Lineare und nichtlineare Funktionen

Lineare und nichtlineare Funktionen Übung

• Vervollständige die folgenden Sätze über verschiedene Funktionstypen.

  Tipps

  Lineare, quadratische und kubische Funktionen unterscheiden sich durch die Potenzen von $x$ in der Funktionsgleichung.

  Achte auf die jeweils höchste Potenz von $x$ in der Funktionsgleichung.

  Lösung

  Lineare, quadratische und kubische Funktionen kannst du erkennen, indem du die Potenzen von $x$ beachtest:

  Lineare Funktionen sind von der Form $f(x)=mx+b$. Die Variable $x$ kommt hier nur in der ersten Potenz vor. Der Graph einer linearen Funktion lässt sich aus dieser Form ablesen: Es ist die Gerade mit Steigung $m$ und $y$-Achsenabschnitt $b$.

  Quadratische Funktionen sind von der Form $f(x)=ax^2 +bx +c$, d. h. mit einem Quadrat an der Variablen $x$. Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine nach oben oder nach unten geöffnete Parabel. Der Graph ist also keine Gerade.

  Kubische Funktionen sind von der Form $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$. Hier kommt ein Term der Form $x^3$ vor. Der Graph beschreibt eine S-Kurve.

• Beschrifte die dargestellten Graphen mit dem richtigen Funktionstyp.

  Tipps

  Lineare Funktionen haben als Graphen immer eine Gerade. Die Steigung $m$ gibt an, ob die Gerade von links nach rechts ansteigt oder abfällt.

  Die Graphen quadratischer Funktionen sind Parabeln.

  Graphen mit zwei verschiedenen Krümmungen gibt es nur bei kubischen Funktionen.

  Lösung

  Im hier abgebildeten Koordinatensystem sind die vier Graphen zu sehen, denen in der Aufgabe die Funktionstypen zugeordnet werden sollten.

  Dabei sind der erste und der zweite Graph Geraden, also Graphen linearer Funktionen. Geraden mit positiver Steigung steigen von links nach rechts an. Geraden mit negativer Steigung fallen von links nach rechts ab.

  Die erste Gerade steigt von links nach rechts an, hat demnach eine positive Steigung (d. h. $m>0$). Die zweite Gerade fällt von links nach rechts ab, hat demzufolge eine negative Steigung (und damit $m<0$).

  Eine nach oben oder nach unten geöffnete Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion. Der dritte Graph in diesem Koordinatensystem zeigt eine nach oben geöffnete Parabel, d. h. den Graphen einer quadratischen Funktion.

  Der Graph einer kubischen Funktion beschreibt eine S-Kurve, also eine Kurve mit zwei verschiedenen Krümmungen. Der vierte Graph im abgebildeten Koordinatensystem zeigt eine solche S-Kurve, also den Graphen einer kubischen Funktion.

• Entscheide, welche Funktionsterme linear, quadratisch oder kubisch sind.

  Tipps

  In der Funktion mit der Funktionsgleichung $f(x)=x^2$ ist $x^2$ der Funktionsterm.

  Den Funktionstyp kann man an der höchsten Potenz von x in der Funktionsgleichung ablesen.

  Lineare und quadratische Funktionen enthalten keinen Term der Form $x^3$.

  Lösung

  Den Funktionstyp kann man am Funktionsterm ablesen.

  Lineare Funktionen sind von der Form $f(x)=mx+b$. In der Aufgabe sind folgende Funktionsterme linear:

  • $3x+2$
  • $x-5$
  • $x+4$

  Quadratische Funktionen sind von der Form $f(x)=ax^2+bx+c$. Quadratische Funktionen erkennt man also daran, dass $x^2$ die höchste Potenz von $x$ ist, die in der Funktionsgleichung vorkommt. In der Aufgabe sind folgende Funktionsterme quadratisch:

  • $3x^2+2$
  • $5x^2+x$
  • $x^2-4$

  Kubische Funktionen schließlich erkennt man an der dritten Potenz von $x$ in der Funktionsgleichung. Kubische Funktionen sind von der Form $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$. In der Aufgabe sind folgende Funktionsterme kubisch:

  • $2x^3+2 $
  • $x^3+x^2 $
  • $x^2+x^3$

• Bestimme die Funktionstypen, die die Abschnitte einer Rennstrecke beschreiben.

  Tipps

  Geraden haben keine Krümmungen.

  Graphen quadratischer Funktionen sind keine S-Kurven.

  S-Kurven haben zwei verschiedene Krümmungen.

  Lösung

  Der erste Streckenabschnitt ist eine Gerade mit positiver Steigung, denn er enthält keine Krümmungen und steigt von links nach rechts an. Dieser Abschnitt ist daher der Graph einer linearen Funktion.

  Der zweite Streckenabschnitt hat zwei verschiedene Krümmungen und beschreibt somit eine S-Kurve. Solche S-Kurven kommen nur als Graphen kubischer Funktionen vor. Hier steigt die S-Kurve von links nach rechts an.

  Der dritte Streckenabschnitt ist eine nach unten geöffnete Parabel. Er ist damit der Graph einer quadratischen Funktion.

  Der vierte Streckenabschnitt ist wieder eine S-Kurve und damit der Graph einer kubischen Funktion. Hier fällt die S-Kurve aber von links nach rechts ab.

  Der fünfte Streckenabschnitt ist eine Gerade mit negativer Steigung, denn er enthält keine Krümmungen und fällt von links nach rechts ab.

  Der sechste Streckenabschnitt ist eine nach oben geöffnete Parabel und damit der Graph einer quadratischen Funktion.

• Gib an, welche Eigenschaften lineare Funktionen haben.

  Tipps

  Der Graph einer linearen Funktion hat keine Krümmungen.

  Geraden haben eine Steigung und einen $y$-Achsenabschnitt.

  Bei Funktionen der Form $f(x)=mx +b$ ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

  Lösung

  Eigenschaften linearer Funktionen

  Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Lineare Funktionen sind von der Form $f(x)=mx+b$. Hierbei ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

  In der Funktionsgleichung einer linearen Funktion kommt keine höhere Potenz von $x$ vor, also kein $x^2$ oder $x^3$.

  Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, also nicht gekrümmt.

  Die einzelnen Aussagen

  • Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

  Diese Aussage ist richtig. Denn lineare Funktionen sind vorn der Form $f(x) = mx +b$. Dabei ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ ihr $y$-Achsenabschnitt.

  • Der Graph einer linearen Funktion ist eine S-Kurve.

  Diese Aussage ist falsch. S-Kurven kommen nämlich nur als Graphen kubischer Funktionen vor.

  • Der Graph einer linearen Funktion ist gekrümmt.

  Diese Aussage ist falsch. Denn die Graphen linearer Funktionen sind Geraden, also insbesondere nicht gekrümmt.

  • Lineare Funktionen sind von der Form $f(x)=ax^2 +bx +c$.

  Diese Aussage ist falsch. Die höchste vorkommende Potenz von $x$ ist nämlich $x^2$. Es handelt sich also um eine quadratische Funktion.

  • Lineare Funktionen sind von der Form $f(x)=mx +b$.

  Diese Aussage ist richtig. Die Steigung der Geraden ist $m$ und $b$ ist der $y$-Achsenabschnitt.

  • Eine Funktion der Form $f(x)=mx^2 +b$ ist linear.

  Diese Aussage ist falsch. Denn der Term $mx^2$ zeigt an, dass es sich um eine quadratische Funktion handelt.

  • Eine Funktion der Form $f(x)=mx^2 + b$ ist nicht linear.

  Diese Aussage ist richtig. Die Funktion enthält nämlich einen Term der Form $x^2$.

• Wähle korrekt aus.

  Tipps

  Das Vorzeichen vor der höchsten Potenz von $x$ bestimmt den Anstieg bzw. Abfall des Funktionsgraphen von links nach rechts.

  Das konstante Glied der Funktionsgleichung gibt an, wo der Graph die $y$-Achse schneidet.

  Lösung

  Lineare Funktionen

  Der Graph einer Funktion der Form $f(x)=mx+b$ ist eine Gerade. Hierbei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt. Ist $m$ postitiv, steigt der Funktionsgraph von links nach rechts an. Ist $m$ negativ, so fällt er von links nach rechts ab.

  Quadratische Funktionen

  Der Graph einer Funktion der Form $f(x)=ax^2+bx+c$ ist eine nach oben oder nach unten geöffnete Parabel. Ist $a$ positiv, ist die Parabel nach oben geöffnet, anderenfalls nach unten. Der $y$-Achsenabschnitt ist $c$.

  Kubische Funktionen

  Der Graph einer Funktion der Form $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ beschreibt eine S-Kurve, d. h. eine Kurve mit zwei verschiedenen Krümmungen. Der $y$-Achsenabschnitt ist $d$.

  Nun zu den einzelnen Graphen:

  1. Funktion

  Die Funktion $f(x)=x+2$ hat die Steigung $m=1$ und schneidet die $y$-Achse bei $b=2$.

  2. Funktion

  Die Funktion $f(x)=-\frac{1}{2}x +3$ hat die Steigung $m=-\frac{1}{2}$ und schneidet die $y$-Achse bei $b=3$.

  3. Funktion

  Der Graph der Funktion $f(x)=x^2-2$ hat den $y$-Achsenabschnitt $c=2$ und ist eine nach oben geöffnete Parabel.

  4. Funktion

  Der Graph der Funktion $f(x)=-x^2+1$ hat den $y$-Achsenabschnitt $c=1$ und ist eine nach unten geöffnete Parabel.

  5. Funktion

  Die Funktion $f(x)=x^3 + x^2+1$ beschreibt eine von links nach rechts ansteigende S-Kurve mit dem $y$-Achsenabschnitt $d=1$.

  6. Funktion

  Die Funktion $f(x)=-x^3+x^2-1$ beschreibt eine von links nach rechts fallende S-Kurve mit dem $y$-Achsenabschnitt $d=-1$.