Lineare Ungleichungssysteme

Lineare Ungleichungssysteme Übung

• Ergänze die Erklärungen zu linearen Ungleichungssystemen.

  Tipps

  Unter einer Ungleichung versteht man zum Beispiel:

  $x+y<2$.

  Du kennst vielleicht schon solche Systeme von Gleichungen:

  $\begin{align*} x+y&=3\\ x-y&=1. \end{align*}$

  Solche Ungleichungen treten häufig in Produktionsprozessen auf oder bei Transportfragen.

  Lösung

  Was sind lineare Ungleichungssysteme?

  Lineare Ungleichungssysteme bestehen aus mindestens zwei Ungleichungen, welche gleichzeitig erfüllt sein müssen.

  Dieser Zusammenhang ist bereits so ähnlich von linearen Gleichungssystemen bekannt.

  Solche Ungleichungssysteme kommen zum Beispiel

  • bei Transportproblemen,
  • bei Produktion von Gütern,
  • bei begrenztem Lagerraum
  • ...

  vor.

• Gib an, wie man das lineare Ungleichungssystem aufstellt.

  Tipps

  Wenn eine Anzahl mindesten $7$ sein soll, so sind dies $7$ oder $8$ oder $9$ ...

  Wenn Lena $7$ Fahrräder und $4$ Mofas in ihrem Geschäft hat, so sind dies zusammen $7+4=11$ Zweiräder.

  Es passen nicht mehr als $15$ Zweiräder in das Lager. Führt dies zu einer kleiner-gleich-Beziehung oder zu einer größer-gleich-Beziehung?

  Lösung

  Lena hat ein Zweiradfachgeschäft, in welchem sie

  • mindestens $6$ Fahrräder und
  • mindestens $2$ Mofas

  vorrätig haben möchte.

  Der Lagerplatz ist begrenzt auf maximal $15$ Zweiräder.

  Die Anzahl der Fahrräder sei $x$ und die der Mofas $y$.

  Es gibt drei Ungleichungen:

  • Lena möchte mindestens $6$ Fahrräder; $x\ge 6$;
  • und mindestens $2$ Mofas; $y\ge 2$; vorrätig haben.
  • Da der Lagerplatz begrenzt ist, gilt: $x+y\le15$.

• Entscheide, ob ein lineares Ungleichungssystem vorliegt.

  Tipps

  Es geht bei dieser Aufgabe nicht um die Lösbarkeit des Ungleichungssystems.

  Ein lineares Ungleichungssystem besteht aus mindestens zwei Ungleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen.

  Wenn eine Gleichung vorhanden ist, so kann diese umgeformt und eingesetzt werden.

  Lösung

  Ein System linearer Ungleichungen muss aus

  • mindestens zwei Ungleichungen bestehen,
  • die gleichzeitig erfüllt sein müssen.

  Wenn eine Gleichung vorliegt, so kann diese umgeformt und in der Ungleichung eingesetzt werden.

  Es gibt zwei lineare Ungleichungssysteme. Diese sind:

  • $\begin{align*} 1,6x+y &\le 8\\ x-y& \ge2 \end{align*}$ sowie
  • $\begin{align*} x+y &\le 1,6\\ x& \ge2 \end{align*}$.

• Leite das lineare Ungleichungssystem her.

  Tipps

  „Mindestens“ bedeutet $\ge$ und „höchstens“ $\le$.

  Wenn Paul Geld für Eis und Stifte ausgibt, so ist die Summe der Einzelbeträge das, was Paul insgesamt ausgegeben hat.

  Da Paul maximal $20~€$ ausgeben möchte, ist dies die obere Grenze der gesamten Ausgaben.

  Lösung

  Zunächst werden der

  • Anzahl der Eiskugeln die Variable $x$ und
  • der der Stifte $y$ zugeordnet.

  Da Paul mindestens $4$ Kugeln Eis kaufen möchte, führt dies zu der Ungleichung $x\ge4$.

  Er braucht mindestens $6$ neue Stifte. Dies führt zu $y\ge 6$.

  Paul hat $20~€$ dabei. Mehr kann er also nicht ausgeben. Dies führt zu der Ungleichung

  $1,2x+1,4y\le20$.

  Dieses lineare Ungleichungssystem besteht also aus drei Ungleichungen:

  $\begin{align*} x&\ge4\\ y&\ge6\\ 1,2x+1,4y&\le20. \end{align*}$

• Stelle das lineare Ungleichungssystem auf.

  Tipps

  Ordne zunächst der Anzahl der Kisten Variablen zu:

  • Kiste A: $x$ und
  • Kiste B: $y$.

  Beachte das maximale Gewicht und Volumen des LKW.

  Die Variablen müssen positiv sein, jedoch werden diese Ungleichungen nicht in das System der Ungleichungen mit einbezogen.

  Lösung

  Zunächst wird der Anzahl der Kisten jeweils eine Variable zugeordnet:

  • Kiste A: $x$ und
  • Kiste B: $y$.

  Das Gesamtgewicht der Kisten A beträgt somit $1,6x$, das Volumen $2,7x$, das Gesamtgewicht der Kisten B $2,0y$ und das Volumen $1,8x$.

  Da der LKW maximal $14~t$ transportieren kann, erhält man die Ungleichung:

  $1,6x+2,0y\le 14$

  und ebenso für das Volumen, welches maximal $20~m^3$ beträgt:

  $2,7x+1,8y\le20$.

  Zusätzlich muss die Anzahl der Kisten positiv sein. Diese Ungleichungen gehen jedoch nicht in das System der Ungleichungen ein.

• Stelle das lineare Ungleichungssystem auf.

  Tipps

  • „mindestens“ entspricht $\le$ und
  • „höchstens“ entspricht $\ge$.

  Zur Orientierung ist eine obere Grenze für $x$ bereits angegeben.

  Der Teppich muss natürlich in das Zimmer passen.

  Lösung

  Das komplette Ungleichungssystem ist hier zu sehen.

  Zu den einzelnen Gleichungen:

  • Der Teppich muss in das Zimmer passen, das bedeutet, dass der Teppich maximal so lang und so breit ist wie das Zimmer $x\le3$ und $y\le5,5$.
  • Der Teppich soll mindestens $1,2~m$ breit sein, das bedeutet $x\ge 2$.
  • Die Differenz von Länge und Breite soll höchstens $2~m$ betragen: $y-x\le 2$.
  • Der Teppich soll mindestens doppelt so lang sein wie breit: $y\ge2x$. Diese Ungleichung kann umgeformt werden zu $-2x+y\ge0$.