Brüche addieren – Übung

Brüche addieren – Übung Übung

• Beschreibe das Vorgehen bei der Addition von Brüchen.

  Tipps

  Um leichter weiterrechnen zu können, können wir immer zuerst überlegen, ob sich die Summanden kürzen lassen.

  Vor dem Addieren müssen wir die beiden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

  Lösung

  Wenn wir zwei oder mehr Brüche addieren müssen, schauen wir zuerst, ob sie sich kürzen lassen. Das vereinfacht das Ausrechnen der Summe, da wir dann nicht mit so großen Zahlen rechnen müssen.
  Wir kürzen die beiden gegebenen Brüche:

  $\dfrac{18\color{blue}{~:~9}}{45\color{blue}{~:~9}} + \dfrac{15\color{blue}{~:~3}}{24\color{blue}{~:~3}} = \dfrac{2}{5} + \dfrac{5}{8}$

  Um die Summe ausrechnen zu können, müssen wir nun beide Brüche auf den gleichen Nenner bringen. Hier ist der Hauptnenner $40$, das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, denn es gibt kein gemeinsames Vielfaches der Zahlen $5$ und $8$, das kleiner als $40$ ist.
  Wir erweitern beide Brüche auf den Hauptnenner $40$:

  $\dfrac{2\color{blue}{~\cdot~ 8}}{5\color{blue}{~\cdot~ 8}} + \dfrac{5\color{blue}{~\cdot~ 5}}{8\color{blue}{~\cdot~ 5}} = \dfrac{16}{40} + \dfrac{25}{40}$

  Jetzt addieren wir die beiden Brüche, indem wir die Zähler addieren und den Nenner beibehalten:

  $\dfrac{16}{40} + \dfrac{25}{40} = \dfrac{16+25}{40} = \dfrac{41}{40}$

  Dieses Ergebnis lässt sich nicht noch weiter kürzen, aber da der Zähler größer als der Nenner ist, können wir den Bruch als gemischte Zahl aufschreiben:

  $\dfrac{41}{40} = 1\dfrac{1}{40}$

• Gib an, wie Brüche addiert werden.

  Tipps

  Ein möglicher gemeinsamer Nenner ist immer das Produkt der beiden Nenner.

  Ein echter Bruch ist ein Bruch, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist.

  Zwei Brüche sind gleichnamig, wenn sie den gleichen Nenner haben.

  Lösung

  Zwei Brüche können nur dann addiert werden, wenn sie den gleichen Nenner haben, also gleichnamig sind.

  $\rightarrow$ Um zwei Brüche addieren zu können, müssen sie gleichnamig sein. korrekt

  Dabei ist es wichtig, dass nicht alle Zahlen einfach addiert werden. Während die beiden Zähler miteinander addiert werden, wird der Nenner, der bei beiden gleich ist, als Nenner im Ergebnis übernommen.

  $\rightarrow$ Zwei gleichnamige Brüche werden miteinander addiert, indem Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner addiert werden. falsch

  $\rightarrow$ Zwei gleichnamige Brüche werden miteinander addiert, indem Zähler mit Zähler addiert werden und der Nenner übernommen wird. korrekt

  Um zwei ungleichnamige Brüche auf den gleichen Nenner zu bringen, ermitteln wir häufig den sogenannten Hauptnenner. Der Hauptnenner entspricht dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kurz $\text{kgV}$) der beiden Nenner.

  $\rightarrow$ Der Hauptnenner zweier Brüche ist der kleinste gemeinsame Teiler der beiden Nenner. falsch

  Der kleinste gemeinsame Teiler von zwei Zahlen ist immer die $1$. Den größten gemeinsamen Teiler (kurz $\text{ggT}$) verwenden wir, wenn wir Brüche vollständig kürzen wollen.
  Als gemeinsamen Nenner können wir auch immer das Produkt der beiden Nenner verwenden, da hier aber sehr große Zahlen auftauchen können, ist es sinnvoll nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen zu suchen.

  Nun müssen wir die beiden Brüche so erweitern, dass beide den Hauptnenner als Nenner haben und können dann die Zähler miteinander addieren.

  Das Ergebnis der Addition kann auch ein Bruch ergeben, dessen Zähler größer ist als der Nenner. Zum Beispiel:

  $\dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{3+2}{4} = \dfrac{5}{4}$

  Das Ergebnis $\dfrac{5}{4}$ ist ein unechter Bruch, den wir auch als gemischten Bruch schreiben können: $1\dfrac{1}{4}$

  $\rightarrow$ Das Ergebnis einer Summe von zwei Brüchen ist immer ein echter Bruch. falsch

  Beispiel: $\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{8}$

  Die Brüche sind nicht gleichnamig. Das heißt, wir können sie nicht direkt addieren. Um sie auf einen gemeinsamen Nenner zubringen, bestimmen wir das kleinste gemeinsame Vielfache von $4$ und $8$, das ist die $8$. Wir erweitern den ersten Bruch auf den Hauptnenner $8$:

  $\dfrac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{6}{8} + \dfrac{5}{8}$

  Diese zwei gleichnamigen Brüche können wir addieren, indem wir die Zähler addieren und den Nenner beibehalten:

  $\dfrac{6}{8} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{6+5}{8} = \dfrac{11}{8}$

  Das Ergebnis lässt sich nicht weiter kürzen, aber wir können es in eine gemischte Zahl umwandeln:

  $\dfrac{11}{8} = 1\dfrac{3}{8}$

• Entscheide, zu welcher Rechnung die Ergebnisse gehören. Kürze und erweitere die Brüche, wenn nötig.

  Tipps

  Berechne zuerst die Summen, indem du die Brüche auf den gleichen Nenner bringst.

  Kürze oder erweitere die Ergebnisse.

  Beispiel: $\dfrac{8}{12} = \dfrac{8 : 4}{12 : 4} = \dfrac{2}{3}$

  Verwandle die Ergebnisse in gemischte Brüche.

  Beispiel: $\dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{5}{4} = \dfrac{4}{4} + \dfrac{1}{4} = 1 + \dfrac{1}{4} = 1\dfrac{1}{4}$

  Lösung

  Wir gehen die Summen nacheinander durch. Das Vorgehen dabei ist immer dasselbe. Zuerst schauen wir, ob wir die Summanden kürzen können. Dann bringen wir beide Brüche auf den gleichen Nenner und addieren sie, indem wir die Zähler addieren und den Nenner beibehalten. Wenn möglich, kürzen wir das Ergebnis dann noch weiter oder wandeln es in eine gemischte Zahl um.

  Beispiel 1:
  $\dfrac{14}{15} + \dfrac{7\color{blue}{\cdot 5}}{3\color{blue}{\cdot 5}} = \dfrac{14}{15} + \dfrac{35}{15} = \dfrac{14+35}{15} = \underline{\underline{\dfrac{49}{15}}} = \underline{\underline{3\dfrac{4}{15}}}$

  Da $15$ ein Vielfaches von $3$ ist, können wir den zweiten Bruch so erweitern, dass der Nenner $15$ wird. Das Ergebnis $\dfrac{49}{15}$ kann noch in die gemischte Zahl $3\dfrac{4}{15}$ umgewandelt werden, da die $15$ in die $49$ dreimal hinein passt und ein Rest von $4$ übrig bleibt.

  Beispiel 2:
  $\dfrac{5}{24} + \dfrac{2\color{blue}{: 2}}{40\color{blue}{: 2}} = \dfrac{5\color{blue}{\cdot 20}}{24\color{blue}{\cdot 20}} + \dfrac{1\color{blue}{\cdot 24}}{20\color{blue}{\cdot 24}} = \dfrac{100}{480} + \dfrac{24}{480} = \underline{\underline{\dfrac{124\color{blue}{: 4}}{480\color{blue}{: 4}}}} = \underline{\underline{\dfrac{31}{120}}}$

  Alternativ können wir hier auch nach dem Kürzen des zweiten Bruches beide Brüche auf den Hauptnenner, also das kleinste gemeinsame Vielfache, $120$ bringen. Damit erhalten wir die schnellere Rechnung:

  $\dfrac{5\color{blue}{\cdot 5}}{24\color{blue}{\cdot 5}} + \dfrac{1\color{blue}{\cdot 6}}{20\color{blue}{\cdot 6}} = \dfrac{25}{120} + \dfrac{6}{120} = \dfrac{31}{120}$

  Beispiel 3:
  Der Hauptnenner entspricht hier der Multiplikation der beiden Nenner:

  $\dfrac{2\color{blue}{\cdot 2}}{7\color{blue}{\cdot 2}} + \dfrac{3\color{blue}{\cdot 7}}{2\color{blue}{\cdot 7}} = \dfrac{4}{14} + \dfrac{21}{14} = \dfrac{4+21}{14} = \underline{\underline{\dfrac{25}{14}}}$

  Das Ergebnis können wir in eine gemischte Zahl umwandeln:

  $\dfrac{25}{14} = \underline{\underline{1\dfrac{11}{14}}}$

  Beispiel 4:
  $\dfrac{6\color{blue}{: 2}}{16\color{blue}{: 2}} + \dfrac{18\color{blue}{: 2}}{20\color{blue}{: 2}} = \dfrac{3\color{blue}{\cdot 5}}{8\color{blue}{\cdot 5}} + \dfrac{9\color{blue}{\cdot 4}}{10\color{blue}{\cdot 4}} = \dfrac{15}{40} + \dfrac{36}{40} = \underline{\underline{\dfrac{51}{40}}}$

  Das Ergebnis lässt sich nicht weiter kürzen, aber wir können es wieder als gemischte Zahl schreiben:

  $\dfrac{51}{40} = \underline{\underline{1\dfrac{11}{40}}}$

• Bestimme die Summe der Brüche.

  Tipps

  Alle vier Brüche müssen auf den gleichen Nenner gebracht werden.

  Ein gemeinsames Vielfaches von zwei Zahlen ist immer das Produkt. Das heißt, $5 \cdot 7 = 35$ ist ein Vielfaches von $5$ und von $7$. Um das kleinste Vielfache zu finden, musst du überlegen, ob es eine kleinere Zahl als $35$ gibt, die sowohl durch $5$ als auch durch $7$ teilbar ist. In diesem Fall ist $35$ das kleinste gemeinsame Vielfache.

  Um den Bruch in eine gemischte Zahl zu verwandeln, überlege, wie oft der Nenner in den Zähler passt und wie viel noch übrig bleibt.

  Zum Beispiel: $\dfrac{7}{3}$

  Die $3$ passt zweimal in die Zahl $7$, aber $2\cdot 3 = 6$. Das heißt, es bleibt noch ein Rest $1$ übrig. Damit erhalten wir:

  $\dfrac{7}{3} = 2\dfrac{1}{3}$

  Lösung

  Zuerst kürzen wir soweit wie möglich, um das spätere Rechnen zu vereinfachen:

  $\dfrac{6\color{blue}{:2}}{16\color{blue}{:2}} + \dfrac{6\color{blue}{:3}}{9\color{blue}{:3}} + \dfrac{4}{5} + \dfrac{18\color{blue}{:6}}{24\color{blue}{:4}} = \dfrac{3}{8}+\dfrac{2}{3}+ \dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{4}$

  Dann bestimmen wir das kleinste gemeinsame Vielfache:

  $\mathrm{kgV}(8, 5) = 8 \cdot 5 = 40$

  $\mathrm{kgV}(40, 3) = 40 \cdot 3 = 120$

  Nun bringen wir alle Brüche auf den Hauptnenner, indem wir passend erweitern:

  $\dfrac{3\color{blue}{\cdot 15}}{8\color{blue}{\cdot 15}}+\dfrac{2\color{blue}{\cdot 40}}{3\color{blue}{\cdot 40}}+ \dfrac{4\color{blue}{\cdot 24}}{5\color{blue}{\cdot 24}} + \dfrac{3\color{blue}{\cdot 30}}{4\color{blue}{\cdot 30}} = \dfrac{45}{120} + \dfrac{80}{120}+\dfrac{96}{120} + \dfrac{90}{120}$

  Jetzt addieren wir die Zähler und behalten den Nenner bei und erhalten:

  $\dfrac{45}{120} + \dfrac{80}{120}+\dfrac{96}{120} + \dfrac{90}{120} = \dfrac{45+80+96+90}{120} = \dfrac{311}{120}$

  Alternativ können die Brüche auch nach und nach addiert werden. Das kann das Erweitern vereinfachen:

  $\dfrac{3\color{blue}{\cdot 3}}{8\color{blue}{\cdot 3}}+\dfrac{2\color{blue}{\cdot 8}}{3\color{blue}{\cdot 9}}+ \dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{24} + \dfrac{16}{24} + \dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{25}{24} + \dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{4}$

  Wenn wir die letzten beiden Brüche tauschen, vereinfacht sich das Erweitern noch weiter:

  $\dfrac{25}{24} + \dfrac{3\color{blue}{\cdot 6}}{4\color{blue}{\cdot 6}} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{25}{24} + \dfrac{18}{24} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{43}{24} + \dfrac{4}{5}$

  Analog berechnen wir die letzte Summe:

  $\dfrac{43\color{blue}{\cdot 5}}{24\color{blue}{\cdot 5}} + \dfrac{4\color{blue}{\cdot 24}}{5\color{blue}{\cdot 24}} = \dfrac{215}{120} + \dfrac{96}{120} = \dfrac{311}{120}$

  Zum Schluss können wir das Ergebnis noch in eine gemischte Zahl umwandeln:

  $\dfrac{311}{120} = \dfrac{240}{120} + \dfrac{71}{120} = 2\dfrac{71}{120}$

• Berechne die Summe der beiden Brüche.

  Tipps

  Da es sich hier um ungleichnamige Brüche handelt, müssen wir die Brüche zuerst erweitern, um sie auf den gleichen Nenner zu bringen.

  Überlege, welche Zahl das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner ist. Zum Beispiel ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen $5$ und $7$ die Zahl $35$. Das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen $3$ und $6$ ist die Zahl $6$.

  Bei gleichnamigen Brüchen werden nur die Zähler addiert.

  Lösung

  Es handelt sich hier um ungleichnamige Brüche. Deswegen müssen die Brüche zuerst auf den gleichen Nenner gebracht werden, bevor wir sie addieren. Dafür ermitteln wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner $4$ und $8$. Wir schauen uns die ersten Vielfachen der beiden Zahlen an:

  Die Zahl $4$ hat die Vielfachen $4, \bf{8},$ $12,$ $\bf{16},$ $...$ und

  die Zahl $8$ hat die Vielfachen $\bf{8}, \bf{16},$ $24, 32,\,...$

  Die Zahlen $4$ und $8$ haben mehrere gemeinsame Vielfache, aber das kleinste gemeinsame Vielfache ist die Zahl $8$.

  Wir müssen also den ersten Bruch durch Erweitern auf den Nenner $8$ bringen, um die beiden Brüche gleichnamig zu machen. Das machen wir, indem wir sowohl den Zähler als auch den Nenner mit einer $2$ multiplizieren:

  $\dfrac{3\cdot 2}{4\cdot 2} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{6}{8} + \dfrac{1}{8}$

  Da wir jetzt zwei gleichnamige Brüche haben, können wir sie addieren, indem wir die Zähler addieren und den Nenner beibehalten:

  $\dfrac{6}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{6+1}{8} = \dfrac{7}{8}$

• Berechne die Anteile, die jeder Freund von der Gesamtmenge erhält.

  Tipps

  Die Hälfte aller Brötchen sind Mehrkornbrötchen. Zu einem Viertel gibt es Dinkelbrötchen und zu einem Viertel gibt es Vollkornbrötchen.

  Um Bens Anteil zu finden, müssen Darias, Peters und Kims Anteile addiert und vom Ganzen abgezogen werden.

  Beispiel:
  Würde einer der Freunde $\dfrac{1}{5}$ der Mehrkorn-, $\dfrac{1}{3}$ der Dinkel- und $\dfrac{1}{2}$ der Vollkornbrötchen bekommen. Wie viele Brötchen bekommt der Freund insgesamt?

  Die Hälfte der Brötchen sind Mehrkornbrötchen: $\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{10}$

  Ein Viertel der Brötchen sind Dinkelbrötchen: $\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{12}$

  Ein Viertel der Brötchen sind Vollkornbrötchen: $\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$

  Insgesamt ergibt das: $\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{12}{120} + \dfrac{10}{120} + \dfrac{15}{120} = \dfrac{37}{120}$

  Lösung

  Da wir nicht wissen, wie viele Brötchen Ben insgesamt und jeweils von jeder Sorte gebacken hat, müssen wir hier ausschließlich mit Anteilen, also Brüchen, arbeiten.

  Für Daria rechnen wir:

  $\begin{array}{lll} \color{red}{\dfrac{1}{2}}\color{black}{\cdot \dfrac{1}{2} + }\color{red}{\dfrac{1}{4}}\color{black}{\cdot \dfrac{3}{4} + }\color{red}{\dfrac{1}{4}}\color{black}{\cdot \dfrac{1}{5}} &= \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{16} + \dfrac{1}{20} &= \dfrac{1\color{blue}{\cdot \,4}}{4\color{blue}{\cdot \,4}} + \dfrac{3}{16} + \dfrac{1}{20} \\ & \\ &= \dfrac{7}{16} + \dfrac{1}{20} &= \dfrac{7\color{blue}{\cdot \,5}}{16\color{blue}{\cdot \,5}} + \dfrac{1\color{blue}{\cdot \,4}}{20\color{blue}{\cdot \,4}} \\ & \\ &= \dfrac{35}{80} + \dfrac{4}{80} &= \underline{\underline{\dfrac{39}{80}}} \end{array}$

  Die Hälfte, also $\dfrac{1}{2}$ der Brötchen sind Mehrkornbrötchen. Von diesen erhält Daria $\dfrac{1}{2}$, deswegen rechnen wir $\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}$.

  Ein Viertel, also $\dfrac{1}{4}$, sind Dinkelbrötchen und ein Viertel sind Vollkornbrötchen. Deswegen multiplizieren wir die anderen beiden Anteile $\dfrac{3}{4}$ und $\dfrac{1}{5}$ bei Daria mit $\dfrac{1}{4}$.

  Analog gilt für Peter:

  $\begin{array}{lll} \color{red}{\dfrac{1}{2}}\color{black}{\cdot \dfrac{1}{3} + }\color{red}{\dfrac{1}{4}}\color{black}{\cdot \dfrac{1}{7} + }\color{red}{\dfrac{1}{4}}\color{black}{\cdot} \dfrac{2\color{blue}{\,: 2}}{6\color{blue}{\,: 2}}&\color{black}{= }\dfrac{1\color{blue}{\cdot \,2}}{6\color{blue}{\cdot \,2}} \color{black}{+ \dfrac{1}{28} + \dfrac{1}{12}} &= \dfrac{2}{12} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{28} \\ & \\ &= \dfrac{3\color{blue}{\,: 3}}{12\color{blue}{\,: 3}}\color{black}{ + \dfrac{1}{28}} &= \dfrac{1\color{blue}{\cdot \,7}}{4\color{blue}{\cdot \,7}} \color{black}{+ \dfrac{1}{28}} \\ & \\ &= \dfrac{7}{28} + \dfrac{1}{28} &= \dfrac{8\color{blue}{\,: 4}}{28\color{blue}{\,:4}}\color{black}{= \underline{\underline{\dfrac{2}{7}}}} \end{array}$

  Da Kim nur Vollkornbrötchen bekommt, multiplizieren wir die anderen Brötchensorten mit $0$ und erhalten für Kim:

  $\color{red}{\dfrac{1}{2}}\color{black}{\cdot 0 + }\color{red}{\dfrac{1}{4}}\color{black}{\cdot 0 + }\color{red}{\dfrac{1}{4}}\color{black}{\cdot \dfrac{1}{4} = \underline{\underline{\dfrac{1}{16}}}}$

  Um zum Schluss noch den verbliebenen Anteil für Ben herauszufinden, müssen wir die Anteile von Daria, Peter und Kim miteinander addieren und vom Ganzen, also von $1$, abziehen:

  $\begin{array}{ll} 1 - \left( \dfrac{39}{80} + \dfrac{2}{7} + \dfrac{1}{16} \right) &= 1 - \left( \dfrac{39\color{blue}{\cdot \,7}}{80\color{blue}{\cdot \,7}} + \dfrac{2\color{blue}{\cdot \,80}}{7\color{blue}{\cdot \,80}} + \dfrac{1\color{blue}{\cdot \,35}}{16\color{blue}{\cdot \,35}} \right) \\ & \\ &= 1 - \left( \dfrac{273}{560} + \dfrac{160}{560} + \dfrac{35}{560} \right) \\ & \\ &= 1 - \dfrac{468\color{blue}{\,:4}}{560\color{blue}{\,:4}}\color{black}{ = 1 - \dfrac{117}{140} = \underline{\underline{\dfrac{23}{140}}}} \end{array}$

  Alternativ können die Anteile der Freundinnen und Freunde auch folgendermaßen berechnet werden:

  Wir wissen, dass die Hälfte aller Brötchen von der Sorte Mehrkorn ist und der Rest zu gleichen Teilen Dinkel und Vollkorn. Das heißt, wir können die gegebenen Anteile der Mehrkornbrötchen mit $2$, die Anteile der Dinkelbrötchen mit $1$ und die Anteile der Vollkornbrötchen mit $1$ gewichten und dann durch die Summe der Gewichtungen

  $2 + 1 + 1 = 4$

  teilen.

  Beispiel: Um den Anteil der Brötchen für Daria herauszufinden rechnen wir also:

  $\dfrac{2\cdot \color{blue}{\dfrac{1}{2}}\color{black}{+ 1\cdot} \color{blue}{\dfrac{3}{4}}\color{black}{+ 1\cdot} \color{blue}{\dfrac{1}{5}}}{4} = \dfrac{1 + \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{5}}{4} = \dfrac{\dfrac{20}{20} + \dfrac{15}{20} + \dfrac{4}{20}}{4} = \dfrac{\dfrac{39}{20}}{4} = \dfrac{39}{80}$

  Hier haben wir bei der Addition der Brüche die Brüche jeweils so erweitert, dass sie auf den Hauptnenner $20$ (das kleinste gemeinsame Vielfache von vier und fünf) kommen.