Schnittflächen von Prismen und Pyramiden
Entdecke die Welt der Schnittflächen in Mathematik! Lerne, wie ebene Körper in verschiedene Schnittflächen unterteilt werden und welche Formen dabei entstehen. Verstehe, wie Schnittflächen bei Prismen und Pyramiden entstehen. Interessiert? Dies und vieles mehr im vollständigen Text!
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Grundlagen zum Thema Schnittflächen von Prismen und Pyramiden
Das Zerschneiden von Körpern
Körper wie einen Holzklotz können wir natürlich mit einem Messer oder einer Säge zerschneiden. Dies können wir auch mit geometrischen Körpern in der Mathematik tun. Die Flächen, die dabei entstehen, nennen wir Schnittflächen. Wir betrachten Prismen und Pyramiden und untersuchen, welche Flächenformen als Schnittflächen auftreten können.
Was ist eine Schnittfläche?
Eine Schnittfläche ist die Figur, die entsteht, wenn ein dreidimensionaler Körper von einer zweidimensionalen Ebene geschnitten wird. Aber was ist die Schnittfläche eines Prismas?
Schnittflächen beim Prisma
Wir betrachten als Beispiel ein Prisma mit sechs rechteckigen Seitenflächen – also einen Quader. Wir schneiden eine Ecke des Quaders ab:
Die Schnittfläche ist ein Dreieck, da die Ebene drei Seitenflächen des Quaders geschnitten hat.
Wir schneiden den Quader nun wie folgt:
Der Schnitt schneidet vier Seitenflächen. Die Schnittfläche ist daher ein Viereck. Die Seiten der Schnittfläche liegen in den Seitenflächen des Prismas. Die Eckpunkte der Schnittfläche liegen genau auf den Kanten des Quaders.
Solange die Ebene keine Ecke und auch nicht entlang einer Kante des Prismas schneidet, ist die Anzahl der Seiten der Schnittfläche gleich der Anzahl der geschnittenen Seitenflächen.
Wir können bei diesem Prisma mit sechs Seitenflächen also maximal eine sechseckige Schnittfläche erzeugen:
Eine siebeneckige Schnittfläche ist nicht möglich, da hierfür sieben Seitenflächen nötig wären.
Schnittflächen bei der Pyramide
Wir betrachten nun eine quadratische Pyramide. Welche Formen entstehen hier an den Schnittflächen? Wir zerschneiden die Pyramide so, dass eine fünfeckige Schnittfläche entsteht. Dazu muss die Ebene alle fünf Seitenflächen durchschneiden:
Die Eckpunkte der Schnittfläche liegen wieder auf den Kanten der Pyramide. Die maximale Anzahl an Seiten einer Schnittfläche einer quadratischen Pyramide ist fünf, da es nur fünf Seitenflächen gibt, die man schneiden kann.
Allgemeine Aussagen zu Schnittflächen
Wenn wir dreidimensionale Körper mit Ebenen schneiden, erhalten wir zweidimensionale Schnittflächen. Um die Schnittfläche zu bestimmen, helfen uns folgende Zusammenhänge:
- Die Seiten der Schnittfläche liegen immer in den Seitenflächen des Körpers.
- Die Eckpunkte der Schnittfläche liegen immer auf den Kanten des Körpers.
- Die Anzahl der Seiten der Schnittfläche ist gleich der Anzahl der geschnittenen Seitenflächen.
- Die maximale Anzahl an Seiten, die die Schnittfläche haben kann, ist gleich der Anzahl der Seitenflächen des dreidimensionalen Körpers.
Zusammenfassung – Schnittflächen
Wir haben zunächst definiert, was eine Schnittfläche ist. Am Beispiel des Prismas mit sechs Seitenflächen haben wir anschließend verschiedene Schnittflächen untersucht und allgemeine Aussagen dazu aufgestellt. Danach sind wir der Frage nachgegangen, was die Schnittfläche einer Pyramide ist. Dazu haben wir auch hier mögliche Schnittflächen betrachtet und die bereits formulierten allgemeinen Aussagen überprüft. So haben wir die Schnittfläche beim Prisma und bei der Pyramide einfach erklärt.
Übungen und Arbeitsblätter zu dem Thema findest du auch hier auf dieser Seite.
Transkript Schnittflächen von Prismen und Pyramiden
Yuna trainiert seit Jahren, um eine meisterhafte Samurai-Kriegerin zu werden. Ihre Schwertkunst hat sie unter den wachsamen Augen ihres Meisters Takeda erlernt. Noch eine Prüfung muss Yuna bestehen und zeigen, dass sie den nötigen Schneid besitzt. Dazu muss sie sich mit Schnittflächen von Prismen und Pyramiden auseinandersetzen. Mit einem präzisen Schnitt teilt sie eine Ecke des Quaders ab. Welche Form hatte der Quader vor dem Schnitt? Er war ein rechteckiges Prisma mit 6 rechteckigen Seitenflächen. Yuna hat das Prisma mit einem geraden Schnitt geteilt. Ihre Klinge ist also in einer Ebene durch den Körper geglitten. Diese Ebene ist weder parallel noch orthogonal zu einer der Seitenflächen des Prismas. Welche Form hat die entstandene Schnittfläche? Eine Schnittfläche ist die Figur, die entsteht, wenn ein dreidimensionaler Körper von einer zweidimensionalen Ebene geschnitten wird. In diesem Fall ist die Schnittfläche ein Dreieck. Wie viele Seitenflächen hat Yunas Klinge geschnitten? Drei, was der Anzahl der Seiten der Schnittfläche entspricht. Schauen wir mal, ob das auch für andere Schnitte gilt. Dieser Schnitt hier schneidet 4 Seitenflächen. Die Seiten der Schnittfläche liegen auf den Seitenflächen des Prismas, genau dort, wo die Ebene die Seitenflächen schneidet. Und es gibt genau eine Seite je Seitenfläche. Die Anzahl der Seiten der Schnittfläche entspricht also der Anzahl der geschnittenen Seitenflächen. In diesem Fall haben wir eine vierseitige Schnittfläche erhalten. Die Eckpunkte der Schnittfläche liegen übrigens genau auf den Kanten des Quaders! Das funktioniert tatsächlich für alle dreidimensionalen Körper. Solange die Ebene keine Ecke und auch keine komplette Kante schneidet, ist die Anzahl der Seiten der Schnittfläche gleich der Anzahl der Seitenflächen, die von der Ebene geschnitten werden. Würden wir durch diese beiden Kanten schneiden, sähe die Schnittfläche so aus. Sie hat vier Seiten – aber sie schneidet nur durch diese zwei Flächen des Quaders. Deswegen funktioniert unsere Regel nur, wenn wir nicht durch Ecken oder Kanten des Körpers schneiden. Zurück zu unserem Prisma wir können ein Fünfeck erzeugen, indem wir unsere Ebene fünf Seitenflächen schneiden lassen. Schau, das Fünfeck hat zwei Seitenpaare, die jeweils parallel zueinander liegen. Auf welchen Seitenflächen liegen diese parallelen Linien? Auf diesen beiden Seitenflächen des Quaders. Bei einem Quader sind gegenüberliegende Flächen parallel – genau wie die beiden Seiten der Schnittfläche. Wenn zwei parallel liegende Seitenflächen eines Körpers von der gleichen Ebene geschnitten werden, dann liegen die Seiten der Schnittfläche, die daraus entsteht, ebenfalls parallel. Können wir die Ebene so legen, dass sie alle 6 Seitenflächen schneidet? Ja! Das ist ein Sechseck. Können wir auch eine siebenseitige Schnittfläche aus diesem rechteckigen Prisma erzeugen? Nein, denn dazu bräuchten wir 7 Seitenflächen, die geschnitten werden. Das Prisma besitzt aber nur 6. Yunas nächste Herausforderung ist ein anderer dreidimensionaler Körper, eine quadratische Pyramide. Takeda erteilt ihr die Aufgabe, eine fünfeckige Schnittfläche zu erzeugen. Wie viele Seitenflächen muss sie dafür durchschneiden? Die Ebene muss alle fünf Seitenflächen durchschneiden, um eine fünfeckige Schnittfläche zu erzeugen. Das geht zum Beispiel auf diese Weise. Man kann die Pyramide aber auch auf andere Weise durchschneiden, um ein Fünfeck zu erhalten. Wo liegen die Eckpunkte der Schnittfläche? An den Kanten der Pyramide. Wenn man weiß, dass die Eckpunkte der Schnittfläche auf den Kanten des dreidimensionalen Körpers liegen und die Seiten auf den Seitenflächen, ist es leichter, sich die Schnittfläche vorzustellen. Die maximale Anzahl an Seiten einer Schnittfläche einer quadratischen Pyramide ist 5, da es nur 5 Seitenflächen gibt, die man schneiden kann, aber man kann viereckige Schnittflächen erzeugen. Und sogar Dreiecke. Also gut Yuna, Zeit, dich als würdig zu erweisen. Während Takeda die Ergebnisse auswertet, fassen wir noch mal zusammen. Wenn wir dreidimensionale Körper mit Ebenen schneiden, erhalten wir zweidimensionale Schnittflächen. Die Seiten der Schnittfläche liegen immer auf den Seitenflächen des Körpers und die Eckpunkte liegen immer auf seinen Kanten. Die Anzahl der Seiten der Schnittfläche ist gleich der Anzahl der geschnittenen Seitenflächen. In jedem Fall ist die maximale Anzahl an Seiten, die die Schnittfläche haben kann, gleich der Anzahl der Seitenflächen des dreidimensionalen Körpers. Yuna hat die Prüfung bestanden und ist jetzt eine Samurai-Kriegerin. Die Schülerin ist nun die Meisterin im Fabrizieren von Katastrophen! Ach, Yuna …
Schnittflächen von Prismen und Pyramiden Übung
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Nenne die korrekten Aussagen.
TippsDie Anzahl der Seiten der Schnittfläche entspricht der Anzahl der geschnittenen Seitenflächen.
LösungEin Quader ist ein Prisma mit sechs rechteckigen Seitenflächen. Diese Aussage ist korrekt. Ein Quader ist ein Sonderfall des Prismas. Ein Quader hat insgesamt sechs Seitenflächen und diese sind alle rechteckig.
Ein Quader ist ein zweidimensionaler Körper. Hierbei handelt es sich nicht um eine korrekte Aussage. Zweidimensionale Körper gibt es nicht, denn Körper nehmen immer einen Raum ein und sind somit dreidimensional.
Die Eckpunkte der Schnittfläche einer Ebene durch einen Quader liegen auf den Kanten des Quaders. Diese Aussage ist wiederum korrekt. Schneidet eine Ebene einen Körper, dann liegen die Eckpunkte der daraus entstehenden Schnittfläche direkt auf den Kanten des geschnittenen Körpers.
Schneidet die Ebene drei Seitenflächen des Quaders, entsteht ein Fünfeck als Schnittfläche. Gemäß des ersten Tipps ist diese Aussage nicht korrekt. Die Anzahl der Seiten der Schnittfläche entspricht der Anzahl der geschnittenen Seitenflächen. Schneidet die Ebene also drei Seiten eines Körpers, dann hat die daraus entstehende Schnittfläche auch nur drei Seiten.
Schneidet die Ebene vier Seitenflächen des Quaders, entsteht ein Viereck als Schnittfläche. Somit ist diese Aussage richtig. Es werden vier Seitenflächen des Körpers geschnitten und es entsteht eine Fläche mit vier Seiten.
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Bestimme die Figur mit den meisten geschnittenen Seitenflächen.
TippsSeiten der Schnittfläche $=$ geschnittene Seitenflächen
Schneidet eine Ebene direkt durch zwei Kanten, werden nur zwei Flächen des Quaders geschnitten.
LösungZwei Flächen des Quaders werden nur geschnitten, wenn die Schnittebene durch zwei Kanten verläuft. Dies ist nur beim ersten Bild der Fall.
Beim nächsten Bild sehen wir, dass die Schnittfläche einem Dreieck entspricht, da hier drei Seitenflächen des Quaders geschnitten werden.
Von der Perspektive darf man sich nicht beim nächsten Bild täuschen lassen. Dort ist ein Rechteck zu sehen. Die Schnittebene schneidet demnach vier Flächen.
Genau hinschauen muss man ebenfalls beim folgenden Bild. Bei genauem Hinsehen ist hier ein Fünfeck zu erkennen, das dementsprechend durch fünf Seiten des Quaders schneidet.
Beim letzten Bild werden alle sechs Seiten des Quaders geschnitten. Mit dem daraus entstehenden Sechseck werden somit die meisten Seitenflächen geschnitten und die Schnittfläche hat die größte Anzahl an Seiten.
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Ordne die Begriffe den jeweiligen Teilen des Quaders und der Pyramide zu.
TippsEin Quader besteht aus sechs rechteckigen Flächen.
Zwei Flächen treffen sich an einer Kante.
Drei Flächen treffen sich an einer Ecke.
LösungAuf der linken Seite des Bildes ist ein Quader zu sehen. Er besteht aus insgesamt sechs rechteckigen Flächen. Gegenüberliegende Flächen sind jeweils gleich groß und parallel zueinander. Zwei Flächen treffen sich immer an einer Kante. Drei Flächen hingegen laufen an einer Ecke zusammen.
So ähnlich sieht es bei der Pyramide auf der rechten Seite des Bildes aus. Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche hat insgesamt vier dreieckige Flächen. Nach oben hin treffen sich alle vier Flächen an der Spitze der Pyramide. Zwei Dreiecksflächen berühren sich hier ebenfalls wieder an einer Kante.
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Ermittle die fehlenden Begriffe.
TippsSchneidet eine Ebene alle sechs Seitenflächen eines Würfels, hat die daraus resultierende Schnittfläche ebenfalls sechs Seiten.
LösungEin Prisma mit sechs rechteckigen Seitenflächen wird auch Quader genannt. Schneidet man gerade durch einen solchen Quader, entsteht eine Schnittfläche. Diese Schnittfläche ist die Figur, die entsteht, wenn ein $3$-dimensionaler Körper von einer $2$-dimensionalen Ebene geschnitten wird.
Grundsätzlich gilt: Die Anzahl der Seiten der Schnittfläche entspricht der Anzahl der geschnittenen Seitenfläche des Prismas. Das bedeutet also, schneidet die Ebene drei Seitenflächen des Prismas, hat die daraus entstandene Schnittfläche drei Seiten.
Diese Regel gilt auch für Pyramiden. Bei einer quadratischen Grundfläche besitzen sie vier dreieckige Seitenflächen. Somit kann die Ebene bei solch einer Pyramide maximal fünf Flächen schneiden. Mehr ist nicht möglich.
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Bestimme die Schnittfläche zur entsprechenden ebenen Figur.
TippsSeiten der Schnittfläche = geschnittene Seitenfläche
Schneidet eine Ebene den Quader an fünf Seitenflächen, entsteht als Schnittfläche ein Fünfeck.
LösungBeim ersten Bild schneidet die Schnittebene drei Seiten des Quaders. Somit hat auch die Schnittfläche drei Seiten und entspricht einem Dreieck.
Ein Rechteck entsteht beim folgenden Bild, indem die Schnittebene vier Seiten des Körpers schneidet.
Eine Seite mehr hat ein Fünfeck. Hier wurden insgesamt fünf Seiten des Körpers geschnitten, sodass diese Figur entsteht.
Werden alle sechs möglichen Seiten des Quaders geschnitten, entsteht somit ein Sechseck.
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Bestimme die maximale Anzahl der Seiten einer Schnittebene durch den Körper.
TippsAnzahl der Seiten der Schnittfläche = Anzahl der geschnittenen Seitenflächen.
LösungDer Tetraeder hat insgesamt $4$ Flächen. Somit kann eine Schnittebene maximal $4$ Flächen dieses Körpers schneiden.
$5$ Flächen besitzt eine Pyramide mit rechteckiger Grundfläche. Da eine Schnittebene maximal die Anzahl an Flächen schneiden kann, die ein Körper auch besitzt, können hier maximal $5$ Seitenflächen geschnitten werden.
Der Quader wiederum besitzt insgesamt $6$ Seitenflächen. Dies ist auch in diesem Fall die maximal Anzahl an Seiten einer Schnittebene durch diesen Körper.
Zu guter Letzt bleibt das Prisma mit fünfeckiger Grundfläche übrig. Dieser Körper besitzt insgesamt $7$ Seiten. Somit kann auch die Schnittebene hier $7$ Seiten schneiden.
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