Brüche subtrahieren – Überblick

Brüche subtrahieren – Überblick Übung

• Beschreibe, wie du bei der Subtraktion zweier Brüche vorgehst.

  Tipps

  Hier ist die Aufgabe $\frac 34-\frac 12$ graphisch dargestellt. Subtrahiert man nun je Zähler und Nenner voneinander, so folgt $\frac 22$. Diese Lösung ist nicht korrekt.

  Die richtige Lösung kann der Abbildung entnommen werden.

  Diese ist $\frac 14$.

  Schaue dir folgendes Beispiel an:

  $ \frac 13 -\frac 16 =\frac 26 -\frac 16 = \frac 16. $

  Einen gemischten Bruch kannst du in einen unechten Bruch umwandeln.

  Lösung

  Wir möchten das Vorgehen bei der Subtraktion zweier Brüche betrachten. Hierbei unterscheiden wir zwischen drei Fällen:

  • Die Brüche sind gleichnamig.
  • Die Brüche sind ungleichnamig.
  • Es handelt sich um mindestens einen gemischten Bruch.

  Wir beginnen zunächst mit dem einfachsten Fall, nämlich dass beide Brüche bereits gleichnamig sind:

  Gleichnamige Brüche subtrahieren
  Dieser Vorgang besteht aus einem einzigen Schritt:

  • Man subtrahiert die Zähler, während der Nenner beibehalten wird.

  Ungleichnamige Brüche subtrahieren
  Hier müssen wir bereits zwei Schritte durchführen:

  1. Man macht die Brüche gleichnamig. Das heißt, man erweitert sie auf einen gemeinsamen Hauptnenner.
  2. Anschließend subtrahiert man die Zähler, während der Nenner beibehalten wird.

  Gemischte Brüche subtrahieren
  Diese Subtraktion ist in drei Schritten erledigt:

  1. Man wandelt den gemischten Bruch in einen unechten Bruch um.
  2. Dann macht man die Brüche gleichnamig.
  3. Anschließend subtrahiert man die Zähler, während der Nenner beibehalten wird.

• Berechne die Differenzen der Brüche.

  Tipps

  Rechne den gemischten Bruch zunächst in einen unechten Bruch um.

  Du musst vor der Subtraktion beide Brüche auf einen gemeinsamen Hauptnenner erweitern. Man darf nämlich nur gleichnamige Brüche subtrahieren.

  Schaue dir folgendes Beispiel an:

  $1\frac 14-\frac 12=\frac 54-\frac 24=\frac 34$

  Lösung

  Lass uns die gegebenen Subtraktionsaufgaben gemeinsam lösen. Doch vorher schauen wir uns das allgemeine Vorgehen bei der Subtraktion zweier Brüche an:

  1. Handelt es sich bei einem Bruch um einen gemischten Bruch, so wandle diesen in einen unechten Bruch um.
  2. Handelt es sich bei den Brüchen um ungleichnamige Brüche, so mache diese gleichnamig.
  3. Handelt es sich bei den Brüchen um gleichnamige Brüche, so subtrahiere die Zähler. Den Nenner musst du beibehalten.

  Gleichnamige Brüche
  Wir subtrahieren die Zähler. Die Nenner bleiben unverändert:

  $\bullet ~~\dfrac 33-\dfrac 23=\dfrac{3-2}{3}=\dfrac 13$

  $\bullet ~~\dfrac 35-\dfrac 15=\dfrac{3-1}{5}=\dfrac 25$

  Ungleichnamige Brüche
  Wir erweitern die Brüche auf einen gemeinsamen Hauptnenner:

  $\bullet ~~\dfrac 34-\dfrac 12=\dfrac 34-\dfrac{1\cdot 2}{2\cdot 2}=\dfrac 34-\dfrac 24=\dfrac{3-2}{4}=\dfrac 14$

  Gemischte Brüche
  Wir wandeln den gemischten Bruch in einen unechten Bruch um und machen sie dann gleichnamig:

  $\bullet ~~1\dfrac 13-\dfrac 14=\dfrac 43-\dfrac 14=\dfrac {4\cdot 4}{3\cdot 4}-\dfrac{1\cdot 3}{4\cdot 3}=\dfrac {16}{12}-\dfrac {3}{12}=\dfrac{16-3}{12}=\dfrac {13}{12}$

• Ermittle die Subtraktionsaufgaben zu den gegebenen Differenzen.

  Tipps

  Wandle die gemischten Brüche zunächst in unechte Brüche um.

  Schaue dir hierzu das folgende Beispiel an:

  $1\dfrac 57=\dfrac 77+\dfrac 57=\dfrac{12}{7}$

  Beachte beim Subtrahieren, dass die Brüche gleichnamig sind, also einen gemeinsamen Hauptnenner haben.

  Schaue dir dieses komplette Beispiel an:

  $1\dfrac 57 - 1\dfrac 37=\dfrac{12}{7} - \dfrac{10}{7} = \dfrac{2}{7}$

  Lösung

  Lass uns die gegebenen Subtraktionsaufgaben gemeinsam lösen. Dabei gehen wir wie folgt vor:

  • Falls ein gemischter Bruch vorliegt, wandeln wir diesen zunächst in einen unechten Bruch um.
  • Falls die Brüche ungleichnamig sind, erweitern wir diese auf einen gemeinsamen Hauptnenner. Wir machen sie also gleichnamig.
  • Dann subtrahieren wir diese, indem wir die Zähler subtrahieren und die Nenner beibehalten.

  Nun können wir loslegen:

  Differenz $\dfrac 38$

  $1\dfrac 12-1\dfrac 18=\dfrac 32-\dfrac 98=\dfrac{3\cdot 4}{2\cdot 4}-\dfrac 98=\dfrac{12}{8}-\dfrac 98=\dfrac{12-9}{8}=\dfrac 38$

  $\dfrac 58-\dfrac 28=\dfrac {5-2}8=\dfrac 38$

  $\dfrac 78-\dfrac 12=\dfrac 78-\dfrac{1\cdot 4}{2\cdot 4}=\dfrac 78-\dfrac 48=\dfrac{7-4}8=\dfrac 38$

  Differenz $\dfrac 78$

  $1\dfrac 18-\dfrac 14=\dfrac 98-\dfrac {1\cdot 2}{4\cdot 2}=\dfrac 98-\dfrac 28=\dfrac 78$

  $1\dfrac 12-\dfrac 58=\dfrac 32-\dfrac 58=\dfrac{3\cdot 4}{2\cdot 4}-\dfrac 58=\dfrac{12}{8}-\dfrac 58=\dfrac{12-5}8=\dfrac 78$

  Differenz $\dfrac 18$

  $1\dfrac 12-1\dfrac 38=\dfrac 32-\dfrac {11}8=\dfrac{3\cdot 4}{2\cdot 4}-\dfrac {11}8=\dfrac{12}{8}-\dfrac {11}8=\dfrac{12-11}8=\dfrac 18$

• Bestimme die gesuchte Subtraktionsaufgabe und deren Lösung.

  Tipps

  Beachte, dass du von der größten Zahl die kleineren Zahlen subtrahierst.

  Mache die Brüche gleichnamig. Wandle hierzu gemischte Brüche zunächst in unechte Brüche um.

  Lösung

  Wir ziehen von der Gesamtanzahl der Flaschen den Anteil ab, welchen die beiden Jungs bereits getrunken haben. So erhalten wir folgende Subtraktionsaufgabe:

  $4-\dfrac 13-1\dfrac 35$

  Nun wandeln wir den gemischten Bruch zunächst in einen unechten Bruch um:

  $4-\dfrac 13-\dfrac 85$

  Jetzt machen wir Minuend und Subtrahend gleichnamig. Der gemeinsame Nenner ist hierbei die $15$. Alle Brüche werden also auf den Nenner $15$ erweitert:

  $\dfrac{60}{15}-\dfrac{5}{15}-\dfrac{24}{15}$

  Danach können wir die Zähler subtrahieren. Der Nenner wird beibehalten:

  $\dfrac{60-5-24}{15}=\dfrac{31}{15}=2\dfrac 1{15}$

  Nach der Busfahrt hat Mario also noch $2\dfrac 1{15}$ Flaschen Wasser.

• Gib die Bezeichnungen für die Brucharten an.

  Tipps

  Bei echten Brüchen ist der Zähler kleiner als der Nenner.

  Ein gemischter Bruch setzt sich aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch zusammen.

  Lösung

  Bevor wir den gegebenen Brüchen die jeweilige Bruchart zuordnen, definieren wir diese zunächst:

  • Bei einem echten Bruch ist der Zähler stets kleiner als der Nenner.
  • Bei einem unechten Bruch ist der Zähler stets größer als der Nenner.
  • Ein gemischter Bruch ist eine besondere Darstellungsweise des unechten Bruchs. Dabei wird der unechte Bruch in eine ganze Zahl und einen echten Bruch aufgeteilt.
  • Gleichnamige Brüche sind Brüche mit dem gleichen Nenner.
  • Ungleichnamige Brüche sind Brüche mit unterschiedlichen Nennern.

  Nun können wir die gegebenen Brüche betrachten:

  $\begin{array}{lll} \dfrac 12 \text{ und } \dfrac 15 & \quad\rightarrow\quad & \text{ungleichnamige echte Br}\ddot{\text{u}}\text{che} \\ \\ \dfrac 42 \text{ und } \dfrac 75 & \quad\rightarrow\quad & \text{unechte Br}\ddot{\text{u}}\text{che} \\ \\ \dfrac 17 \text{ und } \dfrac 57 & \quad\rightarrow\quad & \text{gleichnamige echte Br}\ddot{\text{u}}\text{che}\\ \\ 1\dfrac 12 \text{ und } 3\dfrac 13 & \quad\rightarrow\quad & \text{gemischte Br}\ddot{\text{u}}\text{che} \end{array}$

• Ermittle die Lösung der gegebenen Subtraktionsaufgabe als unechten Bruch.

  Tipps

  Wandle zuerst alle gemischten Brüche in unechte Brüche um.
  Suche dann den gemeinsamen Hauptnenner aller vier Brüche.

  Du musst die Brüche gleichnamig machen. Der Hauptnenner ist $24$.

  Lösung

  Gegeben ist eine lange Subtraktionsaufgabe, welche Brüche in unterschiedlicher Form enthält. Beim Lösen dieser Aufgabe wandeln wir zunächst die gemischten Brüche in unechte Brüche um. Wir erhalten dann:

  $5\dfrac 23-2\dfrac 18-\dfrac 56-1\dfrac 14=\dfrac{17}3-\dfrac{17}8-\dfrac 56-\dfrac 54$

  Jetzt machen wir alle Brüche gleichnamig. Der gemeinsame Nenner ist hierbei $24$. Alle Brüche werden also auf den Nenner $24$ erweitert:

  $\dfrac{17\cdot 8}{3\cdot 8}-\dfrac{17\cdot 3}{8\cdot 3}-\dfrac {5\cdot 4}{6\cdot 4}-\dfrac {5\cdot 6}{4\cdot 6}=\dfrac{136}{24}-\dfrac{51}{24}-\dfrac {20}{24}-\dfrac {30}{24}$

  Nun können wir die Zähler subtrahieren. Der Nenner wird beibehalten:

  $\dfrac{136-51-20-30}{24}=\dfrac{35}{24}$