prüfe, welche Taschengeldkombinationen das System der Ungleichungen erfüllt.

  Tipps

  Du kannst die Randgeraden in ein Koordinatensystem zeichnen und die entsprechenden Bereiche, in denen die jeweilige Ungleichung erfüllt ist, farblich verschieden markieren.

  Du kannst jeden Punkt in das System der linearen Ungleichungen einsetzen.

  Es müssen beide gleichzeitig erfüllt sein.

  Beachte, dass die Relationen $<$ und $\ge$ sind.

  Lösung

  Graphisch kann ein System linearer Ungleichungen wie folgt gelöst werden:

  • alle Ungleichungen werden nach $y$ umgeformt, dies ist in obigem System bereits geschehen,
  • die Randgeraden werden in ein Koordinatensystem gezeichnet und
  • zu der jeweiligen Randgeraden der Bereich markiert, in welchem die Ungleichung erfüllt ist.

  In dem Bild ist die blaue Randgerade, zu $y=35-x$, sowie die rote, zu $y=x-5$, zu erkennen. Die Bereiche sind in den entsprechenden Farben markiert.

  Die Kombinationen aus Taschengeld für Pauls Schwester sowie für Paul lassen sich als Punkte im Koordinatensystem darstellen. Diese sind in dem Bild zu erkennen. Alle Punkte, die sowohl in dem blau als auch dem rot markierten Bereich liegen, erfüllen das System linearer Ungleichungen. Diese sind

  • $(10|10)$,
  • $(15|15)$ sowie
  • $(5|25)$.

  Der Punkt $(5|30)$ liegt auf der blauen Randgeraden. Da jedoch diese Ungleichung „kleiner“ erfüllt sein muss, liegt der Punkt nicht im Bereich der Lösungen.

• Beschreibe, warum das lineare Ungleichungssystem keine Lösung besitzt.

  Tipps

  Zeichne die Geraden, die zu den Ungleichungen gehören, in ein Koordinatensystem. Was fällt dir auf?

  Markiere die Bereiche, die die jeweilige Ungleichung erfüllen.

  Der Schnitt dieser Bereiche ist der Bereich, in dem alle Punkte liegen, die das System linearer Ungleichungen erfüllen.

  Lösung

  Die beiden Randgeraden der zwei Ungleichungen

  $\begin{align*} &\text{I}&y&<-2x+4\\ &\text{II}&y&>-2x+5 \end{align*}$

  besitzen die selbe Steigung und sind somit parallel zueinander. Die beiden Halbebenen der Ungleichungen liegen jeweils ober- bzw. unterhalb der Randgeraden, daher können diese sich nicht schneiden.

  Das bedeutet, dass es keine Punkte gibt, die beide Ungleichungen gleichzeitig erfüllen. Somit ist die Lösungsmenge leer.

• Bestimme die Gleichungen der Randgeraden sowie die dazugehörigen Ungleichungen.

  Tipps

  Allgemein lautet die Gleichung einer Geraden

  $y=m\cdot x+n$.

  Wofür steht $m$ und wofür $n$?

  Wenn du eine Gleichung einer Geraden hast, zum Beispiel $y=3x-4$, dann setze Punkte ein und prüfe, ob diese oberhalb oder unterhalb der Geraden liegen.

  Welches Relationszeichen liegt dann vor?

  Lösung

  Zu einer Ungleichung erhält man die Gleichung der Randgerade, indem man das Relationszeichen durch das Gleichheitszeichen ersetzt. Es gilt:

  • $>$: die Lösungen liegen oberhalb der Randgeraden, die Randgerade gehört nicht dazu.
  • $\ge$: die Lösungen liegen oberhalb der Randgeraden, die Randgerade gehört dazu.
  • $<$: die Lösungen liegen unterhalb der Randgeraden, die Randgerade gehört nicht dazu.
  • $\le$: die Lösungen liegen unterhalb der Randgeraden, die Randgerade gehört dazu.

  Die Ungleichung zu I lautet: $y<-1,5x+18$. Hierzu gehört die blaue Randgerade.

  Die Ungleichung zu II lautet: $y>-x+5$. Hierzu gehört die grüne Randgerade.

  Der Planungsbereich ist der schraffierte Bereich.