Goldener Schnitt
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Lerntext zum Thema Goldener Schnitt
Was ist der Goldene Schnitt?
Der Goldene Schnitt ist ein Phänomen, das sich in vielen Bereichen unserer Welt wiederfindet. Es handelt sich dabei um ein Verhältnis zwischen zwei Streckenlängen, das für das menschliche Auge als besonders ansprechend empfunden wird. Dementsprechend findet der Goldene Schnitt insbesondere in Bereichen wie Kunst oder Architektur Anwendung. Schau dir beispielsweise das Alte Rathaus in Leipzig an:
Der Turm teilt das Gebäude in einem ästhetischen Verhältnis, im Goldenen Schnitt. Doch was heißt das eigentlich?
Goldener Schnitt – Definition
Mithilfe der Mathematik kann man das Phänomen sehr präzise beschreiben. Der Goldene Schnitt stellt das Teilungsverhältnis einer Strecke durch zwei Teilstrecken und dar. ist dabei die größere und die kleinere Teilstrecke.
In Worten beschrieben heißt das:
Das Verhältnis von der längeren Teilstrecke zur kürzeren Teilstrecke ist gleich dem Verhältnis der Gesamtstrecke (der Summe von und ) zur längeren Teilstrecke .
Per Definition ist die größere Teilstrecke. Würde man per Definition als größere Strecke betrachten, müsste man die Gleichung umformulieren zu .
Goldener Schnitt – Konstruktion
Wir können den Goldenen Schnitt zu einer gegebenen Strecke auch konstruieren. Dazu zeichnen wir uns zunächst eine Strecke , die die Punkte und miteinander verbindet. Wir möchten diese Strecke nun so teilen, dass sie die Summe zweier Strecken und ist, deren Längen im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehen. Dafür konstruieren wir zunächst mithilfe dieser Strecke ein rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe .
Vom neuen Punkt aus zeichnen wir einen Kreisbogen mit dem Radius und erhalten so den Schnittpunkt mit der Hypotenuse.
Zuletzt zeichnen wir noch einen Kreisbogen mit dem Mittelpunkt und dem Radius , also der Länge der Strecke zwischen und .
Der Schnittpunkt S dieses Kreisbogens mit der Strecke teilt die Strecke zwischen und im Goldenen Schnitt. Die längere Teilstrecke zwischen und ist dabei , die kürzere Teilstrecke zwischen und ist unser .
Goldener Schnitt – Beweis
Wir wollen nun den Goldenen Schnitt mithilfe der obigen Konstruktion und damit mit dem Satz des Pythagoras beweisen. Wir stellen zunächst den Satz des Pythagoras mit den obigen Beziehungen auf: Die beiden Katheten kennen wir. Sie haben die Länge und . Auch die Hypotenuse kennen wir aufgrund unserer Konstruktion. Die Länge der Hypotenuse ist gleich (Radius unseres ersten Kreisbogens) plus (Radius unseres zweiten Kreisbogens). Mit diesen Werten stellen wir nun eine Gleichung auf, die dem Satz des Pythagoras entspricht, und formen diese um.
Nun können wir den Fakt nutzen, dass ist (unsere Gesamtstrecke ist gleich der Summe der Teilstrecken und ).
Wir haben nun gezeigt, dass ist. Wenn wir jetzt noch durch die obige Gleichung zeigen, dass ist, haben wir dadurch bewiesen, dass gilt. Wir beginnen wieder bei der vorletzten Zeile der letzten Gleichungsumformung.
Das ist noch nicht das Ergebnis, das wir haben wollen. Woran liegt das? Wie jeder andere Bruch auch kann dieser, auch wenn er mit den Wurzeln recht kompliziert aussieht, erweitert werden. Da wir auf kommen wollen, müssen wir den Bruch mit einem Term erweitern, der die Wurzel aus dem Zähler entfernt. Das schaffen wir in diesem Fall mit der dritten binomischen Formel. Also erweitern wir und formen wieder um:
Jetzt haben wir einerseits gezeigt, dass gilt, und andererseits gezeigt, dass gilt. Damit haben wir bewiesen, dass unsere Konstruktion die Ausgangsstrecke im Goldenen Schnitt teilt. Zudem haben wir nebenbei den Wert dieses speziellen Verhältnisses berechnet. Es ist .
Goldener Schnitt – Zusammenhang mit der Fibonacci-Folge
Da der Wert des Goldenen Schnitts eine irrationale Zahl ist, kann sie nicht durch einen Bruch ganzer Zahlen dargestellt werden. Man kann sich aber durch die sogenannte Fibonacci-Folge an die Zahl annähern. Zur Erinnerung:
Die Fibonacci-Folge ist eine Zahlenfolge, die sich durch die Summe der beiden vorhergehenden Zahlen ausdrückt:
Dabei ist und .
Je größer die Zahlen der Folge werden, desto eher nähert sich der Quotient zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder dem Goldenen Schnitt an. Wir schauen uns das einmal anhand der ersten Folgenglieder an:
Goldener Schnitt – Zusammenfassung
Der Goldene Schnitt lässt sich mathematisch durch die Beziehung zweier Streckenlängen und ausdrücken, wobei die größere Streckenlänge ist:
Der Goldene Schnitt kann als irrationale Zahl durch die Fibonacci-Folge sehr gut angenähert werden. Die Quotienten zweier aufeinanderfolgender Glieder der Fibonacci-Folge nähern sich mit zunehmendem dem Goldenen Schnitt an.
Goldener Schnitt Übung
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Vervollständige den Text über den Goldenen Schnitt.
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Forme die Gleichung schrittweise um, bis du das Verhältnis des Goldenen Schnittes erhältst.
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Ermittle die fehlende Teilstrecke so, dass sich beide Teilstrecken im Goldenen Schnitt teilen.
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Entscheide, welche Darstellung des Verhältnisses des Goldenen Schnittes richtig ist.
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Ermittle die Reihenfolge der Schritte, um eine Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnittes zu teilen.
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Begründe, weshalb das Seitenverhältnis von Schenkel zu Grundseite des Goldenen Dreiecks der Goldene Schnitt ist.
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