Flächeninhalt von Kreisen – Erklärung

Flächeninhalt von Kreisen – Erklärung Übung

• Beschreibe die Herleitung des Flächeninhalts eines Kreises am Beispiel einer Pizza.

  Tipps

  Untersuche erst das Rechteck, welches bei Neuordnung der Kreisstücke entsteht und setze dann in die Rechtecksformel ein.

  Zuletzt musst du die erhaltene Formel noch zusammenfassen.

  Lösung

  Um den Flächeninhalt eines Kreises herzuleiten, verwenden wir die abgebildete Pizza, welche in $8$ gleich große Stücke geteilt ist. Wir können diese Stücke neu anordnen und so aneinanderlegen, dass näherungsweise ein Rechteck entsteht. Der Flächeninhalt des Kreises ist dann annähernd so groß wie der Flächeninhalt des Rechtecks.

  Die kurze Seite des Rechtecks ist der Radius $r$ des Kreises. Die lange Seite des Rechtecks ist halb so lang wie der Umfang des Kreises, also $\frac{1}{2} \cdot \pi \cdot d = \pi \cdot r$.

  Wir können allgemein den Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Formel ${A_{Rechteck} = a \cdot b}$ berechnen.
  Wir setzen ein und erhalten: $A=\pi \cdot r \cdot r = \pi \cdot r^2$

  $\,$

  Zusammengefasst ergeben sich also die folgenden Schritte:

  1. Wir teilen den Kreis in $8$ gleich große Stücke ein.
  2. Wir ordnen die Stücke neu an, sodass ein Rechteck entsteht.
  3. Die Länge des Rechtecks beträgt $r$ und die Breite beträgt $\pi \cdot r$.
  4. Wir verwenden die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks: $A= a \cdot b\ $ und setzen die bekannten Größen ein.
  5. $A= \pi \cdot r \cdot r$
  6. Wir fassen zusammen zu $A= \pi \cdot r^2$.

• Nenne Eigenschaften der Flächenberechnung bei Kreisen.

  Tipps

  Ein Kreis mit $r=2~\text{m}$ hat den folgenden Flächeninhalt:

  $A_{Kreis} = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (2~\text{m})^2 \approx 12{,}6~\text{m}^2$

  Für ein Rechteck mit den Seiten $a$ und $b$ gilt $A= a \cdot b$

  Lösung

  Wir betrachten die Herleitung und die Anwendung der Flächeninhaltsformel des Kreises:

  Herleitung der Flächeninhaltsformel:
  Wir gehen wie folgt vor:

  • Wir zerlegen den Kreis in gleich große Sektoren.
  • Wir ordnen die Stücke neu und legen sie so aneinander, dass näherungsweise ein Rechteck entsteht.
  • Wir verwenden die bekannte Flächeninhaltsformel des Rechtecks mit den Seiten $a$ und $b$: $A=a \cdot b$.
  • Wir setzen ein: $A=\pi \cdot r \cdot r = \pi \cdot r^2$.

  Die Aussage „Um den Umfang eines Kreises herzuleiten, zerlegen wir ihn in gleich breite Streifen.“ ist also falsch. Der Kreis wird in Sektoren aufgeteilt.
  Die Aussage „Um den Flächeninhalt eines Kreises herzuleiten, verwenden wir die bereits bekannte Flächeninhaltsformel des Rechtecks.“ ist richtig, hierbei geht es um die Formel $A=a \cdot b$.

  Anwendung der Flächeninhaltsformel:
  Wir können für den Flächeninhalt eines Kreises die beiden folgenden Formeln verwenden:
  

  • $A_{Kreis} = \pi \cdot r^2$
  • $A_{Kreis}= \pi \cdot \left(\dfrac{d}{2}\right)^2$

  Dabei ist $\pi$ die Kreiszahl, für die gilt: $\pi \approx 3{,}14$. Wir können also den gegebenen Radius bzw. den gegebenen Durchmesser in die jeweilige Formel einsetzen und berechnen. Dabei müssen wir in jedem Fall Klammern setzen, damit sowohl die Zahl als auch die Einheit quadriert werden:
  Beispiel: $r=2~\text{m} \quad \rightarrow \quad A_{Kreis} = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (2~\text{m})^2 \approx 12{,}6~\text{m}^2$

  Die Aussage „Beim Einsetzen in die Flächeninhaltsformel des Kreises müssen wir Klammern setzen.“ ist also richtig.
  Die Aussage „Der Flächeninhalt eines Kreises wird immer in $\text{cm}^2$ angegeben.“ ist hingegen falsch. Die Einheit kann beispielsweise auch $\text{m}^2$ sein.

• Leite den Flächeninhalt des abgebildeten Kuchens her.

  Tipps

  Eine Pizza, welche in $8$ Stücke geteilt ist, kannst du wie abgebildet neu anordnen.

  Achte darauf, den Flächeninhalt in der korrekten Einheit anzugeben.

  Lösung

  Um den Flächeninhalt des abgebildeten Kuchens herzuleiten, verwenden wir die Unterteilung des Kuchens in $\mathbf{10}$ gleich große Stücke. Wir können diese Stücke neu anordnen und so aneinanderlegen, dass näherungsweise ein Rechteck entsteht. Der Flächeninhalt des Kuchens ist dann näherungsweise so groß, wie der Flächeninhalt des Rechtecks.

  Die eine Seite des Rechtecks ist der Radius des Kuchens: $\mathbf{14}~\textbf{cm}$. Die lange Seite des Rechtecks besteht aus $\mathbf{5}$ Randteilen. Sie ist halb so lang, wie der Umfang des Kreises, also $\dfrac{1}{2} \cdot \pi \cdot d = \dfrac{1}{2} \cdot \pi \cdot 2r = \pi \cdot r= \mathbf{\pi \cdot 14}~\textbf{cm}$.

  Wir können den Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Formel ${A_{Rechteck} = \mathbf{a \cdot b}}$ berechnen.
  Wir setzen die Länge und Breite unseres Kuchenrechtecks ein und erhalten:

  $A=\mathbf{\pi \cdot 14~\textbf{cm} \cdot 14~\textbf{cm}}$

  Wir können diesen Term berechnen und erhalten damit näherungsweise den Flächeninhalt des Kuchens:

  $A=\mathbf{615{,}8~\textbf{cm}^2}$.

• Berechne den Flächeninhalt der abgebildeten Kreise.

  Tipps

  Ist der Radius $r$ gegeben, so kannst du die folgende Formel verwenden:
  $A= \pi \cdot r^2$

  Beispiel: Kreis mit $r=3~\text{cm}$:

  $A_{Kreis} = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (3~\text{cm})^2 \approx 28~\text{cm}^2$

  Der Zusammenhang zwischen Durchmesser $d$ und Radius $r$ lautet:

  $d = 2 \cdot r$

  Lösung

  Die wichtigsten Größen eines Kreises sind:

  • der Radius $r$
  • der Durchmesser $d$

  Der Radius $r$ ist die Hälfte des Durchmessers $d$:
  $r=\dfrac{d}{2}$

  Für den Flächeninhalt eines Kreises gilt:
  $A_{Kreis} = \pi \cdot r^2$

  Mithilfe des obigen Zusammenhangs zwischen Radius und Durchmesser können wir auch schreiben:
  $A_{Kreis}= \pi \cdot \left(\dfrac{d}{2}\right)^2$

  Dabei ist $\pi$ die Kreiszahl, für die gilt: $\pi \approx 3{,}14$.

  Wir können somit die gegebene Größe in die entsprechende Formel einsetzen und berechnen. Dabei wird auf die ganze Zahl gerundet.

  grüner Kreis:
  $A_{Kreis} = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (8~\text{cm})^2 \approx 201~\text{cm}^2$

  roter Kreis:
  $A_{Kreis} = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (6~\text{cm})^2 \approx 113~\text{cm}^2$

  blauer Kreis:
  $A_{Kreis} = \pi \cdot \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 = \pi \cdot \left(\dfrac{8~\text{cm}}{2}\right)^2 \approx 50~\text{cm}^2$

  gelber Kreis:
  $A_{Kreis} = \pi \cdot \left(\dfrac{d}{2}\right)^2= \pi \cdot \left(\dfrac{14~\text{cm}}{2}\right)^2 \approx 154~\text{cm}^2$

  Dabei müssen wir jeweils auch auf die Einheiten achten.

• Gib Formeln für Größen von Kreis und Rechteck an.

  Tipps

  $d$ steht für den Durchmesser eines Kreises.

  Lösung

  Der Kreis:

  Die wichtigsten Größen eines Kreises sind:

  • der Radius $r$
  • der Durchmesser $d$
  • der Umfang $U_{Kreis}$
  • der Flächeninhalt $A_{Kreis}$

  An der Skizze erkennst du, dass der Durchmesser $d$ das Doppelte des Radius $r$ ist, und umgekehrt der Radius die Hälfte des Durchmessers. Wir schreiben also für den Radius:
  $\quad r=\dfrac{d}{2}$

  Den Umfang eines Kreises können wir wie folgt angeben:
  $\quad U_{Kreis} = \pi \cdot d$
  Dabei ist $\pi$ die Kreiszahl, für die gilt: $\pi \approx 3{,}14$.

  Für den Flächeninhalt eines Kreises gilt:
  $\quad A_{Kreis} = \pi \cdot r^2$

  
  

  Das Rechteck:

  Die wichtigsten Größen eines Rechtecks sind:

  • die Länge $a$
  • die Breite $b$
  • der Umfang $U_{Rechteck}$
  • der Flächeninhalt $A_{Rechteck}$

  Für den Flächeninhalt eines Rechtecks gilt:
  $\quad A_{Rechteck} = a \cdot b$

  Den Umfang eines Rechtecks können wir wie folgt angeben:
  $\quad U_{Rechteck} = 2a + 2b$

• Ermittle den Flächeninhalt der Kreise aus Durchmesser und Umfang.

  Tipps

  Ermittle zunächst aus dem gegebenen Umfang den Durchmesser. Verwende dazu die Formel $U= \pi \cdot d$.

  Beispiel: Kreis mit $U=69{,}1~\text{dm}$

  $d= \dfrac{U}{\pi} = \dfrac{69{,}1~\text{dm}}{\pi} \approx 22{,}0~\text{dm}$
  $A_{Kreis} = \pi \cdot \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 = \pi \cdot \left(\dfrac{22{,}0~\text{dm}}{2}\right)^2 \approx 380{,}1~\text{dm}^2$

  Lösung

  Für den Flächeninhalt eines Kreises gilt:

  $A_{Kreis} = \pi \cdot r^2$

  Dabei ist $\pi$ die Kreiszahl, für die gilt: $\pi \approx 3{,}14$.
  Da der Radius $r$ die Hälfte des Durchmessers $d$ ist, können wir auch schreiben:

  $A_{Kreis}= \pi \cdot \left(\dfrac{d}{2}\right)^2$

  Den Umfang eines Kreises können wir wie folgt angeben:

  $U_{Kreis} = \pi \cdot d$

  Ist der Umfang gegeben, müssen wir aus ihn zuerst den Durchmesser ermitteln, um dann den Flächeninhalt zu berechnen. Wir gehen bei den Aufgaben also wie folgt vor:

  Aufgabe 1:
  Wir setzen den gegebenen Durchmesser in die Formel ein und erhalten:
  $A_{Kreis} = \pi \cdot \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 = \pi \cdot \left(\dfrac{9~\text{m}}{2}\right)^2 \approx 63{,}6~\text{m}^2$

  Aufgabe 2:
  Wir bestimmen zunächst aus dem Umfang den Durchmesser:
  $d= \dfrac{U}{\pi} = \dfrac{31{,}4~\text{dm}}{\pi} \approx 10{,}0~\text{dm}$
  Wir setzen den berechneten Durchmesser in die Formel ein und erhalten:
  $A_{Kreis} = \pi \cdot \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 = \pi \cdot \left(\dfrac{10{,}0~\text{dm}}{2}\right)^2 \approx 78{,}5~\text{dm}^2$

  Aufgabe 3:
  Wir bestimmen zunächst aus dem Umfang den Durchmesser:
  $d= \dfrac{U}{\pi} = \dfrac{75{,}4~\text{dm}}{\pi} \approx 24{,}0~\text{dm}$
  Wir setzen den berechneten Durchmesser in die Formel ein und erhalten:
  $A_{Kreis} = \pi \cdot \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 = \pi \cdot \left(\dfrac{24{,}0~\text{km}}{2}\right)^2 \approx 452{,}4~\text{km}^2$