Die Mittelsenkrechte
Erfahrt in diesem Video, was die Mittelsenkrechte einer Strecke ist und wie ihr sie mit Zirkel und Lineal konstruieren könnt. Entdeckt, warum sich alle Mittelsenkrechten eines Dreiecks in einem Punkt schneiden - dem Mittelpunkt des Umkreises. Interessiert? Das und mehr im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Die Mittelsenkrechte
Was ist die Mittelsenkrechte?
Du hast in Mathe schon viele Begriffe zu Dreiecken gelernt, wie zum Beispiel Seiten und Winkel. Um Dreiecke noch besser zu verstehen, verwendet man in der Geometrie weitere Begriffe. Einen dieser Begriffe erklären wir dir in diesem Video: die Mittelsenkrechte.
Mittelsenkrechte – Definition
Die Mittelsenkrechte zu einer Strecke $\overline{AB}$ ist diejenige Gerade, die senkrecht auf $\overline{AB}$ steht und durch den Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ verläuft.
Du kannst auch sagen: Die Mittelsenkrechte ist ein spezielles Lot auf der Verbindungsgeraden der Punkte $A$ und $B$, nämlich das Lot durch den Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$.
Mittelsenkrechte – Konstruktion
Um die Mittelsenkrechte einer Strecke zu konstruieren, brauchst du einen Zirkel und ein Lineal. Du stellst eine Zirkelspanne ein, die etwas größer ist als die Hälfte der Strecke $\overline{AB}$. Diese Zirkelspanne darfst du während der Konstruktion nicht mehr verändern! Nun stichst du den Zirkel nacheinander in die Punkte $A$ und $B$ ein und ziehst jeweils einen Kreisbogen. Die beiden Kreisbögen schneiden sich in zwei Punkten. Verbinde diese beiden Schnittpunkte durch eine Gerade.
Die Verbindungsgerade der beiden Schnittpunkte der Kreisbögen ist die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Strecke $\overline{AB}$ ist der Mittelpunkt dieser Strecke.
Mittelsenkrechte – Eigenschaften und Anwendung
Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten einer Strecke $\overline{AB}$ hat zu beiden Endpunkten der Strecke denselben Abstand. In einem Dreieck $\Delta_{ABC}$ können wir uns diese Eigenschaft der Mittelsenkrechten zunutze machen. Auf der Mittelsenkrechten der Seite $c=\overline{AB}$ liegen alle Punkte, die denselben Abstand zu $A$ und $B$ haben. Auf der Mittelsenkrechten der Seite $a= \overline{BC}$ liegen dementsprechend alle Punkte, die denselben Abstand zu den Endpunkten $B$ und $C$ haben. Die beiden Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt $U$. Da dieser Punkt $A$ auf beiden Mittensenkrechten liegt, hat er zu allen drei Eckpunkten $A$, $B$, $C$ des Dreiecks denselben Abstand. Wählen wir diesen Abstand als Radius eines Kreises mit dem Mittelpunkt $U$, so verläuft dieser Kreis durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks. Das Dreieck liegt ganz im Inneren des Kreises und berührt den Kreis genau in seinen Eckpunkten. Man nennt diesen Kreis den Umkreis des Dreiecks.
Auf der Mittelsenkrechten der dritten Seite $b=\overline{AC}$ liegen alle Punkte, die denselben Abstand zu $A$ und $C$ haben. Zu diesen Punkten gehört auch der Punkt $U$, denn er hat zu allen Punkten $A$, $B$ und $C$ denselben Abstand. Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks $\Delta_{ABC}$ schneiden sich also in dem Umkreismittelpunkt $U$.
Mittelsenkrechte – Zusammenfassung
In diesem Video wird dir verständlich erklärt, was die Mittelsenkrechte einer Strecke ist und wie man sie mit Zirkel und Lineal konstruiert. Du erfährst, warum sich alle Mittelsenkrechten eines Dreiecks in einem Punkt schneiden, nämlich im Mittelpunkt des Umkreises. Zu diesem Video gibt es interaktive Aufgaben, in denen du dein neues Wissen gleich ausprobieren kannst.
Transkript Die Mittelsenkrechte
Lena Lagerfeuer möchte auf ihrem Campingplatz fest installierte Tipis aufbauen. Um die Zeltstangen an der richtigen Position aufzustellen, benötigt sie Kenntnisse über die Mittelsenkrechte. Aber was genau ist eine Mittelsenkrechte? Haben wir eine Strecke AB gegeben, dann ist die Mittelsenkrechte genau diejenige Gerade, die auf der Mitte der Strecke AB senkrecht steht. Die Mittelsenkrechte ist also ein spezielles Lot auf der Geraden AB. Schauen wir uns den Plan für Lenas Tipis doch einmal näher an: Die Tipis sollen eine bestimmte Breite haben. Genau in der Mitte soll die Zeltstange senkrecht stehen. Sie nimmt daher eine Strecke auf der Mittelsenkrechten ein. Aber wie kann Lena sie im Plan konstruieren? Sie hat schon die Breite des Tipis als Strecke AB abgetragen. Jetzt nimmt sie einen Zirkel und stellt eine Zirkelspanne ein, die größerer als die Hälfte der Strecke ist. Ansonsten darf sie den Radius frei wählen. Um den Punkt A schlägt sie einen Kreisbogen. Jetzt darf sie die Zirkelspanne nicht mehr verändern. Nun schlägt sie um den Punkt B einen weiteren Kreisbogen. Die Kreisbogen schneiden sich in zwei Punkten. Mit Lineal oder Geodreieck können wir durch diese Punkte eine Gerade einzeichnen. Bei dieser Geraden handelt es sich genau um die Mittelsenkrechte. Ihr Schnittpunkt mit der Strecke liegt genau in der Mitte der beiden Endpunkte. Die Mittelsenkrechte hat aber noch eine andere Eigenschaft: Ein beliebiger Punkt auf ihr hat zu beiden Endpunkten der Strecke den gleichen Abstand. Das gilt für jeden Punkt auf der Mittelsenkrechten. Das können wir uns im Dreieck ABC zunutze machen. Denn auch die Dreiecksseite a hat eine Mittelsenkrechte. Jeder beliebige Punkt auf ihr ist von beiden Eckpunkten B und C gleich weit entfernt. Beide Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt, dem Schnittpunkt U. Weil Punkt U auf dieser Mittelsenkrechten liegt hat er zu den Punkten B und C den gleichen Abstand. Weil er auch auf dieser Mittelsenkrechten liegt, hat er auch zu den Punkten B und A den gleichen Abstand. Er ist also von allen drei Eckpunkten des Dreiecks ABC gleich weit entfernt. Daher bildet er den Mittelpunkt eines Kreises, auf dem alle Eckpunkte des Dreiecks ABC liegen. Dieser Kreis heißt Umkreis des Dreiecks ABC. Und während Lena ihre Tipis baut, fassen wir das noch einmal zusammen: Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB ist eine Gerade, die auf der Mitte der Strecke AB senkrecht steht. Sie ist ein spezielles Lot auf der Strecke AB. Jeder beliebige Punkt auf ihr hat zu beiden Endpunkten der Strecke den gleichen Abstand. Du kannst sie konstruieren, indem du um beide Endpunkte der Strecke zwei Kreisbogen mit demselben Radius schlägst. Durch die beiden Schnittpunkte der Kreisbogen verläuft die Mittelsenkrechte. In einem Dreieck schneiden sich die Mittelsenkrechten aller Seiten in einem Punkt. Dabei handelt es sich um den Mittelpunkt des Umkreises. Auch in manchen anderen Vielecken schneiden sich alle Mittelsenkrechten in einem Punkt. Dann besitzt das Vieleck einen Umkreis. Lenas Tipis stehen und morgen sollen die ersten Gäste kommen. Moment, ist dieses Tipi schon bewohnt?
Die Mittelsenkrechte Übung
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Definiere den Begriff der Mittelsenkrechte.
TippsEine Gerade besteht aus unendlich vielen Punkten.
Eine Gerade hat im Gegensatz zu einer Strecke weder einen Anfangs- noch einen Endpunkt.
LösungHier siehst du die Strecke $\overline{AB}$, deren Mittelsenkrechte blau eingezeichnet ist.
Der Punkt in dem Winkel zeigt an, dass die Mittelsenkrechte (das sagt auch bereits der Name) senkrecht zu der Strecke verläuft. Sie schneidet die Strecke also in einem $90^\circ$-Winkel und außerdem genau in der Mitte.
Die Mittelsenkrechte einer Strecke $\overline{AB}$ ist also die Gerade, die senkrecht zu dieser Strecke verläuft und die Strecke halbiert.
Das bedeutet insbesondere, dass jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten den gleichen Abstand zu den beiden Punkten $A$ und $B$ hat. Somit kann die Mittelsenkrechte ebenfalls als Menge aller Punkte definiert werden, welche sowohl zu $A$ als auch zu $B$ den gleichen Abstand haben.
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Beschreibe die Konstruktion einer Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$.
TippsDie Punkte, durch die die Mittelsenkrechte verläuft, erhältst du durch die beiden Kreise.
Zuerst zeichnest du die Strecke $\overline{AB}$.
LösungHier siehst du die Konstruktionsschritte:
- Zunächst zeichnest du die Strecke $\overline{AB}$.
- Dann zeichnest du sowohl um $A$ als auch um $B$ einen Kreis mit dem gleichen Radius. Dieser muss größer sein als die Hälfte der Streckenlänge.
- Die beiden Kreise schneiden sich in den beiden Punkten $R$ und $S$. Jeder der beiden Punkte hat den gleichen Abstand sowohl zu $A$ als auch zu $B$.
- Zeichne zuletzt eine Gerade durch die beiden Punkte $R$ und $S$. Diese Gerade ist die gesuchte Mittelsenkrechte.
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Ermittle die Mittelsenkrechten der jeweiligen Strecken.
TippsDie Mittelsenkrechte ist die Menge aller Punkte, welche von zwei gegebenen Punkten den gleichen Abstand haben.
Die Mittelsenkrechte einer Strecke $\overline{AB}$ ist die Gerade, die senkrecht zu dieser Strecke verläuft und die Strecke halbiert.
Es genügt also nicht, dass die Gerade die Strecke in der Mitte schneidet: Sie muss sie auch im rechten Winkel schneiden.
LösungEine Mittelsenkrechte einer Strecke besitzt folgende Eigenschaften:
- Die Mittelsenkrechte einer Strecke $\overline{AB}$ ist die Gerade, die senkrecht zu dieser Strecke verläuft und diese halbiert.
- Die Mittelsenkrechte ist die Menge aller Punkte, welche von zwei gegebenen Punkten den gleichen Abstand haben.
- $\overline{AB}$ und $g$
- $\overline{EF}$ und $i$
- $\overline{IJ}$ und $k$
- $\overline{MN}$ und $m$
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Prüfe die folgenden Aussagen.
TippsVerwende diese Bezeichnungen in einem gleichschenkligen Dreieck.
In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang. Dies ist ein besonderer Fall eines gleichschenkligen Dreiecks.
Ein Dreieck hat drei Höhen. Zu jeder Seite ist die Höhe das Lot des dieser Seite gegenüberliegenden Punktes auf diese Seite.
Die Winkelhalbierende eines Winkels ist diejenige Halbgerade, die ihren Anfangspunkt im Scheitelpunkt des Winkels hat und das Winkelfeld in zwei deckungsgleiche Teile teilt.
LösungDas hier abgebildete Dreieck $\Delta ABC$ ist gleichseitig.
Die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$ teilt dieses Dreieck in zwei kongruente Dreiecke. Sie ist auch gleichzeitig Höhe und Winkelhalbierende.
Das gilt ebenso für die Mittelsenkrechten der Strecken $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$.
Damit ist der Mittelpunkt des Umkreises eines gleichseitigen Dreiecks der Schnittpunkt seiner:
- Mittelsenkrechten
- Seitenhalbierenden
- Winkelhalbierenden.
- Höhen
Bei einem gleichschenkligen Dreieck ist das nicht immer der Fall, sondern nur bei der Mittelsenkrechten der Basis: Auch diese teilt das Dreieck in zwei kongruente Dreiecke. Die Höhe, die Mittelsenkrechte und die Seitenhalbierende der Basis sowie die Winkelhalbierende des Winkels gegenüber der Basis fallen zusammen.
Damit ist in einem gleichschenkligen Dreieck der Schnittpunkt der Höhe auf die Basis und der Mittelsenkrechten eines Schenkels der Mittelpunkt des Umkreises.
Dies gilt nicht für die Mittelsenkrechten der beiden Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks.
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Fasse die Eigenschaften von Mittelsenkrechten zusammen.
TippsDer Begriff „senkrecht“ zeigt einen rechten Winkel an.
Beachte, dass jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten den gleichen Abstand sowohl zu $A$ als auch zu $B$ hat.
LösungDie Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$ ist die Menge aller Punkte, die sowohl zu $A$ als auch zu $B$ den gleichen Abstand haben.
Somit gilt:
- $\left|\overline{AP}\right|=\left|\overline{BP}\right|$
- $\left|\overline{AQ}\right|=\left|\overline{BQ}\right|$
Insbesondere liegt der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ auf der Mittelsenkrechten. Das bedeutet, dass diese die Strecke halbiert. Darüber hinaus verläuft die Mittelsenkrechte senkrecht zu der Strecke – daher kommt auch ihr Name.
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Weise nach, dass die beiden Definitionen der Mittelsenkrechte äquivalent sind.
TippsZwei Dreiecke sind kongruent, das bedeutet deckungsgleich, wenn sie in ihren drei Seitenlängen übereinstimmen.
In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich groß. Die Innenwinkelsumme eines jeden Dreiecks beträgt $180^\circ$.
LösungDie Mittelsenkrechte einer Strecke wird so konstruiert, dass jeweils ein Kreis mit gleichem Radius um den Anfangs- und Endpunkt der Strecke $\overline{AB}$ gezeichnet wird. Der Radius muss dabei größer als die Hälfte der Länge der Strecke sein.
Die Gerade durch die so erhaltenen beiden Schnittpunkte $R$ und $S$ der Kreise ist die Mittelsenkrechte. Dass diese die Strecke in deren Mittelpunkt $M$ schneidet, folgt daraus, dass jeder Punkt auf der Geraden den gleichen Abstand zu den beiden Punkten der Strecke hat.
Hier siehst du nun, wie mit Kongruenzsätzen nachgewiesen werden kann, dass die Mittelsenkrechte auch senkrecht zu der Strecke verläuft.
Wenn der Radius der beiden Kreise gleich der Länge der Strecke ist, erhältst du ein gleichseitiges Dreieck $\Delta{ABR}$ bzw. $\Delta{ABS}$. Alle Innenwinkel sind gleich groß, also $60^\circ$.
Es gilt:
- $\left|\overline{AR}\right|=\left|\overline{BR}\right|$
- $\left|\overline{AM}\right|=\left|\overline{MB}\right|$
- $\left|\overline{MR}\right|=\left|\overline{MR}\right|$
Das bedeutet, dass die beiden Dreiecke $\Delta AMR$ sowie $\Delta BRM$ in den Längen ihrer drei Seiten übereinstimmen. Das heißt, diese Dreiecke sind kongruent. Dann sind insbesondere auch alle Innenwinkel gleich groß: $\sphericalangle(AMR)=\sphericalangle(BMR)$.
Da die beiden Winkel gemeinsam $180^\circ$ ergeben, gilt somit:
$\sphericalangle(AMR)+\sphericalangle(RMB)=\sphericalangle(AMR)+\sphericalangle(AMR)=2\cdot \sphericalangle(AMR)=180^\circ$
Dividiere zuletzt durch $2$. So erhältst du:
$\sphericalangle(AMR)=90^\circ$
Da $\sphericalangle(AMR) = \sphericalangle(RMB)$ gilt, ist auch $\sphericalangle(RMB) = 90^\circ$.
Damit ist die Aussage bewiesen, dass die so konstruierte Gerade die Strecke in einem rechten Winkel schneidet.
Es gilt übrigens:
$\sphericalangle(MRA)=\sphericalangle(BRM)=30^\circ$
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Morgen Schreiben darüber einen Test und ich habe es noch nicht verstanden aber durch dieses Video schon 😀
sehr hilfreich und lustig
sehr gut erklärbar
War richtig gut erklärt !!!
Tolles Video hat mir auf jeden Fall geholfen!