Harmonische Teilung einer Strecke

Harmonische Teilung einer Strecke – Erklärung

Eine Strecke $\overline{AB}$ kann auf verschiedene Arten geteilt werden. Du kannst zum Beispiel eine Strecke halbieren, indem du den Mittelpunkt einer Strecke berechnest oder eine Strecke in mehrere gleiche Teile teilst.

Außerdem wird zwischen der inneren Teilung einer Strecke und der äußeren Teilung einer Strecke unterschieden.

Die harmonische Teilung ist eine besondere Art der Teilung, in der eine Strecke $\overline{AB}$ innen durch einen Punkt $S$ im gleichen Verhältnis geteilt wird wie außen durch einen Punkt $T$.

Es gilt:

$\overline{AS} : \overline{SB} = \overline{AT} : \overline{TB}$

Die Strecke $\overline{AT}$ kann zum Beispiel doppelt so lang sein wie die Strecke $\overline{TB}$, sie stehen damit im Verhältnis $2:1$. Liegt eine harmonische Teilung vor, ist die Strecke $\overline{AS}$ dann auch doppelt so lang wie die Strecke $\overline{SB}$ – das Verhältnis ist hier ebenfalls $2 :1$.

Harmonische Teilung einer Strecke – Vorgehen

Das Vorgehen bei der harmonischen Teilung einer Strecke unterscheidet sich abhängig davon, ob ein Verhältnis oder einer der Punkte $S$ oder $T$ gegeben sind.

Harmonische Teilung einer Strecke – vorgegebenes Verhältnis

Wenn du eine Strecke $\overline{AB}$ nach einem vorgegebenen Verhältnis harmonisch teilen sollst, zum Beispiel im Verhältnis $3 : 1$, kannst du zuerst die innere Teilung vornehmen. Dafür konstruierst du zwei parallele Hilfslinien von den Punkten $A$ und $B$ aus auf die jeweils gegenüberliegende Seite von $\overline{AB}$. Auf diesen trägst du gleich große Teilstücke ab (z. B. mit dem Zirkel) und verbindest die jeweils äußersten für das innere Teilungsverhältnis $3:1$, das durch den Punkt $S$ gegeben ist.

Dieses Verfahren wendest du dann auch für die äußere Teilung an. Dafür verlängerst du die Hilfsparallele an Punkt $B$ auf die andere Seite und trägst dort ein gleich großes Teilstück ab. Dann verbindest du auch hier die äußersten Markierungen und erhältst so einen Schnittpunkt mit der Verlängerung von $\overline{AB}$ – Punkt $T$, der das äußere Teilungsverhältnis von $3:1$ gewährleistet.

Harmonische Teilung einer Strecke – Punkt $S$ gegeben

Wenn der Punkt $S$, der die Strecke im inneren Verhältnis teilt, gegebenen ist und du den Punkt $T$ konstruieren möchtest, der die Strecke im äußeren Verhältnis teilt, gehst du wie folgt vor:

• Zeichne zwei Hilfsparallelen auf der entgegengesetzten Seite der Geraden ein, die durch die Punkte $A$ und $B$ verlaufen.
• Zeichne eine Gerade durch den Punkt $S$, die die beiden Hilfsparallelen schneidet.
• Nenne die Schnittpunkt $C$ und $D$.
• Verlängere die zweite Hilfsparallele und trage den Abstand zwischen den Punkten $D$ und $B$ mit einem Zirkel auf der anderen Seite der Geraden noch einmal ab und nenne den neuen Punkt $D’$.
• Zeichne eine Gerade durch die Punkte $C$ und $D’$ und verlängere sie, bis du den Punkt $T$ erhältst, der als Schnittpunkt mit der ursprünglichen Geraden die Strecke $\overline{AB}$ im äußeren Verhältnis teilt.

Dieses Vorgehen funktioniert, da nach den Strahlensätzen Folgendes gilt:

$\overline{AT} : \overline{TB} = \overline{AC} : \overline{BD’}$

Da $\overline{BD’}=\overline{BD}$ gilt, gilt auch:

$\overline{AT} : \overline{TB} = \overline{AC} : \overline{BD}$

Für $\overline{AC} : \overline{BD}$ gilt wiederum wegen des Strahlensatzes:

$\overline{AC} : \overline{BD}=\overline{AS} : \overline{SB}$

Daher gilt insgesamt:

$\overline{AT} : \overline{TB} = \overline{AS} : \overline{SB}$

Das innere Teilungsverhältnis entspricht dem äußeren Teilungsverhältnis.

Harmonische Teilung einer Strecke – Punkt $T$ gegeben

Wenn der Punkt $T$, der die Strecke im äußeren Verhältnis teilt, gegebenen ist und du den Punkt $S$ konstruieren möchtest, der die Strecke im inneren Verhältnis teilt, gehst du wie folgt vor:

• Zeichne zwei Hilfsparallelen auf der gleichen Seite der Geraden ein, die durch die Punkte $A$ und $B$ verlaufen.
• Ziehe vom Punkt $T$ aus eine Gerade, die beide Hilfsparallelen schneidet.
• Nenne die Schnittpunkte $C$ und $D$.
• Verlängere die zweite Hilfsparallele und trage den Abstand zwischen den Punkten $B$ und $D$ mit einem Zirkel auf der anderen Seite der Geraden noch einmal ab und nenne den neuen Punkt $D’$.
• Verbinde die Punkte $C$ und $D’$, um den gesuchten Punkt $S$ zu erhalten, der als Schnittpunkt mit der ursprünglichen Geraden die Strecke $\overline{AB}$ im inneren Verhältnis teilt.