Berechnungen an Körpern

Was ist ein Körper?

Ein Körper ist eine geometrische Figur, die eine räumliche Ausdehnung hat. Oft gibt es Gegenstände im Alltag, die (fast) aussehen wie mathematische Körper.

Die Oberfläche eines Körpers

Ein Körper wird durch mindestens eine äußere Fläche begrenzt. Alle Flächen, die den Körper begrenzen, ergeben zusammen die Oberfläche des Körpers. Von dieser Oberfläche kannst du den Flächeninhalt berechnen. Man spricht vom Oberflächeninhalt.

Die meisten Körper, die du in der Schule kennenlernst, kannst du zu einem Körpernetz aufklappen. An diesem Netz kannst du alle begrenzenden Flächen gut erkennen. Dieses Netz kann dir dabei helfen, die Größe der Oberfläche des Körpers zu bestimmen.

Das Volumen eines Körpers

Das Volumen gibt an, wie viel Raum ein Körper einnimmt. Man spricht auch von dem Rauminhalt.

Prismen und Zylinder

Ein Prisma hat ein $n$-Eck als Grundfläche und ein dazu paralleles und kongruentes $n$-Eck als Deckfläche. Die einander entsprechenden Ecken werden durch die Höhe des Prismas miteinander verbunden. Die Höhe steht senkrecht zur Grund- und Deckfläche.

Hier siehst du ein Prisma mit einer sechseckigen Grundfläche. Diese ist blau eingefärbt.

Auch ein Zylinder hat eine Grund- und eine Deckfläche. Im Gegensatz zu einem Prisma sind diese Flächen bei einem Zylinder Kreise. Die Höhe steht ebenfalls senkrecht zu der Grund- und Deckfläche.

Quader und Würfel

Quader sind besondere Prismen. Ein Quader hat acht Ecken, sechs Seitenflächen und zwölf Kanten. Dabei sind die Flächen, die einander gegenüberliegen, kongruent zueinander. Das bedeutet auch, dass jeweils vier Kanten gleich lang sind. Ein Beispiel für einen quaderförmigen Gegenstand aus dem Alltag ist ein Buch.

Die Oberfläche des Quaders besteht aus sechs Rechtecken. Das Volumen eines Quaders kannst du berechnen, indem du Länge, Breite und Höhe des Quaders miteinander multiplizierst.

Ein Würfel ist ein besonderer Quader. Bei diesem sind alle sechs Seitenflächen Quadrate. Bei einem Würfel sind alle Kanten gleich lang.

Pyramiden und Kegel

Eine Pyramide hat ein $n$-Eck als Grundfläche und eine Spitze $S$. Diese Spitze ist mit jeder Ecke der Grundfläche verbunden.

Hier siehst du eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Rechts ist das zugehörige Netz dieser Pyramide abgebildet. Daran kannst du bereits die Flächen erkennen, welche die Pyramide begrenzen.

Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche hat fünf Ecken, fünf Seitenflächen und acht Kanten.

Ein Kegel hat ähnlich wie eine Pyramide eine Grundfläche und eine Spitze. Hier ist die Grundfläche ein Kreis.

Ein Kegel hat eine Ecke, zwei Seitenflächen und eine Kante.

Volumen und Oberfläche von Kugeln

Eine Kugel ist ein Körper, der im Alltag oft auftaucht. Kugelförmig sind beispielsweise ein Globus, ein Fußball (und andere Bälle im Sport), eine Eiskugel usw.

Eine Kugel hat keine Ecken, keine Kanten und nur eine Fläche.

Der Satz von Cavalieri und der Eulersche Polyedersatz

Der Satz von Cavalieri und der Eulersche Polyedersatz sind Sätze in der Mathematik, die Aussagen zu Körpern machen. Im Folgenden wird der Eulersche Polyedersatz etwas genauer erklärt.

Er stellt einen Zusammenhang zwischen den Ecken $E$, den Kanten $K$ und den Seitenflächen $F$ eines Körpers her. Es gilt:

$E - K + F = 2$

Schauen wir uns das einmal an zwei Körpern an, die du schon kennst:

• Ein Quader hat $E=8$ Ecken, $K=12$ Kanten und $F=6$ Seitenflächen. Es gilt $8-12+6=2$.
• Eine quadratische Pyramide hat $E=5$, $K=8$ und $F=5$ Seitenflächen. Es gilt $5-8+5=2$.