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Goldener Schnitt

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Lerntext zum Thema Goldener Schnitt

Was ist der Goldene Schnitt?

Der Goldene Schnitt ist ein Phänomen, das sich in vielen Bereichen unserer Welt wiederfindet. Es handelt sich dabei um ein Verhältnis zwischen zwei Streckenlängen, das für das menschliche Auge als besonders ansprechend empfunden wird. Dementsprechend findet der Goldene Schnitt insbesondere in Bereichen wie Kunst oder Architektur Anwendung. Schau dir beispielsweise das Alte Rathaus in Leipzig an:

Altes Rathaus in Leipzig

Der Turm teilt das Gebäude in einem ästhetischen Verhältnis, im Goldenen Schnitt. Doch was heißt das eigentlich?

Goldener Schnitt – Definition

Mithilfe der Mathematik kann man das Phänomen sehr präzise beschreiben. Der Goldene Schnitt stellt das Teilungsverhältnis einer Strecke durch zwei Teilstrecken aa und bb dar. aa ist dabei die größere und bb die kleinere Teilstrecke.

ab=a + ba\dfrac{a}{b} = \dfrac{a~+~b}{a}

In Worten beschrieben heißt das:

Das Verhältnis von der längeren Teilstrecke aa zur kürzeren Teilstrecke bb ist gleich dem Verhältnis der Gesamtstrecke (der Summe von aa und bb) zur längeren Teilstrecke aa.

Per Definition ist aa die größere Teilstrecke. Würde man bb per Definition als größere Strecke betrachten, müsste man die Gleichung umformulieren zu ba=a+bb\dfrac{b}{a} = \dfrac{a + b}{b}.

Goldener Schnitt – Konstruktion

Wir können den Goldenen Schnitt zu einer gegebenen Strecke auch konstruieren. Dazu zeichnen wir uns zunächst eine Strecke ss, die die Punkte AA und BB miteinander verbindet. Wir möchten diese Strecke ss nun so teilen, dass sie die Summe zweier Strecken aa und bb ist, deren Längen im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehen. Dafür konstruieren wir zunächst mithilfe dieser Strecke ss ein rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe s2\dfrac{s}{2}.

Rechtwinkliges Dreieck über der Strecke s

Vom neuen Punkt CC aus zeichnen wir einen Kreisbogen mit dem Radius s2\dfrac{s}{2} und erhalten so den Schnittpunkt DD mit der Hypotenuse.

Konstruktion des Punktes D

Zuletzt zeichnen wir noch einen Kreisbogen mit dem Mittelpunkt AA und dem Radius AD\vert AD \vert, also der Länge der Strecke zwischen AA und DD.

Konstruktion Goldener Schnitt

Der Schnittpunkt S dieses Kreisbogens mit der Strecke ss teilt die Strecke zwischen AA und BB im Goldenen Schnitt. Die längere Teilstrecke zwischen AA und SS ist dabei aa, die kürzere Teilstrecke zwischen SS und BB ist unser bb.

Goldener Schnitt – Beweis

Wir wollen nun den Goldenen Schnitt mithilfe der obigen Konstruktion und damit mit dem Satz des Pythagoras beweisen. Wir stellen zunächst den Satz des Pythagoras mit den obigen Beziehungen auf: Die beiden Katheten kennen wir. Sie haben die Länge ss und s2\dfrac{s}{2}. Auch die Hypotenuse kennen wir aufgrund unserer Konstruktion. Die Länge der Hypotenuse ist gleich s2\dfrac{s}{2} (Radius unseres ersten Kreisbogens) plus aa (Radius unseres zweiten Kreisbogens). Mit diesen Werten stellen wir nun eine Gleichung auf, die dem Satz des Pythagoras entspricht, und formen diese um.

s2+(s2)2=(a+s2)2s2+s24=(a+s2)2s2(1+14)=(a+s2)2s254=(a+s2)2s52=a+s2s2s52s2=as(5212)=as(5 – 12)=as=a+b\begin{array}{rccccccl} s^2 & + & (\dfrac{s}{2})^2 & = & (a & + & \dfrac{s}{2})^2 & \\ \\ s^2 & + & \dfrac{s^2}{4} & = & (a & + & \dfrac{s}{2})^2 & \\ \\ s^2 & \cdot & (1 + \dfrac{1}{4}) & = & (a & + & \dfrac{s}{2})^2 & \\ \\ s^2 & \cdot & \dfrac{5}{4} & = & (a & + & \dfrac{s}{2})^2 & \vert \sqrt{ } \\ \\ s & \cdot & \dfrac{\sqrt{5}}{2} & = & a & + & \dfrac{s}{2} & \vert – \dfrac{s}{2} \\ \\ s & \cdot & \dfrac{\sqrt{5}}{2} – \dfrac{s}{2} & = & a & & & \\ \\ s & \cdot & (\dfrac{\sqrt{5}}{2} – \dfrac{1}{2}) & = & a & & & \\ \\ s & \cdot & (\dfrac{\sqrt{5}~–~1}{2}) & = & a & & & \vert s = a + b \\ \end{array}

Nun können wir den Fakt nutzen, dass s=a+bs = a + b ist (unsere Gesamtstrecke ss ist gleich der Summe der Teilstrecken aa und bb).

(a+b)(5 – 12)=a25 – 1a+b=a25 – 1:aa+ba=25 – 1\begin{array}{rccccl} (a + b) & \cdot (\dfrac{\sqrt{5}~–~1}{2}) & = & a & & \vert \cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1}\\ \\ a + b & & = & a & \cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1} & \vert : a\\ \\ \dfrac{a + b}{a} & & = & & \dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1} & \\ \end{array}

Wir haben nun gezeigt, dass a+ba=25 – 1\dfrac{a + b}{a} = \dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1} ist. Wenn wir jetzt noch durch die obige Gleichung zeigen, dass ab=25 – 1\dfrac{a}{b} = \dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1} ist, haben wir dadurch bewiesen, dass a+ba=ab\dfrac{a + b}{a} = \dfrac{a}{b} gilt. Wir beginnen wieder bei der vorletzten Zeile der letzten Gleichungsumformung.

a+b=a25 – 1ab=a25 – 1ab=a(25 – 11)b=a(25 – 15 – 15 – 1)b=a3 – 55 – 1:aba=3 – 55 – 1Kehrwert bildenab=5 – 13 – 5\begin{array}{rccccccl} a & + & b & = a & \cdot & \dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1} & & \vert – a \\ \\ & & b & = a & \cdot & \dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1} & – a & \\ \\ & & b & = a & \cdot & (\dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1} – 1) & & \\ \\ & & b & = a & \cdot & (\dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1} – \dfrac{\sqrt{5}~–~1}{\sqrt{5}~–~1}) & & \\ \\ & & b & = a & \cdot & \dfrac{3~–~\sqrt{5}}{\sqrt{5}~–~1} & & \vert : a \\ \\ & & \dfrac{b}{a} & = & \dfrac{3~–~\sqrt{5}}{\sqrt{5}~–~1} & & \vert \text{Kehrwert bilden} \\ \\ & & \dfrac{a}{b} & = & \dfrac{\sqrt{5}~–~1}{3~–~\sqrt{5}} & & \\ \end{array}

Das ist noch nicht das Ergebnis, das wir haben wollen. Woran liegt das? Wie jeder andere Bruch auch kann dieser, auch wenn er mit den Wurzeln recht kompliziert aussieht, erweitert werden. Da wir auf 25 – 1\dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1} kommen wollen, müssen wir den Bruch mit einem Term erweitern, der die Wurzel aus dem Zähler entfernt. Das schaffen wir in diesem Fall mit der dritten binomischen Formel. Also erweitern wir und formen wieder um:

ab=5 – 13 – 5ab=(5 – 1)(5+1)(3 – 5)(5+1)ab=5 – 135+3 – 5 – 5ab=425 – 2ab=25 – 1\begin{array}{rcl} \dfrac{a}{b} & = & \dfrac{\sqrt{5}~–~1}{3~–~\sqrt{5}} \\ \\ \dfrac{a}{b} & = & \dfrac{(\sqrt{5}~–~1) \cdot (\sqrt{5} + 1)}{(3~–~\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{5} + 1)} \\ \\ \dfrac{a}{b} & = & \dfrac{5~–~1}{3\sqrt{5} + 3~–~5~–~\sqrt{5}} \\ \\ \dfrac{a}{b} & = & \dfrac{4}{2\sqrt{5}~–~2} \\ \\ \dfrac{a}{b} & = & \dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1} \\ \end{array}

Jetzt haben wir einerseits gezeigt, dass a+ba=25 – 1\dfrac{a + b}{a} = \dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1} gilt, und andererseits gezeigt, dass ab=25 – 1\dfrac{a}{b} = \dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1} gilt. Damit haben wir bewiesen, dass unsere Konstruktion die Ausgangsstrecke im Goldenen Schnitt (ab=a+ba)\left(\dfrac{a}{b} =\dfrac{a + b}{a}\right) teilt. Zudem haben wir nebenbei den Wert dieses speziellen Verhältnisses berechnet. Es ist 25 – 11,618\dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1} \approx 1{,}618.

Goldener Schnitt – Zusammenhang mit der Fibonacci-Folge

Da der Wert des Goldenen Schnitts eine irrationale Zahl ist, kann sie nicht durch einen Bruch ganzer Zahlen dargestellt werden. Man kann sich aber durch die sogenannte Fibonacci-Folge an die Zahl annähern. Zur Erinnerung:

Die Fibonacci-Folge ist eine Zahlenfolge, die sich durch die Summe der beiden vorhergehenden Zahlen ausdrückt:

fn=fn – 1+fn – 2f_{n} = f_{n~–~1} + f_{n~–~2}

Dabei ist n3n \geq 3 und f1=f2=1f_{1} = f_{2} = 1.

Je größer die Zahlen der Folge werden, desto eher nähert sich der Quotient zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder dem Goldenen Schnitt 25 – 11,618\dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1} \approx 1{,}618 an. Wir schauen uns das einmal anhand der ersten Folgenglieder an:

nn fnf_{n} fn+1fn\dfrac{f_{n + 1}}{f_{n}}
11 11 11=1\dfrac{1}{1} = 1
22 11 21=2\dfrac{2}{1} = 2
33 22 32=1,5\dfrac{3}{2} = 1{,}5
44 33 531,667\dfrac{5}{3} \approx 1{,}667
55 55 85=1,6\dfrac{8}{5} = 1{,}6
66 88 138=1,625\dfrac{13}{8} = 1,625
77 1313 21131,615\dfrac{21}{13} \approx 1,615
88 2121 34211,619\dfrac{34}{21} \approx 1,619
99 3434 55341,618\dfrac{55}{34} \approx 1,618
1010 5555 89551,618\dfrac{89}{55} \approx 1,618
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Vorschaubild einer Übung

Goldener Schnitt – Zusammenfassung

Der Goldene Schnitt lässt sich mathematisch durch die Beziehung zweier Streckenlängen aa und bb ausdrücken, wobei aa die größere Streckenlänge ist:

ab=a+ba=25 – 11,618\dfrac{a}{b} = \dfrac{a + b}{a} = \dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1} \approx 1,618

Der Goldene Schnitt kann als irrationale Zahl durch die Fibonacci-Folge sehr gut angenähert werden. Die Quotienten zweier aufeinanderfolgender Glieder der Fibonacci-Folge ana_n nähern sich mit zunehmendem nn dem Goldenen Schnitt an.

Goldener Schnitt Übung

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