Brüche addieren

Brüche addieren Übung

• Gib die Regel zum Addieren gleichnamiger Brüche an.

  Tipps

  Überlege dir die Regel an einem Beispiel: Tobi isst $\frac{2}{8}$ vom Erdbeerkuchen und $\frac{1}{8}$ vom Schokokuchen. Wie viel isst er insgesamt?

  Der Zähler steht über dem Bruchstrich und der Nenner steht unter dem Bruchstrich.

  Um ungleichnamige Brüche zu addieren, werden diese zuerst gleichnamig gemacht.

  Lösung

  Beim Addieren von Brüchen unterscheiden wir das Addieren gleichnamiger und das Addieren ungleichnamiger Brüche:
  Gleichnamige Brüche werden addiert, indem die Zähler addiert werden und die Nenner beibehalten werden.
  Beispiel: $\frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$
  Ungleichnamige Brüche werden addiert, indem sie zuerst auf einen gemeinsamen Hauptnenner gebracht werden. Anschließend werden sie wie gleichnamige Brüche addiert.
  Beispiel: $\frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{5}{20} + \frac{4}{20} = \frac{9}{20}$

• Berechne die Additionsaufgaben.

  Tipps

  Zum Addieren gleichnamiger Brüche werden die Zähler addiert und die Nenner beibehalten.

  Zum Addieren ungleichnamiger Brüche bringen wir die beiden Brüche zunächst auf einen gemeinsamen Hauptnenner. Dazu können wir die Brüche erweitern oder kürzen. Anschließend werden sie addiert, indem die Zähler addiert und die Nenner beibehalten werden.

  Lösung

  Wir überprüfen zunächst, ob gleichnamige oder ungleichnamige Brüche addiert werden, und wenden dann die entsprechende Regel an:

  Beispiel 1

  $\frac{1}{8} + \frac{2}{8}$
  Beide Summanden haben den gleichen Nenner, es werden also zwei gleichnamige Brüche addiert. Wir behalten den Nenner bei und addieren die Zähler:
  $\frac{1}{8} + \frac{2}{8} = \frac{3}{8}$

  Beispiel 2

  $\frac{1}{4} + \frac{1}{5}$
  Hier werden zwei ungleichnamige Brüche addiert. Wir bringen die beiden Brüche zunächst auf den Hauptnenner $20$, indem wir den ersten Bruch mit $5$ und den zweiten Bruch mit $4$ erweitern. Anschließend addieren wir die Zähler und behalten den Nenner bei.
  $\frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{1~\cdot ~5}{4\cdot 5} + \frac{1~\cdot ~4}{5~\cdot ~4} = \frac{5}{20} + \frac{4}{20} = \frac{9}{20}$

  Beispiel 3

  $\frac{1}{18} + \frac{1}{12} $
  Hier werden zwei ungleichnamige Brüche addiert. Wir bringen die beiden Brüche zunächst auf den Hauptnenner $36$, indem wir den ersten Bruch mit $2$ und den zweiten Bruch mit $3$ erweitern. Anschließend addieren wir die Zähler und behalten den Nenner bei.
  $\frac{1}{18} + \frac{1}{12} = \frac{1~\cdot ~2}{18~\cdot ~2} + \frac{1~\cdot ~3}{12~\cdot ~3} = \frac{2}{36} + \frac{3}{36} = \frac{5}{36}$

  Beispiel 4

  $\frac{2}{18} + \frac{2}{12}$
  Hier werden zwei ungleichnamige Brüche addiert. Wir bringen die beiden Brüche zunächst auf den Hauptnenner $36$, indem wir den ersten Bruch mit $2$ und den zweiten Bruch mit $3$ erweitern. Anschließend addieren wir die Zähler und behalten den Nenner bei.
  $\frac{2}{18} + \frac{2}{12} = \frac{2~\cdot ~2}{18~\cdot ~2} + \frac{2~\cdot ~3}{12~\cdot ~3} = \frac{4}{36} + \frac{6}{36} = \frac{10}{36}$

• Ermittle das Ergebnis der Addition.

  Tipps

  Finde zuerst einen Hauptnenner. Dazu kannst du einen oder beide Brüche erweitern oder kürzen.

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $\frac{3}{7} + \frac{2}{3} = \frac{9}{21} + \frac{14}{21} = \frac{23}{21}$

  Lösung

  Beispiel 1

  Der Hauptnenner der beiden Brüche ist $6$. Wir erweitern also den ersten Bruch mit $3$ und den zweiten Bruch mit $2$ und addieren anschließend die gleichnamigen Brüche:
  $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{1 ~\cdot ~3}{2 ~\cdot ~3} + \frac{2 ~\cdot ~2}{3 ~\cdot ~2} =\frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{7}{6}$

  Beispiel 2

  Der Hauptnenner der beiden Brüche ist $10$. Wir erweitern also den ersten Bruch mit $2$ und den zweiten Bruch mit $5$ und addieren anschließend die gleichnamigen Brüche:
  $\frac{2}{5} + \frac{1}{2} =\frac{2 ~\cdot ~2}{5 ~\cdot ~2}+\frac{1 ~\cdot ~5}{2 ~\cdot ~5}= \frac{4}{10}+\frac{5}{10}=\frac{9}{10}$

  Beispiel 3

  Der Hauptnenner der beiden Brüche ist $9$. Wir behalten also den ersten Bruch bei und erweitern den zweiten Bruch mit $3$. Anschließend addieren wir die gleichnamigen Brüche:
  $\frac{1}{9} + \frac{2}{3} = \frac{1}{9} + \frac{2 ~\cdot ~3}{3 ~\cdot ~3} = \frac{1}{9}+\frac{6}{9}= \frac{7}{9}$

• Überprüfe die Rechnungen auf Richtigkeit.

  Tipps

  Zwei ungleichnamige Brüche müssen vor dem Addieren auf einen gemeinsamen Hauptnenner gebracht werden.

  Werden zwei gleichnamige Brüche addiert, so hat das Ergebnis den gleichen Nenner wie die beiden Summanden.

  Lösung

  Beispiel 1: $~\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{5}$

  Diese Aufgabe ist falsch. Da die Brüche ungleichnamig sind, müssen wir sie zuerst auf einen Hauptnenner bringen. Anschließend werden sie addiert:
  $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$

  Beispiel 2: $~\frac{1}{8} + \frac{3}{4} = \frac{7}{8}$

  Diese Aufgabe ist richtig. Ausführlich lautet der Rechenweg:
  $\frac{1}{8} + \frac{3}{4} = \frac{1}{8} + \frac{6}{8} = \frac{7}{8}$

  Beispiel 3: $~\frac{1}{9} + \frac{7}{9} = \frac{8}{9}$

  Diese Aufgabe ist richtig. Da die beiden Brüche gleichnamig sind, werden die Zähler addiert und die Nenner beibehalten.

  Beispiel 4: $~\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{6}$

  Diese Aufgabe ist falsch. Die Brüche sind geichnamig, also werden die Zähler addiert und die Nenner beibehalten:
  $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1$

  Beispiel 5: $~\frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{13}{15}$

  Diese Aufgabe ist richtig. Ausführlich lautet der Rechenweg:
  $\frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{10}{15} + \frac{3}{15} = \frac{13}{15}$

• Gib an, ob die Brüche gleichnamig oder ungleichnamig sind.

  Tipps

  Bei gleichnamigen Brüchen ist der Nenner gleich.

  Der Nenner steht unter dem Bruchstrich.

  Lösung

  Bei gleichnamigen Brüchen sind die Nenner gleich. Gleichnamige Brüche sind:
  $\frac{1}{5}$ und $\frac{4}{5}$
  $\frac{1}{6}$ und $\frac{7}{6}$
  $\frac{1}{3}$ und $\frac{4}{3}$

  Bei ungleichnamigen Brüchen sind die Nenner unterschiedlich. Ungleichnamige Brüche sind:
  $\frac{3}{4}$ und $\frac{3}{5}$
  $\frac{1}{7}$ und $\frac{4}{9}$
  $\frac{4}{5}$ und $\frac{4}{3}$
  $\frac{4}{5}$ und $\frac{4}{3}$

  Zum Addieren von Brüchen muss man wissen, ob die Brüche gleichnamig oder ungleichnamig sind. Ungleichnamige Brüche müssen vor dem Addieren gleichnamig gemacht werden.

• Berechne die Additionsaufgabe.

  Tipps

  Ermittle erst das kleinste gemeinsame Vielfache der drei Nenner. Dieses ist dann der Hauptnenner, auf den die Brüche erweitert werden müssen, um drei gleichnamige Brüche zu erhalten.

  Auch beim Addieren von drei gleichnamigen Brüchen gilt: Die Zähler werden addiert und der gemeinsame Nenner wird beibehalten.

  Lösung

  Beim Addieren dreier Summanden ermitteln wir zunächst den gemeinsamen Hauptnenner. Dieser entspricht dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der drei Nenner. Durch Erweitern bringen wir alle drei Brüche auf diesen Hauptnenner. Anschließend addieren wir die drei Zähler und behalten den Hauptnenner bei.

  Beispiel 1: $~\frac{1}{6} + \frac{7}{10} + \frac{3}{5}$

  Der Hauptnenner ist $30$:
  $ \frac{1}{6} + \frac{7}{10} + \frac{3}{5} = \frac{1 ~\cdot ~5}{6 ~\cdot ~5} + \frac{7 ~\cdot ~3}{10 ~\cdot ~3} + \frac{3 ~\cdot ~6}{5 ~\cdot ~6} = \frac{5}{30} + \frac{21}{30} + \frac{18}{30} = \frac{44}{30} = \frac{22}{15} $

  Beispiel 2: $~ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$

  Der Hauptnenner ist $12$:
  $ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{1 ~\cdot ~6}{2 ~\cdot ~6} + \frac{1 ~\cdot ~4}{3 ~\cdot ~4} + \frac{1 ~\cdot ~3}{4 ~\cdot ~3} = \frac{6}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{13}{12} $

  Beispiel 1: $~ \frac{3}{4} + \frac{5}{6} + \frac{1}{24}$

  Der Haupnenner ist $24$:
  $ \frac{3}{4} + \frac{5}{6} + \frac{1}{24} = \frac{3 ~\cdot ~6}{4 ~\cdot ~6} + \frac{5 ~\cdot ~4}{6 ~\cdot ~4} + \frac{1}{24} = \frac{18}{24} + \frac{20}{24} + \frac{1}{24} = \frac{39}{24} $