Flächeneinheiten umrechnen

Flächeneinheiten umrechnen Übung

• Beschreibe die Flächeneinheiten.

  Tipps

  Der Flächeninhalt eines Quadrates der Seitenlänge $1~\text{m}$ definiert die Flächeneinheit $^~\text{m}^2$.

  Malst du in ein Quadrat zehn Reihen mit je zehn Filzstiftpunkten, so hast du $10 \cdot 10 = 100$ Filzstiftpunkte.

  Lösung

  Jede Flächeneinheit gibt den Flächeninhalt einer quadratischen Fläche an. Die Seitenlänge dieser Fläche kann eine Längeneinheit sein, z. B.$~1~\text{dm}$ oder $1~\text{km}$. In diesem Fall hat die quadratische Fläche den Flächeninhalt $1~\text{dm}^2$ bzw. $1~\text{km}^2$. Es gibt aber auch Flächeneinheiten, bei denen das zugehörige Quadrat als Seitenlänge keine Längeneinheit hat, nämlich die Einheiten $\text{a}$ und $\text{ha}$. Eine quadratische Fläche mit dem Flächeninhalt einer Flächeneinheit kannst du jeweils mit $100$ Quadraten der nächstkleineren Flächeneinheiten auslegen.

  Eine quadratische Fläche der Seitenlänge $1~\text{cm}$ hat den Flächeninhalt $1~\text{cm}^2$. Ein Quadrat der Seitenlänge $10~\text{cm}$ kannst du mit $100$ Quadraten der Seitenlänge $1~\text{cm}$ auslegen. Jetzt kannst du den Flächeninhalt ausrechnen: Aus der Gleichung

  $10~\text{cm} = 1~\text{dm}$

  für die Seitenlängen erhältst du die Gleichung für die nächstgrößere Flächeneinheit:

  $1~\text{dm}^2= 100~\text{cm}^2$.

  Zur Umrechnung der Einheiten kannst du auch eine Einheitentafel verwenden. Beim Eintragen orientierst du dich immer an den Einern. Rechnest du einen gegebenen Flächeninhalt in eine kleinere Einheit um, so musst du Nullen ergänzen. Beim Umrechnen in eine größere Einheit musst du die Nullen streichen und zwar jeweils zwei Nullen pro Einheit.

• Beschreibe die Umrechnung der Flächeneinheiten.

  Tipps

  Wenn du einen Flächeninhalt von $\text{m}^2$ in $\text{dm}^2$ umrechnen willst, musst du die Zahl des Flächeninhalts mit $100$ multiplizieren.

  Ein Quadrat der Seitenlänge $100~\text{m}$ hat den Flächeninhalt $1~\text{ha}$.

  Ein Quadrat der Seitenlänge $1~\text{mm}$ hat den Flächeninhalt $^~\text{mm}^2$. Analog erhältst du die Flächeneinheiten $1~\text{cm}^2$, $1~\text{dm}^2$, $1~\text{m}^2$ und $1~\text{km}^2$ als Flächeninhalte von Quadraten.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Beim Umrechnen eines Flächeninhalts in die nächstgrößere Einheit dividierst du die Zahl des Flächeninhalts durch $100$.“ Rechnest du $\text{mm}$ in $\text{cm}$ um, so dividierst du die $\text{mm}$-Zahl durch $10$, denn $1~\text{cm} = 10~\text{mm}$. Für die Flächeneinheiten ergeben sich jeweils die quadratischen Ausdrücke: $1~\text{cm}^2 = 100~\text{mm}^2$.

  • „Zu jeder Längeneinheit gibt es eine Flächeneinheit, die das Quadrat der Längeneinheit ist.“ Beispiele sind die Längeneinheiten $\text{mm}$, $\text{cm}$, $\text{dm}$ und die zugehörigen Flächeneinheiten $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{dm}^2$.

  • „Beklebst du einen quadratischen Tafelflügel von $1~\text m$ Seitenlänge mit quadratischen $50$-Euro-Scheinen der Kantenlänge $1~\text{dm}$, so brauchst du genau $5~000$ € in passenden Scheinen.“ Jeder $50$-Euro-Schein hat einen Flächeninhalt von $1~\text{dm}^2$. Um den Tafelflügel zu bedecken, benötigst du daher $100$ Scheine, d. h. $100 \cdot 50~$€ $= 5~000~$€.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Beim Umrechnen eines Flächeninhalts in $\text{km}^2$ in die Einheit $\text{m}^2$ multiplizierst du die Zahl des Flächeninhalts mit $1~000$.“ Der korrekte Faktor ist $1~000~000$, denn $1~\text{km} = 1 000~\text{m}^2$ und folglich $1 ~\text{km}^2 = 1~000~\text{m} \cdot 1~000~\text{m} = 1~000~000~\text{m}^2$.

  • „Zu jeder Flächeneinheit gibt es eine Längeneinheit, deren Quadrat diese Flächeneinheit ist.“ Ein Gegenbeispiel ist die Flächeneinheit $\text a$. Sie gehört zu einem Quadrat der Seitenlänge $10~\text{m}$. Die Länge $10~\text{m}$ ist aber keine gängige Längeneinheit.

  • „Eine Fläche von $1~\text{a}$ wird von $1 000$ Marienkäfern des Flächeninhalts $1~\text{cm}^2$ vollständig überdeckt.“ $1~\text{a} = 100~\text{m}^2 = 10~000~\text{dm}^2 = 1~000~000~\text{cm}^2$. Die $1~000$ Marienkäfer reichen also nicht aus; es sind $999~000$ Marienkäfer zu wenig.

  • „Auf einer Fläche von $10~\text{cm}^2$ haben $10 \times 10$ Marienkäfer vom Flächeninhalt $1~\text{cm}^2$ Platz.“ Die Marienkäfer benötigen eine Fläche des Flächeninhalts $(10~\text{cm}) \cdot (10~\text{cm}) = 100~\text{cm}^2$.

• Rechne den Flächeninhalt um.

  Tipps

  Bei der Umrechnung in die nächstgrößere Einheit verschiebst du das Komma um zwei Stellen nach links.

  $987,65~\text{cm}^2 = 9,8765~\text{dm}^2$.

  Beim Umrechnen in die übernächste Einheit verschiebt sich das Komma um vier Stellen.

  Lösung

  Bei der Umrechnung in die nächstgrößere Einheit verschiebst du das Komma um zwei Stellen nach links bzw. streichst zwei Nullen. Analog verschiebst du das Komma beim Umrechnen in die nächstkleinere Einheit um zwei Stellen nach rechts bzw. ergänzt zwei Nullen. So erhältst du folgende Umformungen:

  • $123,45~\text{m}^2 = 1,2345~\text{a} = 12~345~\text{dm}^2 = 1~234~500~\text{cm}^2$

  • $12,345~\text{ha} = 0,12345~\text{km}^2 = 1~234,5~\text{a} = 123~450~\text{m}^2$

  • $1,2345~\text{km}^2 = 12~345~\text{a} = 123,45~\text{ha} = 1~234~500~\text{m}^2$

  • $1~234,5~\text{dm}^2 = 123~450~\text{cm}^2 = 0,12345~\text{a} = 12,345~\text{m}^2$

• Erschließe die Flächeneinheiten.

  Tipps

  Rechne die angegebenen Flächeninhalte in die nächstgrößere und nächstkleinere Einheit um.

  Beim Multiplizieren einer Zahl mit einem Flächeninhalt musst du nur die Zahlen multiplizieren. Die Flächeneinheit bleibt erhalten.

  Lösung

  Insektenhotel:

  Das Insektenhotel bietet Platz für verschiedene Insekten. Eine Schlupfwespe braucht nur jeweils $0,25~\text{mm}^2$ Platz. Der Platzbedarf für $4.000$ der winzigen Schlupfwespen beträgt also:

  • $4.000 \cdot 0,25~\text{mm}^2 = 1.000~\text{mm}^2 = 10~\text{cm}^2$

  Eine einzelne Florfliege ist etwa $250~\text{mm}^2$ groß. $200$ Florfliegen nehmen daher ungefähr folgenden Platz ein:

  • $200 \cdot 250~\text{mm}^2 = 50.000~\text{mm}^2 = 500~\text{cm}^2 = 5~\text{dm}^2$

  Die Mauerbienen haben einen Querschnitt von ca. $15~\text{mm}^2$. Für $60$ Mauerbienen-Schlupflöcher muss daher folgende Mindestfläche vorgesehen werden:

  • $60 \cdot 15~\text{mm}^2 = 900~\text{mm}^2$

  Bienenstock:

  In einem Bienenstock leben ca. $60.000$ Bienen. Die Klassenimker planen für jede Biene $2~\text{cm}^2$ ein. Zusammen macht das:

  • $60.000 \cdot 2~\text{cm}^2 = 120.000~\text{cm}^2 = 12~\text{m}^2$

  In dem Bienenstock hängen $24$ quadratische Platten mit Bienenwaben, auf die sich die Bienen gleichmäßig verteilen. Damit alle Bienen genügend Platz haben, muss jede Platte mindestens so groß sein wie $\frac{1}{24}$ der von den Bienen benötigten Fläche, also $\frac{1}{24}$ von $12~\text{m}^2$. Teilst du $12~\text{m}^2$ durch $24$, so erhältst du:

  • $12~\text{m}^2 : 24 = 0,5~\text{m}^2 = 50~\text{dm}^2$

  Daher muss jede Wabenplatte mindestens $50~\text{dm}^2$ oder $0,5~\text{m}^2$ groß sein.

  Kaninchenbau:

  Die Kinder schätzen die Größe jeder Kaninchenhöhle auf mindestens $900~\text{cm}^2$. Alle fünf Höhlen zusammen haben dann eine Fläche von:

  • $5 \cdot 900~\text{cm}^2 = 4500~\text{cm}^2 = 45~\text{dm}^2 = 0,45~\text{m}^2$

  Jeder Verbindungsgang ist etwa $11~\text{dm}^2$ groß. Die Gesamtfläche der fünf Verbindungsgänge beträgt dann ungefähr:

  • $5 \cdot 11~\text{dm}^2 = 55~\text{dm}^2 = 0,55~\text{m}^2$

  Zusammen nehmen die Höhlen und Gänge folgenden Flächeninhalt ein:

  • $0,45~\text{m}^2 + 0,55~\text{m}^2 = 1,0~\text{m}^2 = 100~\text{dm}^2$

• Rechne die Flächeneinheiten um.

  Tipps

  Um von einer Flächeneinheit in die nächstkleinere umzurechnen, multiplizierst du die Zahl des Flächeninhalts mit $100$.

  Ein Quadrat mit Seitenlänge $1~\text{dm} = 10~ \text{cm}$ besteht aus $10 \cdot 10 = 100$ Quadraten der Seitenlänge $1~\text{cm}$.

  $1~\text{m}=100~\text{cm}$, daher ist $1~\text{m}^2 = (100~\text{cm}) \cdot (100~\text{cm}) = 10~000~\text{cm}^2$.

  Lösung

  Für jede der gängigen Flächeneinheiten gilt: die passt $100$ mal in die nächstgrößere Flächeneinheit.

  Beim Umrechnen in die nächstgrößere Flächeneinheit musst du daher durch $100$ dividieren, beim Umrechnen in die nächstkleinere mit $100$ multiplizieren. Wenn du in weiter entfernte Einheiten umrechnest, musst du mehrmals mit $100$ multiplizieren bzw. durch $100$ dividieren.

  So erhältst du folgende Umrechnungen:

  • $1~\text{cm}^2 = 100~\text{mm}^2$

  • $100~\text{dm}^2 = 1~\text{m}^2$

  • $10~000~\text{mm}^2 = 1~\text{dm}^2$

  • $10~000~\text{m}^2 = 1~\text{ha}$

• Vergleiche die Flächeninhalte.

  Tipps

  Bestimme das Verhältnis der Flächeninhalte von Baltrum und Helgoland.

  Um die Bevölkerungsdichten der beiden Inseln zu vergleichen, musst du nicht wissen, wie groß die Inseln genau sind oder wie viele Einwohner sie jeweils haben. Es genügen die Verhältnisse.

  Lösung

  Um die Aussagen zu prüfen, bestimmen wir zuerst das Verhältnis der Flächeninhalte der beiden Inseln:

  $\frac{6,6~\text{km}^2}{1,2~\text{km}^2} = 5,5$.

  Der Flächeninhalt von Baltrum ist also fünfeinhalb mal so groß wie der von Helgoland. Jetzt können wir die einzelnen Aussagen diskutieren:

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Auf einem Fünftel der Fläche von Baltrum haben mehr Seevögel Platz als auf ganz Helgoland.“ Ein Fünftel der Fläche von Baltrum hat den Flächeninhalt $6,6~\text{km}^2 : 5 = 1,32~\text{km}^2$. Das ist mehr als der Flächeninhalt von Helgoland. Daher haben dort auch mehr Seevögel Platz.

  • „Das Doppelte der Fläche von Baltrum ist mehr als zehnmal so groß wie Helgoland.“ Das Doppelte der Fläche von Baltrum hat den Flächeninhalt $2 \cdot 6,6~\text{km}^2 = 13,2~\text{km}^2$. Dies ist mehr als das Zehnfache des Flächeninhalts von Helgoland, dies beträgt nämlich $10 \cdot 1,2~\text{km}^2 = 12~\text{km}^2$.

  • „Wären Helgoland und Baltrum beide quadratisch, so wäre die Seitenlänge des Baltrum-Quadrats mehr als doppelt so groß wie die Seitenlänge des Helgoland-Quadrats.“ Wäre die Seitenlänge des Baltrum-Quadrats genau doppelt so groß wie die des Helgoland-Quadrats, so wäre der Flächeninhalt von Baltrum genau viermal so groß wie der von Helgoland. Da der Flächeninhalt von Baltrum aber mehr als viermal so groß ist wie der von Helgoland, muss auch die Seitenlänge des Baltrum-Quadrates mehr als doppelt so groß sein wie die des Helgoland-Quadrates.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Auf Baltrum haben etwa genauso viele quadratische Spielplätze der Seitenlänge $5,5~\text{m}$ Platz wie auf Helgoland quadratische Sandkästen der Seitenlänge $1~\text{m}^2$.“ Ein quadratischer Spielplatz der Seitenlänge $5,5~\text{m}$ hat den Flächeninhalt $(5,5~\text{m}) \cdot (5,5~\text{m}) = 30,25~\text{m}^2$. Die Fläche von Helgoland bietet Platz für $1~000~000$ Sandkästen von $1~\text{m}^2$ Flächeninhalt. Die gleiche Anzahl von Spielplätzen der Größe $30,25~\text{m}^2$ benötigt eine Gesamtfläche von $1~000~000 \cdot 30,25~\text{m}^2 = 30,25~\text{km}^2$. Dafür reicht die Insel Baltrum bei Weitem nicht aus.

  • „Baltrum hat ungefähr halb so viele Einwohner wie Helgoland. Die Bevölkerungsdichte, d.h. die Einwohnerzahl pro Flächeneinheit, von Helgoland ist also etwa um den Faktor $2,75$ größer als die von Baltrum.“ Der Flächeninhalt von Baltrum ist etwa $5,5$ mal so groß wie der von Helgoland. Hätten Helgoland und Baltrum die gleiche Einwohnerzahl, so wäre die Bevölkerungsdichte von Helgoland $5,5$ mal so groß wie die von Baltrum, denn dieselbe Bevölkerungszahl verteilte sich in Baltrum auf die $5,5$-fache Fläche. Verdoppeln wir jetzt die angenommene Einwohnerzahl, so verdoppelt sich auch die Bevölkerungsdichte. Daher ist die Bevölkerungsdichte von Helgoland $2 \cdot 5,5 =11$-mal so groß wie die von Baltrum.

  • „Die Zahl des Flächeninhalts von Baltrum in $\text{ha}$ ist größer als die Zahl des Flächeninhalts von Helgoland in $\text{a}$.“ Der Flächeninhalt von Baltrum beträgt $6,6~\text{km}^2 = 660~\text{ha}$. Der Flächeninhalt von Helgoland beträgt $1,2~\text{km}^2 = 120~\text{ha} = 12~000~\text{a}$.