Funktionsarten identifizieren
Lies dir die verschiedenen Funktionsarten anhand von Wertetabellen durch! Lerne, wie man zwischen linearen, quadratischen und Exponentialfunktionen unterscheiden kann. Erstelle und analysiere Graphen für jedes Funktionsmodell. Interessiert? Das und mehr erfährst du in unserem anschaulichen Text!
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Grundlagen zum Thema Funktionsarten identifizieren
Einführung: Funktionsarten anhand der Wertetabelle erkennen
In diesem Text schauen wir uns an, wie man lineare Funktionen, quadratische Funktionen und Exponentialfunktionen anhand ihrer Wertetabellen erkennen kann. Es wird einfach erklärt, wie man die Funktionsarten voneinander unterscheiden kann. Dafür betrachten wir zunächst die Eigenschaften der Funktionsarten und ihrer Wertetabellen und schauen uns danach an, welche Graphenarten es gibt.
Lineare Funktion
Die Definition für Wertetabellen, die lineare Funktionen zeigen, lautet:
- Ergibt die Differenz zweier beliebiger aufeinanderfolgender $y$-Werte geteilt durch die Differenz der zugehörigen $x$-Werte immer die gleiche Konstante $m$, so zeigt die Wertetabelle eine lineare Funktion.
Die zugehörige Formel lautet:
$\boxed{m = \dfrac{y_n - y_{n-1}}{x_n - x_{n-1}}}$
Die Differenz zweier aufeinanderfolgender $y$-Werte wird auch als erste Differenz bezeichnet.
Schauen wir uns das an der folgenden Wertetabelle an:
| $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $1,0$ | $1,7$ | $2,4$ | $3,1$ | $3,8$ | $4,5$ | $5,2$ | $5,9$ | $6,6$ |
In der Wertetabelle sehen wir, dass die Differenz zweier aufeinanderfolgender $y$-Werte immer $0,7$ beträgt. Die Differenz der zugehörigen $x$-Werte ist immer $1$. Wir können $m$ berechnen mit:
$m = \dfrac{0,7}{1} = 0,7$
Quadratische Funktion
Die Definition für Wertetabellen, die quadratische Funktionen zeigen, lautet:
- Eine Wertetabelle zeigt eine quadratische Funktion, wenn sich der $x$-Wert konstant ändert und die Veränderung der ersten Differenzen ebenfalls konstant ist.
Die Veränderung der ersten Differenz kann auch Differenzendifferenz genannt werden. Um diese zu berechnen, werden zunächst die ersten Differenzen berechnet, also die Veränderung zweier aufeinanderfolgender $y$-Werte. Im Anschluss wird die Veränderung dieser ersten Differenzen berechnet.
Schauen wir uns das an der folgenden Wertetabelle an:
| $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $1,0$ | $1,4$ | $2,0$ | $2,8$ | $3,8$ | $5,0$ | $6,4$ | $8,0$ | $9,8$ |
In der gezeigten Wertetabelle beträgt die Veränderung zwischen dem ersten und dem zweiten $y$-Wert $0,4$. Die Veränderung zwischen dem zweiten und dem dritten $y$-Wert beträgt $0,6$. Die Veränderung zwischen diesen beiden Differenzen beträgt $0,2$. Betrachten wir die Veränderung zwischen zwei aufeinanderfolgenden Werten, so sehen wir, dass diese immer größer wird. Sie verändert sich mit jedem Schritt um $0,2$. Die Differenzendifferenz beträgt also $0,2$ und ist bei der gezeigten Wertetabelle konstant. Auch die Veränderungen der
Exponentialfunktion
Die Definition für Wertetabellen, die Exponentialfunktionen zeigen, lautet:
- Die Werte in einer Wertetabelle stellen eine Exponentialfunktion dar, wenn die Veränderung von $x$ ebenso wie das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender $y$-Werte stets konstant ist.
Das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender $y$-Werte wird berechnet durch: $\dfrac{y_{n+1}}{y_n}$
Schauen wir uns das an der folgenden Wertetabelle an:
| $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $1,00$ | $1,40$ | $1,96$ | $2,74$ | $3,84$ | $5,38$ | $7,53$ | $10,54$ | $14,76$ |
Die Veränderung von $x$ beträgt stets $1$. Berechnen wir zunächst das Verhältnis der ersten beiden $y$-Werte:
$\dfrac{1,4}{1} = 1,4$
Wiederholen wir das mit den restlichen Werten, erhalten wir immer $1,4$. Das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender $y$-Werte ist also auch stets konstant. Bei der Funktion zur oben stehenden Wertetabelle handelt es sich also um eine Exponentialfunktion.
Zusammenfassung: Graphen der verschiedenen Funktionsarten
Tragen wir nun die zur Wertetabelle gehörigen Funktionen in ein Koordinatensystem ein. Da keiner der Werte negativ ist, betrachten wir lediglich den $1$. Quadranten. Zunächst können wir die Werte der ersten Wertetabelle eintragen. Da es sich um eine lineare Funktion handelt, können alle eingetragenen Punkte durch eine Gerade miteinander verbunden werden.
Im nächsten Schritt können wir die Werte aus der zweiten Wertetabelle in das Koordinatensystem eintragen. Wir erhalten die typische Parabelform einer quadratischen Funktion.
Tragen wir nun die Werte aus der dritten Wertetabelle ein, so erhalten wir eine Exponentialfunktion.
Weitere Beispiele zu den erklärten Funktionsarten findest du hier bei sofatutor, in den Übungen und Aufgaben zum Thema Funktionsarten identifizieren.
Transkript Funktionsarten identifizieren
Phillipe Rolox ist seit fast 50 Jahren Uhrmacher. Nun, da seine Sehkraft nachlässt, möchte er sein Geschäft an seine Nachkommen weitergeben. In einem Wettstreit sollen seine Kinder Victoria und Adrien die Produktionsgeschwindigkeit von Phillipes geliebten Uhren verbessern. Wer bei dieser freundschaftlichen Geschwisterrivalität die Nase vorn hat, wird der Erbe von Phillipes Unternehmen. Jedes Kind bekommt eine Uhr, dann machen sie sich daran, eine neue Maschine zu finden, mit der sie den Wettbewerb gewinnen können. Um herauszufinden, welche Maschine die Uhren am schnellsten herstellen kann, müssen Victoria und Adrien lineare Funktionen, quadratische Funktionen und Exponentialfunktionen erkennen können. Bisher war Phillipes Produktionsgeschwindigkeit konstant. Er kann sie deswegen als lineare Funktion darstellen. Wie das? Schauen wir uns die Tabelle an, in der Phillipe seinen Produktionsprozess notiert hat. Eine Wertetabelle zeigt eine lineare Funktion, wenn die Differenz von zwei beliebigen, aufeinanderfolgenden y-Werten geteilt durch die Differenz der dazugehörigen x-Werte immer die gleiche Konstante m ergibt. Die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden y-Werten nennt man manchmal auch die erste Differenz. Für diese Tabelle bedeutet das: 1,7 minus 1 ist gleich 0,7. 2,4 minus 1,7 ist ebenfalls 0,7. Wir sehen, dass die Differenz von zwei aufeinanderfolgenden y-Werten immer 0,7 ist. Und die der dazugehörigen x-Werte ist stets 1. In diesem Fall ist m also gleich 0,7 geteilt durch 1 also 0,7. Die Gleichung, mit der man Phillipes Produktionsprozess darstellen kann, ist also linear. Victoria glaubt eine Maschine gefunden zu haben, die einen Produktionsprozess mit einem quadratischen Wachstum ermöglicht. Um sicherzugehen, notiert Victoria die ersten 10 Produktionstage in eine Tabelle und vergleicht die Anzahl an hergestellten Uhren. Eine Wertetabelle zeigt eine quadratische Funktion, wenn sich die x-Werte konstant verändern und wenn sich die ersten Differenzen ebenfalls konstant verändern. Hier ist die Veränderung von x stets 1. Die Veränderung der ersten Differenzen könnte man auch "Differenzendifferenz" nennen. Um die Differenzendifferenz zu finden, berechnen wir die ersten Differenzen, also die Veränderungen zwischen aufeinanderfolgenden y-Werten, und dann berechnen wie die Veränderungen der ersten Differenzen, also die Veränderung der Veränderungen der y-Werte. Die Veränderung der x-Werte und die Differenzendifferenz sind konstant. Victorias Produktionsprozess kann also wie erwartet durch eine quadratische Funktion dargestellt werden. Ein Handelsreisender hat Adrien erzählt, dass seine Maschine Uhren mit einer exponentiellen Geschwindigkeit herstellen kann. Um nicht übers Ohr gehauen zu werden, will Adrien das an einer Wertetabelle überprüfen. Zuerst überprüft er, ob die Werte linear sind. Dazu muss er sich die Veränderung der y-Werte geteilt durch die Veränderung der x-Werte anschauen. Der x-Wert verändert sich stets um 1. Aber die erste Differenz ist nicht konstant. Der erste Differenzwert ist 0,4 der zweite 0,56 der dritte 0,78. Die Veränderung von y geteilt durch die Veränderung von x hat nicht immer den gleichen Wert. Die Tabelle zeigt also keine lineare Funktion. Nun überprüft Adrien, ob die Tabelle eine quadratische Funktion darstellt. Dazu schaut er sich die Differenzendifferenz an. Der erste Differenzwert ist 0,16 der zweite aber 0,22. Die Werte sind nicht konstant, also handelt es sich nicht um eine quadratische Funktion. Hat der Handelsreisende vielleicht tatsächlich die Wahrheit gesagt? Die Werte in der Tabelle stellen eine Exponentialfunktion dar, wenn die Veränderung von x stets konstant ist und wenn das Verhältnis von zwei aufeinanderfolgenden y-Werten konstant ist. Schauen wir uns einfach mal die ersten Tage in der Tabelle an. Die Veränderung von x beträgt stets 1. Nun muss Adrien das Verhältnis der y-Werte überprüfen: Er teilt den y-Wert von Tag 1 durch den y-Wert von Tag 0 und erhält 1,4. Dann teilt er den y-Wert von Tag 2 durch den y-Wert von Tag 1 und erhält ebenfalls 1,4. Gerundet auf eine Nachkommastelle erhält er stets 1,4. Der Handelsreisende hat also die Wahrheit gesagt. Es handelt sich tatsächlich um eine Exponentialfunktion! Victoria und Adrien haben ihre Fleißarbeit erledigt. Ihr Vater kann die Tabellen nun in ein Koordinatensystem übertragen, um die Produktionsprozesse zu vergleichen. Da keiner der Produktionsprozesse negativ ist, muss er sich nur den ersten Quadranten des Koordinatensystems anschauen. Als erstes zeichnet er die Werte seines Produktionsprozesses ein. Da sein Produktionsprozess als lineare Funktion dargestellt werden kann, zieht er eine Gerade durch alle Punkte, die er eingezeichnet hat. Als nächstes trägt er die Werte aus Victorias Tabelle ein. Tatsächlich erhält er so die typische Parabelform einer quadratischen Funktion. Victorias Produktionsprozess kann also als quadratische Funktion dargestellt werden. Sie hat einen Weg entdeckt, die Uhren schneller herzustellen. Als Letztes zeichnet Monsieur Rolox die Punkte aus Adriens Tabelle ein. Und tatsächlich: Adriens Uhrenproduktion kann als Exponentialfunktion dargestellt werden. Mit jeder der drei Produktionsweisen kann man in der gleichen Zeit ungefähr 4 Uhren herstellen. Aber schau nur, wie Adriens exponentielle Produktionskurve ab diesem Punkt ansteigt. Monsieur Rolox ist ganz begeistert von dem Engagement, mit dem seine Kinder nach neuen Produktionswegen gesucht haben. Jetzt lassen sich SO viele Uhren in so kurzer Zeit anfertigen. Dank seiner Kinder muss Phillipe Rolox seine Augen nicht mehr anstrengen, um Uhren herzustellen. Toll für ihn, denn so kann er noch ein paar Jahre weiterarbeiten. Nicht so toll für seine Kinder, denn auf absehbare Zeit werden sie sein Geschäft wohl nicht übernehmen.
Funktionsarten identifizieren Übung
-
Bestimme, ob die Funktion quadratisch ist.
TippsEine Funktion ist linear, wenn der Quotient der Differenz zweier aufeinanderfolgender $y$-Werte durch die entsprechende Differenz der aufeinanderfolgenden $x$-Werten immer gleich ist. Also
$\frac{y_n-y_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}= \text{const}$
Eine Funktion ist quadratisch, wenn der Quotient aus den Veränderungen der Veränderungen der $y$-Werte und den entsprechenden Veränderungen der $x$-Werte immer gleich ist.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Mithilfe der Wertetabelle kann sie die Funktionsart bestimmen. Zuerst möchte sie bestimmen, ob die Funktion nicht doch linear ist. Dazu betrachtet sie die Differenzen von aufeinanderfolgenden $x$-Werten, also:
$x_n-x_{n-1}$
Hier ist dies für alle betrachteten Werte gleich $1$.“
- Aus der Wertetabelle kannst du die benötigten $x$-Werte ablesen und sie voneinander abziehen.
$y_n-y_{n-1}$
Für die ersten beiden Werte erhält sie:
$y_1-y_0=1,4-1,0=0,4$ und
$y_2-y_1=2,0-1,4=0,6$
Die Funktion kann also nicht linear sein.“
- Eine Funktion ist linear, wenn der Quotient der Differenz zweier aufeinanderfolgender $y$-Werte durch die entsprechende Differenz der aufeinanderfolgenden $x$-Werten immer gleich ist. Also $\frac{y_n-y_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}= \text{const}$
$0,6-0,4=0,2$ und
$0,8-0,4=0,2$
Auch wenn sie die anderen Veränderungen der $y$-Werte einsetzt, erhält sie dasselbe Ergebnis. Die Funktion ist also quadratisch.“
- Eine Funktion ist quadratisch, wenn der Quotient aus den Veränderungen der Veränderungen der $y$-Werte und den entsprechenden Veränderungen der $x$-Werte immer gleich ist.
-
Beschreibe den Vorgang beim Erkennen von Exponentialfunktionen.
TippsEinige der benötigten Werte kannst du aus der Wertetabelle ablesen.
Mit den Werten aus der Tabelle kannst du die restlichen Werte berechnen. Zum Beispiel mit:
$y_n-y_{n-1}$
LösungSo kannst du die Lücken füllen:
„Zuerst möchte Adrien sehen, ob die Funktion nicht doch linear ist. Dazu betrachtet er zunächst die Veränderung der $x$-Werte. Diese ist $1$.
Anschließend sieht er sich die Veränderung der $y$-Werte an. Hier erhält er für die ersten beiden Veränderungen:
$1,40-1,00=0,40$ und
$1,96-1,40=0,56$
Die Funktion kann also nicht linear sein.“
- Hier kannst du die Lücken teilweise aus der Wertetabelle ablesen. Die restlichen Lücken kannst du mit den Formeln $x_n-x_{n-1}$ und $y_n-y_{n-1}$ berechnen. Da die Veränderung der $y$-Werte nicht konstant ist ($0,40\neq 0,56$), kann die Funktion nicht linear sein.
$0,56-0,40=0,16$ und
$0,78-0,56=0,22$
Die Funktion ist also auch nicht quadratisch.“
- Da auch die Veränderung der Veränderung der $y$-Werte nicht konstant ist ($0,16\neq 0,22$), kann die Funktion ebenso wenig quadratisch sein.
$\frac{1,40}{1,00}=1,40$ und
$\frac{1,96}{1,40}=1,40$
Auch für alle weiteren Verhältnisse der $y$-Werte ergibt sich dieser Wert. Damit ist klar, dass hier ein exponentieller Zusammenhang vorliegt.“
- Ein exponentieller Zusammenhang liegt vor, wenn die Verhältnisse aufeinanderfolgender $y$-Werte konstant sind und die Differenzen aufeinanderfolgender $x$-Werte ebenfalls konstant sind.
-
Ermittle verschiedene Kennwerte zur Bestimmung der Funktionsart.
TippsHier gibt der Index $1$ die zweite Zeile der Tabelle an. Also $x_1=1$ und $y_2=0,5$.
LösungDu kannst die Kennwerte bestimmen, indem du die Werte aus der Tabelle abliest und anschließend in die Rechnungen einsetzt. Dabei musst du die Nummerierung der Werte beachten. Hier gibt der Index $1$ die zweite Zeile der Tabelle an. Also $x_1=1$ und $y_2=0,5$. Damit ergeben sich folgende Werte:
Veränderungen der $x$-Werte:
$x_2-x_{1}=1$
$x_n-x_{n-1}=1$
Veränderungen der $y$-Werte:
$y_1-y_{0}=0,5$
$y_2-y_{1}=1,5$
$y_3-y_{2}=2,5$
Veränderungen der Veränderungen der $y$-Werte:
$(y_2-y_{1})-(y_1-y_{0})=1$
$(y_3-y_{2})-(y_2-y_{1})=1$
Quotienten aufeinanderfolgender $y$-Werte:
$\dfrac{y_2}{y_1}=4$
$\dfrac{y_3}{y_2}=2,25$
Die Wertetabelle beschreibt also einen quadratischen Zusammenhang.
- Die Funktion ist quadratisch, da die Veränderung der Veränderung der $y$-Werte konstant ist (in diesem Fall $1$). Die Bedingungen für lineare oder exponentielle Funktionen sind hingegen nicht erfüllt.
-
Ermittle, welche Funktionsart durch die Wertetabelle dargestellt wird.
TippsUm zu bestimmen, welche der Tabellen welche Funktion beschreibt, musst du die Kennzahlen der Tabellen bestimmen.
Für alle Tabellen gilt:
$x_n-x_{n-1}=1$
Ein exponentieller Zusammenhang muss nicht immer ansteigen. Es kann auch sein, dass eine exponentielle Funktion fällt. Das nennt man auch exponentiellen Zerfall.
LösungUm zu bestimmen, welche der Tabellen welche Funktion beschreibt, musst du die Kennzahlen der Tabellen bestimmen.
Für alle Tabellen gilt:
$x_n-x_{n-1}=1$
Für die Tabelle ganz links gilt zusätzlich, dass die Differenzen der Differenzen immer gleich sind. Für die ersten beiden ergibt sich:
$(y_2-y_{1})-(y_1-y_{0})=(2,2-0,55)-(0,55-0)=1,1$
$(y_3-y_{2})-(y_2-y_{1})=(4,95-2,2)-(2,2-0,55)=1,1$
Die Funktion ist also quadratisch.
Für die zweite Tabelle von links sind die Differenzen der $y$-Werte immer gleich. Hier ergibt sich für die ersten beiden Werte:
$y_1-y_0=0,55-0=0,55$
$y_2-y_1=1,1-0,55=0,55$
Diese Tabelle stellt also einen linearen Zusammenhang dar.
Bei der zweiten Tabelle von rechts sind die Verhältnisse aufeinanderfolgender $y$-Werte konstant. Hier erhalten wir für die ersten beiden Werte:
$\dfrac{y_1}{y_0}=\dfrac{0,55}{1}=0,55$
$\dfrac{y_2}{y_1}=\dfrac{0,0325}{0,55}=0,55$
Es handelt sich also um einen exponentiellen Zusammenhang. Ein exponentieller Zusammenhang muss nicht immer ansteigen. Es kann auch sein, dass eine exponentielle Funktion fällt. Das nennt man auch exponentiellen Zerfall.
Bei der rechten Tabelle ist keiner dieser Kennwerte konstant. Hier ist also keiner der obigen Zusammenhänge erkennbar.
-
Bestimme die korrekten Aussagen zum Vorgehen beim Identifizieren von Funktionsarten.
Tipps$n$ bezeichnet hier eine beliebige Zeile der Wertetabelle. Zum Beispiel könnte $n=0$ die erste Zeile und $n=1$ die zweite Zeile beschreiben.
Der Ausdruck
$\frac{y_n-y_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}$
heißt auch Steigung einer linearen Funktion.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Die Veränderung der $y$-Werte
$y_n-y_{n-1}$
nennt man auch die zweite Differenz.“
- Diese Formel gibt die erste Differenz an.
$\frac{y_n-y_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}=1~^“$
- Bei einer linearen Funktion ist dieser Bruch zwar immer konstant, allerdings nicht unbedingt gleich $1$. $n$ bezeichnet hier eine beliebige Zeile der Wertetabelle. Zum Beispiel könnte $n=0$ die erste Zeile und $n=1$ die zweite Zeile beschreiben.
„Ein exponentieller Zusammenhang liegt vor, wenn die Verhältnisse aufeinanderfolgender $y$-Werte konstant sind und die Differenzen aufeinanderfolgender $x$-Werte ebenfalls konstant sind.“
„Bei einer quadratischen Funktion sind die Veränderungen der Veränderungen der $y$-Werte immer konstant.“
„Veränderungen aufeinanderfolgender $x$-Werte kannst du mit
$x_n-x_{n-1}$
bestimmen.“
-
Erschließe den Funktionstyp anhand der Funktiosgleichung.
TippsDie Funktionsart kannst du bestimmen, indem du die Wertetabelle aufstellst und anschließend die entsprechenden Kennzahlen berechnest. Allerdings kannst du auch anhand der Exponenten der Variablen entscheiden, um welche Art von Funktionen es sich handelt.
Bei einer linearen Funktion wird die abhängige Variable der Funktionsgleichung zur ersten Potenz erhoben. Auch konstante Funktionen ohne Variable sind lineare Funktionen.
LösungDie Funktionsart kannst du bestimmen, indem du die Wertetabelle aufstellst und anschließend die entsprechenden Kennzahlen berechnest. Allerdings kannst du auch anhand der Exponenten der Variablen entscheiden, um welche Art von Funktionen es sich handelt.
Bei einer linearen Funktion wird die abhängige Variable der Funktionsgleichung zur ersten Potenz erhoben. Auch konstante Funktionen ohne Variable sind lineare Funktionen.
Bei einer quadratischen Funktion wird die abhängige Variable der Funktionsgleichung zur zweiten Potenz erhoben.
Bei einer Exponentialfunktion steht die abhängige Variable im Exponenten der Funktion.
Damit ergibt sich, dass diese Aussagen falsch sind:
„Mit $y=\dfrac{1}{x}$ wird ein exponentieller Zusammenhang beschrieben.“
- Hier steht die Variable im Nenner eines Bruchs. Diese Funktion wird gebrochenrationale Funktion genannt.
- Zwar wird hier etwas zur zweiten Potenz erhoben, das Ergebnis ist allerdings eine Konstante. Damit ist diese Funktion linear. Das kannst du auch anhand des dir bekannten Kriteriums ($y_n-y_{n-1}=\text{const.}$) überprüfen. Bei einer konstanten Funktion liegt der einfachste mögliche Fall vor, da alle $y$-Werte gleich sind (in diesem Fall gleich $9$) - ihre Differenz ist also konstant $0$.
„Die Funktion $y=3x-2$ beschreibt einen linearen Zusammenhang.“
- Hier ist die Variable zur ersten Potenz erhoben.
- Man betrachtet immer den höchsten Exponenten der Funktion. Dieser ist hier $2$. Dass die Funktion damit tatsächlich quadratisch ist, lässt sich durch die Bedingung $(y_n-y_{n-1})-(y_{n-1}-y_{n-2})=\text{const.}$ überprüfen.
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