Innere Tangenten an zwei Kreise – Konstruktion

Innere Tangenten an zwei Kreise – Konstruktion Übung

• Gib wieder, wie man den Mittelpunkt der Verbindungsstrecke zweier Kreismittelpunkte bestimmt.

  Tipps

  Die Mittelsenkrechte schneidet eine Verbindungsstrecke zweier Punkte genau in der Mitte der beiden Punkte.

  Jede Stelle der Mittelsenkrechten hat von den beiden Kreismittelpunkten den gleichen Abstand. Durch die Schnittpunkte der beiden Kreisbogensegmente mit gleichem Radius erhältst du zwei Punkte, die von beiden Kreismittelpunkten den gleichen Abstand haben.

  Lösung

  Den Mittelpunkt der Verbindungsstrecke zweier Kreismittelpunkte kannst du so bestimmen:

  Verbinde zunächst die Kreismittelpunkte zu einer Strecke.

  • Du willst den Mittelpunkt der Verbindungsstrecke zweier Kreismittelpunkte bestimmen. Dazu musst du sie zuerst zeichnen.

  Zeichne um jeden der beiden Kreismittelpunkte je ein Kreisbogensegment mit dem gleichen Radius so, dass diese sich in zwei Punkten schneiden. Beachte, dass der Radius größer ist, als die Hälfte der Verbindungsstrecke.

  • Durch die Schnittpunkte der beiden Kreisbogensegmente mit gleichem Radius erhältst du zwei Punkte, die von beiden Kreismittelpunkten den gleichen Abstand haben.

  Zeichne eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte der Kreisbogensegmente.

  Diese Gerade heißt Mittelsenkrechte.

  • Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten hat zu den beiden Kreismittelpunkten jeweils denselben Abstand. Mit den beiden Schnittpunkten kannst du eine Gerade zeichnen, die dies erfüllt.

  Der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der beiden Kreismittelpunkte ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Verbindungsstrecke.

• Beschreibe, wie man eine innere Tangente an zwei Kreisen konstruiert.

  Tipps

  Der Radius des zweiten Hilfskreises ist größer als die Radien der beiden einzelnen Kreise.

  Stehen zwei Geraden im Winkel $\alpha$ zueinander und führt man eine Parallelverschiebung einer der beiden Geraden durch, bleibt dieser Winkel $\alpha$ erhalten.

  Lösung

  Hast du den Mittelpunkt der Verbindungslinie zweier Kreismittelpunkte gegeben, kannst du so die inneren Tangenten konstruieren:

  „Zuerst zeichnest du einen Hilfskreis um den Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der beiden Kreismittelpunkte.“

  • Mit diesem Hilfskreis kannst du den Satz des Thales anwenden. Dieser besagt, dass jedes Dreieck, das sich aus den Eckpunkten des Durchmessers eines Kreises und einem dritten Eckpunkt auf dem Kreisrand zusammensetzt, einen rechten Winkel in diesem dritten Eckpunkt besitzt.

  „Anschließend zeichnest du einen weiteren Hilfskreis um den Mittelpunkt des großen Kreises. Der Radius dieses zweiten Hilfskreises entspricht der Summe der beiden Kreisradien.“

  „Dann zeichnest du Hilfsgeraden durch die Schnittpunkte der Hilfskreise und den Mittelpunkt des kleinen Kreises.“

  • Da die Schnittpunkte der beiden Hilfskreise auf dem Thaleskreis liegen, haben die gezeichneten Geraden einen rechten Winkel zum verlängerten Radius des großen Hilfskreises.

  „Mit einer Parallelverschiebung verschiebst du die Geraden auf die Kreisränder. Die resultierenden Geraden sind die inneren Tangenten.“

  • Durch die Parallelverschiebung bleibt der rechte Winkel erhalten. Die beiden Geraden liegen also jeweils im rechten Winkel zum Radius der beiden Kreise und berühren die Kreise in genau einem Punkt. Das sind die Bedingungen für Tangenten.

• Erkläre die verschiedenen Schritte beim Konstruieren von inneren Tangenten.

  Tipps

  So konstruierst du die Mittelsenkrechte zwischen den beiden Kreismittelpunkten.

  Die rot markierte Linie ist die Mittellinie des Geodreiecks.

  Lösung

  So kannst du jeden Konstruktionsschritt durchführen:

  • Konstruktion einer Mittelsenkrechten zwischen zwei Punkten.

  Schlage zwei Kreisbogensegmente mit gleichem Radius um die Punkte und verbinde die Schnittpunkte mit einer Geraden.

  • Zeichnen eines Hilfskreises um den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten.

  Zeichne um den Mittelpunkt einen Kreis mit einem Radius, der dem Abstand zwischen dem Mittelpunkt und einem der Punkte entspricht.

  • Konstruktion des Radius für einen Hilfskreis, der so groß ist wie der Radius des kleinen und der Radius des großen Kreises zusammen.

  Stelle den Zirkel auf den Radius des kleinen Kreises ein und verlängere den Radius des großen Kreises um diese Strecke.

  • Parallelverschiebung der Geraden.

  Richte die Mittellinie des Geodreiecks an den Strahlen aus und verschiebe die Hilfsgeraden so weit, bis sie beide Kreise in einem Punkt schneiden.

• Erkläre, warum die Konstruktion funktioniert.

  Tipps

  Der Satz des Thales handelt von rechten Winkeln in Halbkreisen.

  Ist $A$ der Mittelpunkt des großen Kreises, entspricht die Strecke $\overline{AC}$ dem Radius dieses Kreises.

  Lösung

  Du kannst die Konstruktion folgendermaßen begründen:

  „Bei der Konstruktion betrachtet man einen Halbkreis. Die Endpunkte des Durchmessers $A$ und $B$ und ein beliebiger Punkt $C$ auf dem Halbkreis bilden ein Dreieck. Der Satz des Thales besagt, dass beim Punkt $C$ ein rechter Winkel liegt.“

  • In der Grafik wird der Durchmesser durch die Punkte $A$ und $B$ begrenzt. Am Eckpunkt $C$ liegt ein rechter Winkel.

  „Das macht man sich bei der Konstruktion von inneren Tangenten zunutze. Der Hilfskreis um den Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der Kreismittelpunkte entspricht dem Thaleskreis. Die Hilfsgerade und der Strahl, der den Radius des großen Kreises verlängert, bilden also einen rechten Winkel.“

  • Die Erkenntnisse des Thaleskreises kannst du jetzt auf die Konstruktion der Tangenten anwenden. Hier macht man sich den rechten Winkel im Eckpunkt $C$ zunutze. An diesem Winkel liegen der Radius des großen Kreises und die Hilfsgerade an.

  „Die Differenz der Radien des zweiten Hilfskreises und des großen Kreises beträgt genau den Radius des kleinen Kreises. Deshalb landet die Hilfsgerade bei einer Parallelverschiebung gleichzeitig auf beiden Kreisrändern.“

  • Da die Hilfsgerade genau um die Länge des kleinen Radius entlang des großen Radius parallelverschoben wird, landet sie gleichzeitig auf beiden Kreisrändern.

  „Bei der Parallelverschiebung bleiben die Winkelbeziehungen der Geraden mit den Radien erhalten. Die verschobene Gerade ist senkrecht zu beiden Kreisradien und berührt jede der Kreislinien in genau einem Punkt. Das sind genau die Voraussetzungen für eine Tangente.“

• Bestimme die korrekten Aussagen zu Tangenten.

  Tipps

  Das ist eine Tangente an einem Kreis.

  Zwei parallele Geraden bilden immer die gleichen Winkel zu einer dritten Geraden, die beide Geraden schneidet. Zum Beispiel gilt hier:

  $\alpha_1=\alpha_2$.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Schneiden sich zwei Kreise in genau einem Punkt, kannst du auch hier zwei innere Tangenten bestimmen.“

  • Hier kannst du nur eine innere Tangente bestimmen. Das ist die Gerade, die senkrecht zu beiden Radien und durch den Schnittpunkt der beiden Kreislinien verläuft.

  „Überschneiden sich zwei Kreise, kannst du nur eine innere Tangente bestimmen.“

  • Bei sich überschneidenden Kreisen kannst du keine innere Tangente bestimmen.

  „Eine Gerade steht senkrecht zum Radius eines Kreises. Nach einer Parallelverschiebung dieser Geraden steht sie nicht mehr senkrecht zum Radius des Kreises.“

  • Eine Parallelverschiebung erhält die Winkelbeziehungen der verschobenen Geraden.

  Diese Aussagen sind korrekt:

  „Bevor du innere Tangenten konstruieren kannst, musst du zuerst eine Mittelsenkrechte zwischen den Kreismittelpunkten bestimmen.“

  • Da du für die Konstruktion der Tangenten einen Kreis um den Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der Kreismittelpunkte zeichnen musst, musst du diesen Mittelpunkt zuerst mithilfe der Mittelsenkrechten bestimmen.

  „Eine Tangente an einen Kreis schneidet diesen in genau einem Punkt und steht senkrecht zum Radius des Kreises.“

  • Das sind die Bedingungen für eine Tangente an einen Kreis.

• Bestimme die korrekten Aussagen zu inneren Tangenten.

  Tipps

  Da Tangenten Geraden sind, haben sie überall die gleiche Steigung. Gehst du auf einer Geraden einen Schritt nach rechts (auf der $x$-Achse), dann bewegt sich die Gerade immer um einen konstanten Schritt nach oben oder unten (auf der $y$-Achse). Die hier gezeichneten Tangenten erfüllen dasselbe Prinzip.

  So sehen die konstruierten inneren Tangenten an zwei unterschiedlich großen Kreisen aus.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Sind die Kreise unterschiedlich groß, ist der Schnittpunkt der inneren Tangenten immer näher am größeren Kreis.“

  • Weil Tangenten Geraden sind, haben sie überall die gleiche Steigung. Gehst du auf einer Geraden einen Schritt nach rechts (auf der $x$-Achse), dann bewegt sich die Gerade immer um einen konstanten Schritt nach oben oder unten (auf der $y$-Achse). Die hier gezeichneten Tangenten erfüllen dasselbe Prinzip. Der Rand des kleinen Kreises ist jedoch weniger weit von der Verbindungslinie der Kreismittelpunkte (in der Skizze die $x$-Achse) entfernt, als der Rand des großen Kreises. Deshalb muss der Schnittpunkt näher am kleinen Kreis liegen.

  „Schneiden sich die beiden Kreise in zwei Punkten, wandert der Schnittpunkt der Tangenten ins Innere des kleinen Kreises.“

  • Hier existieren keine Tangenten, da die beiden Bedingungen für Tangenten nicht erfüllt werden können.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Sind die Kreise gleich groß, schneiden sich die inneren Tangenten im Mittelpunkt der Verbindungslinie der beiden Kreismittelpunkte.“

  • Auch hier haben die Tangenten überall die gleiche Steigung. Allerdings sind die beiden Kreisränder gleich weit von der Verbindungslinie der Kreismittelpunkte (in der Skizze die $x$-Achse) entfernt. Also müssen sie den gleichen Weg auf der $y$-Achse zurücklegen. Damit schneiden sich die Tangenten im Mittelpunkt der Verbindungslinie der Kreismittelpunkte.

  „Egal wie weit die beiden Kreise auseinander liegen, der Schnittpunkt ihrer inneren Tangenten liegt immer auf der Verbindungslinie der beiden Kreismittelpunkte.“

  • Die oberen und unteren Ränder der beiden Kreise sind immer gleich weit von der Verbindungslinie der Kreismittelpunkte entfernt. Da die beiden Geraden betragsmäßig die gleiche Steigung haben, müssen sie sich in der Mitte, also auf der Verbindungslinie der Kreismittelpunkte treffen.

  „Sind beide Kreise gleich groß, weist die Zeichnung doppelte Achsensymmetrie auf.“

  • Unabhängig von der Größe der Kreise ist die Zeichnung achsensymmetrisch mit der Verbindungslinie der Kreismittelpunkte als Symmetrieachse. Sind die beiden Kreise gleich groß, kommt eine Symmetrieachse hinzu, die senkrecht zu dieser Verbindungslinie steht und durch den Schnittpunkt der Tangenten verläuft.