Grenzwerte x gegen unendlich – Termvereinfachung

Grenzwerte x gegen unendlich – Termvereinfachung Übung

• Beschreibe das allgemeine Vorgehen bei der Grenzwertberechnung $x\to \pm\infty$ mit Termumformung.

  Tipps

  Bei der Termumformung werden Rechenregeln angewendet.

  Zum Beispiel gilt $2(x^2-2x)+3x=2x^2-4x+3x=2x^2-x$.

  Es kann sein, dass zu einer Funktion in der gegebenen Form kein Grenzwert berechnet werden kann, da die Voraussetzungen von Sätzen zur Berechnung der Grenzwerte nicht erfüllt sind. Eine Umformung kann zu den gewünschten Voraussetzungen führen.

  Lösung

  Die folgenden Schritte sind bei der Grenzwertberechnung mittels Termumformung durchzuführen:

  1. Betrachtet wird eine Funktion $f(x)$ und ihr Definitionsbereich $\mathbb{D}$.
  2. Es sollen die Grenzwerte $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$ sowie $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)$ berechnet werden.
  3. Gegebenenfalls muss die Funktion so umgeformt werden, dass
  4. die Grenzwertsätze für Funktionen anwendbar sind.
  5. Der Grenzwert kann berechnet werden, sofern er vorhanden ist.

  Die Grenzwertsätze für Funktionen lauten:

  $\begin{align*} \text{Summenfunktion: }&\lim\limits_{x\to ±\infty}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x\to ±\infty}f(x)+\lim\limits_{x\to ±\infty}g(x)\\ \text{Differenzfunktion: }&\lim\limits_{x\to ±\infty}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\to ±\infty}f(x)-\lim\limits_{x\to ±\infty}g(x)\\ \text{Produktfunktion: }&\lim\limits_{x\to ±\infty}(f(x)\cdot g(x))=\lim\limits_{x\to ±\infty}f(x)\cdot \lim\limits_{x\to ±\infty}g(x)\\ \text{Quotientenfunktion: }&\lim\limits_{x\to ±\infty}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\lim\limits_{x\to ±\infty}f(x)}{\lim\limits_{x\to ±\infty}g(x)}\\ \end{align*}$

  Im Falle der Quotientenfolge müssen sowohl der Grenzwert als auch die Funktionswerte im Nenner ungleich $0$ sein.

• Berechne den Grenzwert $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$.

  Tipps

  Die Grenzwertsätze können nur angewendet werden, wenn die betrachteten Funktionen einen Grenzwert besitzen, der im Falle der Quotientenfolge nicht $0$ sein darf:

  $\text{Summenfunktion } \lim\limits_{x\to \pm\infty} (f(x)+g(x))= \lim\limits_{x\to \pm\infty} f(x)+ \lim\limits_{x\to \pm\infty} g(x)$

  Der Grenzwert einer konstanten Funktion ist der Funktionswert selbst.

  Zum Beispiel: $\lim\limits_{x\to \pm\infty} 5=5$.

  Lösung

  Zur Berechnung eines Grenzwertes kann die betrachtete Funktion umgeformt werden:

  • Zunächst wird der Bruch in zwei Summanden aufgeteilt:

  $\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{4x+1}{x}\right)=\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{4x}x+\frac1x\right)$

  • Von den beiden Brüchen kann der erste gekürzt werden. Danach können die Grenzwertsätze angewendet werden, da die beiden Funktionen $4$ und $\frac1x$ konvergent sind. Es gilt $\lim\limits_{x\to\infty}4=4$, da $4$ eine konstante Funktion ist, und $\lim\limits_{x\to\infty}\frac1x=0$:

  $\begin{align*} \lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{4x}x+\frac1x\right)&=\lim\limits_{x\to \infty}\left(4+\frac1x\right)\\ &=\lim\limits_{x\to \infty} 4+\lim\limits_{x\to \infty}\frac1x\\ &=4+0=4. \end{align*}$

• Wende die Termumformung an, um den Grenzwert $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)$zu berechnen.

  Tipps

  Bei der Termumformung werden oft

  • binomische Formeln oder
  • die Polynomdivision verwendet.

  Ist der höchste Exponent im Zähler einer gebrochen rationalen Funktion $k(x)$ kleiner als der im Nenner, so gilt

  $\lim\limits_{x\to \pm\infty}} k(x)=0$.

  Es dürfen nur Faktoren gekürzt werden.

  Die 3. binomische Formel lautet $(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$. Sie ist daran zu erkennen, dass auf der rechten Seite die Differenz zweier Quadrate steht.

  Zum Beispiel: $x^2-4=(x+2)\cdot(x-2)$.

  Lösung

  Zunächst kann der Nenner mit der 3. binomischen Formel umgeformt werden: $x^2-1=(x+1)\cdot(x-1)$.

  Es ist also $\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{x+1}{x^2-1}\right)=\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{x+1}{(x+1)\cdot(x-1)}\right)$.

  Dann kann der Term $x+1$ gekürzt werden:

  $ \lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{x+1}{(x+1)\cdot(x-1)}\right)=\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac1{x-1}\right)=0. $

  Im Zähler steht eine feste Zahl $1$ und im Nenner eine Funktion mit immer größer werdenden Funktionswerten bei steigenden $x$-Werten. Das bedeutet, dass der Bruch gegen $0$ geht.

  Es gilt also $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=0$.

• Berechne den Grenzwert der Funktion $g(x)$ für $x \to -\infty$.

  Tipps

  Du kannst den Bruch mit $\frac1{x^2}$ erweitern, um sowohl im Zähler als auch im Nenner konvergente Funktionen zu erhalten.

  Ist der höchste Exponent im Zähler der gleiche wie der im Nenner, so ist der Grenzwert der Quotient der Faktoren der höchsten Potenzen.

  An dem Beispiel:

  $k(x)= \frac{2x^7-3x+4}{8x^7+6x^6-5x^4+23}$.

  Der höchste Exponent im Zähler und im Nenner ist $7$. Somit ist der Grenzwert $\frac28=0,125$.

  Der Grenzwert von $\frac{23}{x^2}$ und von $\frac3x$ ist $0$.

  Lösung

  Zunächst wird der Bruch mit $\frac1{x^2}$ erweitert:

  $\lim\limits_{x\to -\infty}\left( \frac{23-\frac12 x^2}{\frac34 x^2+3x}\right)=\lim\limits_{x\to -\infty}\left( \frac{\frac1{x^2}(23-\frac12 x^2)}{\frac1{x^2}(\frac34 x^2+3x)}\right)$

  Sowohl im Zähler als auch im Nenner wird die Klammer ausmultipliziert. Dies führt zu Funktionen, deren Grenzwerte berechnet werden können. Das heißt, es können die Grenzwertsätze für Funktionen angewendet werden.

  $\begin{align*} \lim\limits_{x\to -\infty}\left(\frac{\frac1{x^2}(23-\frac12 x^2)}{\frac1{x^2}(\frac34 x^2+3x)}\right)&=\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\frac{\frac{23}{x^2}-\frac12}{\frac34 +\frac3x}\right)\\ &=\frac{\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{23}{x^2}-\lim\limits_{x\to -\infty}\frac12}{\lim\limits_{x\to -\infty}\frac34 +\lim\limits_{x\to -\infty}\frac3x} \end{align*}$

  Nun kann der Grenzwert berechnet werden:

  $\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\frac{23-\frac12 x^2}{\frac34 x^2+3x}\right)=\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\frac{23}{\frac34 x^2+3x}\right)-\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\frac{\frac12 x^2}{\frac34 x^2+3x}\right)=0-\frac{\frac12}{\frac34}=-\frac23$

  Der Grenzwert als Dezimalzahl lautet also $g=-\frac23$.

• Gib den Grenzwert $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)$ an.

  Tipps

  Eine gebrochen rationale Funktion ist nicht definiert, wenn der Nenner $0$ ist.

  Schaue dir einige Funktionswerte von $g(x)$ für immer größer werdende negative $x$ an. Kannst du erkennen, wogegen die Funktionswerte gehen?

  Lösung

  Zunächst muss der Definitionsbereich angegeben werden: $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Die $0$ muss ausgeschlossen werden, da an dieser Stelle der Nenner $0$ wird. Das Teilen durch $0$ ist nicht erlaubt.

  Nun kann der Bruch in zwei Terme, den Minuenden und den Subtrahenden, zerlegt werden:

  $\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\frac{x^2-1}{x}\right)=\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\frac{x^2}x-\frac1x\right)$.

  Der Minuend kann gekürzt werden $\frac{x^2}x=x$ und somit erhält man:

  $\begin{align*} \lim\limits_{x\to -\infty}\left(\frac{x^2}x-\frac1x\right)&=\lim\limits_{x\to -\infty}\left(x-\frac1x\right)\\ &=\lim\limits_{x\to -\infty} x-\lim\limits_{x\to -\infty}\frac1x \end{align*}$

  Da der Minuend gegen $-\infty$ geht und der Subtrahend gegen $0$ geht, geht die Funktion gegen $-\infty$:

  $\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\frac{x^2-1}{x}\right)=„-\infty“$.

  Die Anführungszeichen zeigen an, dass es sich hier um einen uneigentlichen Grenzwert handelt.

  Die Definition eines Grenzwertes im eigentlichen Sinne setzt die Endlichkeit des Grenzwertes voraus.

• Gib allgemein den Grenzwert $\lim\limits_{x\to \infty} h(x)$ an.

  Tipps

  Wenn das Produkt zweier Zahlen

  • positiv ist, so haben die beiden Zahlen das gleiche Vorzeichen,
  • negativ ist, so haben die beiden Zahlen verschiedene Vorzeichen.

  Das Grenzwertverhalten bei gebrochen rationalen Funktionen hängt von den höchsten Exponenten sowohl im Zähler als auch im Nenner ab.

  Zum Beispiel $f(x)= \frac{4x+1}x$: Der höchste Exponent ist sowohl im Zähler als auch im Nenner $1$. Der Grenzwert ist also $\frac41=4$.

  Lösung

  Ganz allgemein kann ein Bruch der Form $\frac{a\cdot x^2+b\cdot x+c}{d\cdot x^2+e\cdot x+f}$ mit $\frac1{x^2}$ erweitert werden, um sowohl im Zähler als auch im Nenner Funktionen zu erhalten, die einen Grenzwert haben:

  $\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{a\cdot x^2+b\cdot x+c}{d\cdot x^2+e\cdot x+f}\right)=\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{\frac1{x^2}(a\cdot x^2+b\cdot x+c)}{\frac1{x^2}(d\cdot x^2+e\cdot x+f)}\right)$.

  Im Folgenden wird ausgeklammert und die Terme werden vereinfacht, um die Grenzwertsätze für Funktionen anwenden zu können:

  $\begin{align*} \lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{\frac1{x^2}(a\cdot x^2+b\cdot x+c)}{\frac1{x^2}(d\cdot x^2+e\cdot x+f)}\right) &=\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{a+\frac bx+\frac c{x^2}}{d+\frac ex+\frac f{x^2}}\right)\\ &=\frac{\lim\limits_{x\to \infty}\left(a+\frac bx+\frac c{x^2}\right)}{\lim\limits_{x\to \infty}\left(d+\frac ex+\frac f{x^2}\right)}\\ &=\frac{\lim\limits_{x\to \infty}a+\lim\limits_{x\to \infty} \frac bx+\lim\limits_{x\to \infty}\frac c{x^2}}{\lim\limits_{x\to \infty}d+\lim\limits_{x\to \infty} \frac ex+\lim\limits_{x\to \infty} \frac f{x^2}}\\ &=\frac{a+0+0}{d+0+0}=\frac ad \end{align*}$

  Dies führt zu den verschiedenen Fällen:

  • $a=0$ und $d\neq 0$. Dann gilt $\lim\limits_{x\to \infty}h(x)=0$.
  • $a\neq 0$ und $d\neq 0$. Dann gilt $\lim\limits_{x\to \infty}h(x)=\frac ad.$

  Diese beiden Fälle können mit der obigen Rechnung begründet werden.

  • Wenn nun $d=0$ ist, bedeutet dies, dass der höchste Exponent im Zähler $2$ und im Nenner $1$ ist, unter der Voraussetzung, dass $a\neq0$ $e\neq 0$. Diese beiden Bedingungen sind durch die folgende Fallunterscheidung abgedeckt:
  • $a\cdot e>0$, das heißt zum einen, dass beide Koeffizienten ungleich 0 sind und zum anderen, dass beide das gleiche Vorzeichen haben: $\lim\limits_{x\to \infty}h(x)=„+\infty“$ sowie
  • $a\cdot e<0$, das heißt zum einen, dass beide Koeffizienten ungleich 0 sind und zum anderen, dass beide verschiedene Vorzeichen haben: $\lim\limits_{x\to \infty}h(x)=„-\infty“$.