Umfang von Kreisen – Erklärung

Umfang von Kreisen – Erklärung Übung

• Gib an, welche Formeln für den Umfang eines Kreises gelten.

  Tipps

  Der Durchmesser entspricht dem doppelten Radius.

  $\pi$ gibt den Proportionalitätsfaktor $\frac{U}{d}$ an.

  Lösung

  Der Durchmesser $d$ eines Kreises geht geradlinig durch den Mittelpunkt $M$ und berührt auf beiden Seiten die Kreislinie.

  Der Radius $r$ eines Kreises geht vom Mittelpunkt $M$ aus geradlinig bis zur Kreislinie.

  Der Radius entspricht somit der Hälfte des Durchmessers, also $d=2 \cdot r $.

  Der Umfang entspricht der Länge der Kreislinie. Und $\pi$ gibt den Proportionalitätsfaktor $\frac{U}{d}$ an.

  Folgende Formeln sind im Kreis korrekt:

  • $U=2 \cdot r \cdot \pi$
  • $U=d \cdot \pi$

  Folgende Formeln sind im Kreis nicht korrekt:

  • $U=2 \cdot d \cdot \pi$
  • $U=2 \cdot d \cdot r$

• Berechne den Proportionalitätsfaktor.

  Tipps

  $\pi$ gibt den Proportionalitätsfaktor $\dfrac{U}{d}$ an.

  Um den Proportionalitätsfaktor zu berechnen, teilen wir Umfang durch den Durchmesser.
  Beispiel: $ U = 50~\text{cm}$ und $d=15{,}9~\text{cm}$
  Rechnung: $\dfrac{U}{d} = \dfrac{50}{15,9} = 3{,}144$

  Lösung

  Der Proportionalitätsfaktor wird mit dem Quotienten $\frac{U}{d}$ angegeben. $U$ ist der Umfang und $d$ der Durchmesser eines Kreises. Wenn man den Umfang von Alltagsgegenständen mit einem Kreis als Querschnitt misst, erhält man verschiedene Werte. In dieser Aufgabe sind einige Beispiele genannt. Es fällt auf, dass sich alle Quotienten um den Wert $3{,}14$ herum einordnen. Diese Zahlen nähern sich der irrationalen Zahl $\pi$ an.

  Die Ergebnisse der Rechnungen sind:

  • $\frac{20,8}{6,6}~\approx~3{,}151$

  • $\frac{25,8}{8,2}~\approx~3{,}146$

  • $\frac{60,3}{19,2}~\approx~3{,}141$

• Berechne den Umfang der einzelnen Kreise.

  Tipps

  Setze $r$ in die Formel $U=\pi \cdot 2 \cdot r$ ein.

  Setze $d$ in die Formel $U=\pi \cdot d $ ein.

  Lösung

  Der Umfang des Kreises kann mit der Formel $U=\pi \cdot 2 \cdot r$ oder $U=\pi \cdot d$ berechnet werden. Je nachdem, welchen Wert du gegeben hast, kannst du die passende Formel wählen. Grundsätzlich ist der Radius immer die Hälfte des Durchmessers.

  Folgende Paare gehören zusammen:

  • $d=5~\text{cm} ~ \rightarrow ~ U = \pi \cdot d ~ \rightarrow ~ \pi \cdot 5~\text{cm} = 15{,}70~\text{cm} = U$
  • $r=5~\text{cm} ~ \rightarrow ~ U = \pi \cdot 2 \cdot r ~ \rightarrow ~ \pi \cdot 2 \cdot 5~\text{cm} = 31{,}42~\text{cm} = U$
  • $r=4~\text{cm} ~ \rightarrow ~ U = \pi \cdot 2 \cdot r ~ \rightarrow ~ \pi \cdot 2 \cdot 4~\text{cm} = 25{,}13~\text{cm} = U$
  • $d=4~\text{cm} ~ \rightarrow ~ U = \pi \cdot d ~ \rightarrow ~ \pi \cdot 4~\text{cm} = 12{,}56~\text{cm} = U$

• Ermittle den Umfang der Kreise.

  Tipps

  Beispiel: $r = 5~\text{cm}$
  Rechnung: $U=\pi \cdot 2 \cdot 5 = 31{,}42~\text{cm}$

  Beispiel: $d=9~\text{cm}$
  Rechnung: $U=\pi \cdot 9 = 28{,}27~\text{cm}$

  Lösung

  Der Umfang des Kreises wird mit der Formel $U=\pi \cdot d$ oder $U=\pi \cdot 2 \cdot r $ berechnet.

  Folgender Umfang ist kleiner als $10~\text{cm}$.

  • $r=1{,}5~\text{cm}$, weil $U=\pi \cdot 2 \cdot 1{,}5 = 9{,}42~\text{cm}$
  • $d=1{,}5~\text{cm}$, weil $U=\pi \cdot 1{,}5 = 4{,}71~\text{cm}$
  • $d=2~\text{cm}$, weil $U=\pi \cdot 2 = 6{,}28~\text{cm}$

  Folgender Umfang ist größer als $20~\text{cm}$.

  • $r=3{,}5~\text{cm}$, weil $U=\pi \cdot 2 \cdot 3{,}5 = 21{,}99~\text{cm}$
  • $r=4~\text{cm}$, weil $U=\pi \cdot 2 \cdot 4 = 25{,}13~\text{cm}$

  Folgender Umfang liegt zwischen $10~\text{cm}$ und $20~\text{cm}$.

  • $r=2~\text{cm}$, weil $U=\pi \cdot 2 \cdot 2 = 12{,}57~\text{cm}$
  • $d=3{,}5~\text{cm}$, weil $U=\pi \cdot 3{,}5 = 11~\text{cm}$

• Bestimme den Umfang der Pizza.

  Tipps

  Der Durchmesser ist mit $30~\text{cm}$ gegeben. Hier ist der Radius gefragt.

  Der Durchmesser entspricht dem doppelten Radius.

  Du musst die $30~\text{cm}$ durch $2$ dividieren, um die richtige Lösung für die Lücke zu erhalten.

  Lösung

  Der Umfang des Kreises wird mit der Formel $U=\pi \cdot d$ oder $U=\pi \cdot 2 \cdot r $ berechnet. In der Aufgabe ist $d$ gegeben und es wird nach $r$ gefragt, deshalb müssen wir die $30~\text{cm}$ durch $2$ dividieren.

  Radius = $15~\text{cm}$
  Umfang der Pizza = $2 \cdot 15 \cdot \pi \approx 94{,}25$

• Bestimme die fehlenden Werte.

  Tipps

  Achte auf die Umrechnungen. Zum Beipiel sind $1~\text{cm} = 10~\text{mm}$.

  Um von der Einheit $\text{km}$ auf die Einheit $\text{m}$ zu kommen, wird mit dem Faktor $1000$ multipliziert. Umgekehrt wird mit dem Faktor $1000$ dividiert.
  Beispiel: $20~\text{km} \cdot 1000 = 20\,000~\text{m} $

  Lösung

  Der Umfang des Kreises wird mit der Formel $U=\pi \cdot d$ oder $U=\pi \cdot 2 \cdot r $ berechnet. In dieser Aufgabe ist es wichtig zu wissen, wie man die Einheiten umrechnet.
  Es gilt:

  • $1~\text{m} = 10 ~\text{dm} = 100~\text{cm} = 1000~\text{mm}$
  • $1~\text{km} = 1000~\text{m}$

  Alle Ergebnisse sind auf eine Nachkommastelle gerundet.

  Die Lösungen für die Aufgaben sind:

  • Umfang $ = 7{,}5~\text{cm}~ = ~75~\text{mm}~\rightarrow~ U = \pi \cdot 2 \cdot r = 75~\text{mm} ~ \rightarrow r = \dfrac{75~\text{mm}}{\pi \cdot 2} = 11{,}9~\text{cm}$
  • Radius $ =36~\text{cm}~ = ~ 0{,}36 ~\text{m} ~\rightarrow~ U= \pi \cdot 2 \cdot r= 0{,}36~\text{m} \cdot 2 \cdot \pi = 2{,}3~\text{m}$
  • Radius $ = 118~\text{m}~ = ~0{,}118~\text{km}~\rightarrow~ U=\pi \cdot 2 \cdot r = 0{,}118~\text{km} \cdot 2 \cdot \pi = 0{,}7~\text{km}$

  • Durchmesser $=0{,}7~\text{km}~ = ~700~\text{m} ~ \rightarrow ~ U = \pi \cdot d = \pi \cdot 700~\text{m} = 2199{,}1~\text{m}$
  • Umfang $ = 6{,}9~\text{dm} ~ = ~ 0{,}69~\text{m}~ \rightarrow ~ U= \pi \cdot d = \pi \cdot 0{,}69~\text{m}~ \rightarrow ~ d = \dfrac{0,69~\text{m}}{\pi} = 0{,}2~\text{m}$
  • Durchmesser $=75~\text{mm}~ = ~ 7{,}5~\text{cm} ~ \rightarrow ~ U = \pi \cdot d = \pi \cdot 7{,}5~\text{cm} = 23{,}6~\text{cm}$