Zweistufiges Zufallsexperiment ohne Zurücklegen
Erfahre, wie zweistufige Zufallsexperimente ohne Zurücklegen, wie die Auswahl von Personen für ein Doppelzimmer, modelliert werden. Inklusive Erläuterung des Urnenmodells und Baumdiagramms. Interessiert? Weitere Details und Übungen erwarten dich im Text! Fandest du diese Zusammenfassung hilfreich? Möchtest du weitere Informationen?
- Zweistufige Zufallsexperimente ohne Zurücklegen – Beispiel
- Zweistufige Zufallsexperimente ohne Zurücklegen – Baumdiagramm
- Wie berechnet man Wahrscheinlichkeiten bei einem zweistufigen Zufallsexperiment ohne Zurücklegen?
- Zweistufige Zufallsexperimente ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge – Übungen
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Grundlagen zum Thema Zweistufiges Zufallsexperiment ohne Zurücklegen
Zweistufige Zufallsexperimente ohne Zurücklegen – Beispiel
Von drei Personen wollen sich zwei ein Doppelzimmer teilen. Wir können die zufällige Auswahl der beiden Personen für das Doppelzimmer mathematisch durch ein Urnenexperiment modellieren. Da das Doppelzimmer von zwei verschiedenen Personen belegt wird und eine Person nicht doppelt gewählt werden kann, sprechen wir von einem zweistufigen Zufallsexperiment ohne Zurücklegen.
Ein zweistufiges Zufallsexperiment ist beispielsweise, zweimal aus einer Urne zu ziehen, zweimal eine Münze zu werfen oder zwei Karten zu ziehen. Wir betrachten im Folgenden als Beispiel drei Personen, von denen zwei für das oben genannte Doppelzimmer ausgewählt werden sollen. Wir unterscheiden die drei Personen wie folgt: Die erste ist rothaarig, die zweite blond und die dritte braunhaarig.
Wir können jedes Zufallsexperiment ins Urnenmodell übersetzen: In unserem Fall befinden sich in der Urne drei Kugeln in drei verschiedenen Farben: Eine rote, eine braune und eine „blonde“ Kugel. Da wir für das Doppelzimmer zwei Kugeln ziehen müssen, ist das Experiment zweistufig. Da jede Person nur einmal ausgewählt werden kann, sprechen wir vom Ziehen ohne Zurücklegen. Zudem ist hier die Reihenfolge nicht relevant.
Zweistufige Zufallsexperimente ohne Zurücklegen – Baumdiagramm
Mehrstufige Zufallsexperimente können wir durch Baumdiagramme veranschaulichen. Dazu zeichnen wir für jedes mögliche Ergebnis eines Zugs einen Ast. An das Ende kommt ein sogenannter Knoten – hier notieren wir das entsprechende Ergebnis. Wir haben im ersten Schritt die Möglichkeit, die braune, die „blonde“ oder die rote Kugel zu ziehen. An die Äste notieren wir die jeweilige Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses. Wir wählen rein zufällig eine der drei Kugeln, daher beträgt die Wahrscheinlichkeit jeweils $\frac{1}{3}$.
Bei einem Zufallsexperiment ohne Zurücklegen sind die Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe jedoch anders: Je nachdem welche Kugel bzw. Person wir in der ersten Stufe gezogen haben, bleiben für den Zug in der zweiten Stufe nur noch zwei Kugeln bzw. Personen übrig. Da wir wieder rein zufällig eine dieser beiden Kugeln ziehen, beträgt die Wahrscheinlichkeit in der zweiten Stufe jeweils $\frac{1}{2}$.
Wie berechnet man Wahrscheinlichkeiten bei einem zweistufigen Zufallsexperiment ohne Zurücklegen?
Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten eines zweistufigen Zufallsexperiments ohne Zurücklegen wenden wir die Pfadregeln an:
Die erste Pfadregel lautet: Das Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfads entspricht der Gesamtwahrscheinlichkeit des ganzen Pfads.
Wir wenden die Regel auf unser Beispiel an:
Wir wollen die Wahrscheinlichkeit des oberen gelb markierten Pfads berechnen. Dies ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir zuerst die braune und dann die blonde Kugel ziehen. Dazu multiplizieren wir die Wahrscheinlichkeiten entlang des markierten Pfads und erhalten:
$P(\text{braun}, \text{blond}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$
Die zweite Pfadregel lautet: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das mehreren Pfade umfasst, entspricht der Summe der Wahrscheinlichkeiten all dieser Pfade.
Wir wollen nun die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$: Die braunhaarige und die blonde Person teilen sich das Doppelzimmer bestimmen. Dazu müssen wir die Wahrscheinlichkeiten der beiden gelb markierten Pfade ($\text{braun},\text{blond})$ und $(\text{blond},\text{braun}$) addieren. Da die Wahrscheinlichkeiten nach der ersten Pfadregel jeweils $\frac{1}{6}$ betragen, ergibt sich:
$P(A) =P(\text{braun},\text{blond}) + P(\text{blond},\text{braun}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Zweistufige Zufallsexperimente ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge – Übungen
Jetzt weißt du, wie du bei zweistufigen Zufallsexperimenten ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge mithilfe von Baumdiagrammen Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen berechnen kannst.
Wenn du noch weitere Übungen zu zweistufigen Zufallsexperimenten ohne Zurücklegen suchst, wirst du auf dieser Seite fündig. Hier gibt es außerdem Aufgaben und Lösungen zum zweistufigen Zufallsexperiment ohne Zurücklegen.
Transkript Zweistufiges Zufallsexperiment ohne Zurücklegen
Nach einem langen Feldzug suchen die drei tapferen Ritter Tristan, Fartolomæ und Arthus eine bequeme Burg als Nachtquartier. Leider hat der Burgherr nur noch ein Einzelzimmer frei! Und, die unter frisch Vermählten sehr beliebte Honeymoon-Suite. Welche beiden Ritter müssen sich jetzt die Suite teilen? Um das zu bestimmen, wird Flaschendrehen gespielt. Tristan hofft natürlich, dass die Flasche nicht auf ihn zeigen wird und er das Einzelzimmer für sich bekommt. Aber wenn schon, dann möchte er wenigstens mit Arthus in die Honeymoon-Suite! Nur nicht mit dem anrüchigen Fartolomæ! Wie wahrscheinlich das ist, können wir ausrechnen! Denn dieses Flaschendrehen ist ein zweistufiges Zufallsexperiment ohne Zurücklegen! Was heißt das genau? Zufallsexperimente kannst du immer ins Urnenmodell übersetzen. Dabei steht jede Kugelart (zum Beispiel "rote Kugel") für ein mögliches Ergebnis. Bei einem zweistufigen Experiment fragt man sich dann nach der Wahrscheinlichkeit, zwei bestimmte Kugeln zu ziehen. Betrachtet man die während des Experiments gezogenen Kugeln, so spricht an von einem Ereignis. Wenn man die gezogene Kugel nicht wieder zurücklegt, nennt man das: ein "Zufallsexperiment ohne Zurücklegen". Das heißt insbesondere, dass das Ergebnis des ersten Zugs im zweiten Zug nicht wieder auftauchen kann. Wie entspricht das ritterliche Flaschendrehen dem Urnenmodell? Unsere drei Ritter stehen für drei verschiedene Kugeln. Das Drehen der Flasche, können wir mit dem Ziehen einer Kugel aus der Urne identifizieren. Dass jeder Ritter nur einmal ausgewählt werden kann, entspricht einem Ziehen ohne Zurücklegen. Die beiden per Flasche ausgewählten Ritter, die sich die Honeymoon-Suite teilen müssen, entsprechen den zwei gezogenen Kugeln. Übrigens spielt die Reihenfolge, hier keine Rolle – ob zuerst Tristan und dann Arthus ausgewählt werden oder erst Arthus und dann Tristan, ist egal. Denn so oder so müssten sich diese beiden die Suite teilen. Um ein mehrstufiges Zufallsexperiment zu beschreiben, benutzt man Baumdiagramme. Dabei zeichnet man von einem gemeinsamen Startpunkt aus Pfade, die zu den einzelnen Ergebnissen führen. Die Ergebnisse lauten hier: "Arthus-...", "Fartolomæ-..." oder... "Tristan-wird-ausgewählt". Die Ergebnisse nennt man im Baumdiagramm Knoten. Zu jedem Pfad gehört eine Pfadwahrscheinlichkeit. Sie berechnet sich immer aus den Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnissee entlang des Pfades. Beim Flaschendrehen kann jeder der drei Ritter mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewählt werden. Deshalb ist ein Drittel die Wahrscheinlichkeit der drei möglichen Ergebnisse beim ersten Drehen. In der zweiten Runde ist es dann nicht mehr ganz so einfach: Je nachdem, welcher Ritter zuerst ausgewählt wurde, können nur noch die beiden anderen drankommen. Flaschendrehen ist aber immer noch fair: also beträgt die Wahrscheinlichkeit für jeden der beiden übrigen Ritter Einhalb. Mit der sogenannten ersten Pfadregel, bestimmt man die Pfadwahrscheinlichkeit, entlang eines Pfades. Dafür berechnet man das Produkt, der einzelnen Wahrscheinlichkeiten. Zum Beispiel ist die Pfadwahrscheinlichkeit dieses Pfades gleich 'ein Drittel' mal 'ein Halb', also 'ein Sechstel'. Weil entlang aller Pfade die einzelnen Wahrscheinlichkeiten genau gleich sind, ist die Pfadwahrscheinlichkeit aller Pfade ein Sechstel. Wie groß ist denn nun die Wahrscheinlichkeit, dass Tristan nicht ausgewählt wird, und ins Einzelzimmer kommt? Das bedeutet ja, dass Arthus und Fartolomæ beim Flaschendrehen ausgewählt und sich die Honeymoon-Suite teilen. Findest du die entsprechenden Pfade im Baumdiagramm? Es sind dieser und dieser hier. Das sind nämlich die beiden einzigen Pfade, auf denen Tristan nicht als Ergebnis vorkommt. Wir wissen schon, dass die Pfadwahrscheinlichkeit jedes einzelnen dieser Pfade ein Sechstel beträgt. Aber wie berechnen wir die Wahrscheinlichkeit der beiden Pfade zusammen?Hierfür verwenden wir die zweite Pfadregel. Die lautet: Will man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bestimmen, das aus mehreren Pfaden besteht, so addiert man alle zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten. Demnach müssen wir für die Wahrscheinlichkeit, dass Tristan ins Einzelzimmer darf, also diese und diese Pfadwahrscheinlichkeit addieren. Mit den richtigen Werten erhalten wir 'zwei Sechstel' oder gekürzt 'ein Drittel'. Das ist nicht besonders wahrscheinlich – wie sieht es denn mit den anderen Möglichkeiten aus? Der schlimmste Fall wäre natürlich, dass Tristan mit Fartolomæ aufs Zimmer muss. Dieses Ereignis setzt sich aus diesen beiden Pfaden zusammen – es müssen nämlich sowohl Tristan, als auch Fartolomæ als Ergebnisse auf dem Pfad liegen. Wieder benutzen wir die beiden Pfadregeln, um die Wahrscheinlichkeit auszurechnen. Erst entlang jedes Pfades multiplizieren dann die beiden Pfadwahrscheinlichkeiten addieren. Die Wahrscheinlichkeit, dass Tristan mit Fartolomæ in die Honeymoon-Suite muss, beträgt wieder ein Drittel – das ist also genauso wahrscheinlich wie, dass er auf das Einzelzimmer darf! Wohlan, ihr Ritter!Die Flasche dreht sich, es gibt kein Zurück mehr Zeit für die Zusammenfassung. Kommst du bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment einmal nicht weiter - übersetzt du es dir am besten ins Urnenmodell. Dabei musst du dir natürlich immer klar machen, was in deiner Aufgabe die Rolle der Kugeln spielt. Das sind dann die ergebnisse in deinem Zufallsexperiment. Ein zweistufiges Ziehen ohne Zurücklegen sieht so aus. Gezogene Kugelkombinationen können zu Ereignissen zusammengefasst werden. Um davon die Wahrscheinlichkeit bestimmen zu können, benutzt man ein Baumdiagramm. Auf dem trägt man für jeden Zug die möglichen Ergebnisse als Knoten ein und verbindet die einzelnen Knoten zu Pfaden. An jeden Pfad schreibst du vor jeden Knoten einzeln, die zugehörige Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnest du dann mit den beiden Pfadregeln. Dazu identifizierst du alle Pfade, auf denen die zugehörigen Knoten vorkommen. Dann berechnest du die Pfadwahrscheinlichkeiten, indem du jeweils, die einzelnen Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizierst. Wenn mehrere Pfade zu deinem Ereignis gehören, addierst du anschließend noch alle Pfadwahrscheinlichkeiten. Jetzt aber zu unseren müden Rittern. Die Entscheidung fällt auf Tristan. Das Einzelzimmer wird es also schonmal nicht – jetzt nur nicht mit Fartolomæ in die Suite war klar. Sehen wir doch mal nach, wie es den beiden in ihrer Honeymoon-Suite ergeht. Was ist denn da los? Womöglich hat Tristan hier noch den Luxus des Wirlpools entdeckt. - Welch Wohltat!
Zweistufiges Zufallsexperiment ohne Zurücklegen Übung
-
Bestimme die korrekten Aussagen zum Urnenmodell.
TippsErgebnisse sind die verschiedenen möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments.
Betrachtet man ein oder mehrere Ergebnisse, so nennt man das ein Ereignis.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
- Die verschiedenen Kugeln (meistens durch Farben gekennzeichnet), die gezogen werden können, heißen Ereignisse.
- Betrachtet man während eines Experiments gezogene Kugeln, nennt man diese Ergebnisse.
Diese Aussagen sind wahr:
- Zufallsexperimente kann man immer ins Urnenmodell übersetzen.
- Beim Urnenmodell betrachtet man verschiedene Kugeln, die mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit aus einer Urne gezogen werden.
- Bei einem Zufallsexperiment ohne Zurücklegen kann das Ergebnis des ersten Zuges im zweiten Zug nicht wieder auftauchen.
-
Berechne die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses.
TippsIn einem Baumdiagramm kann man die möglichen Ereignisse eines Zufallsexperiments übersichtlich darstellen.
Hier handelt es sich um ein Zufallsexperiment ohne Zurücklegen. Das bedeutet, dass das Ergebnis der ersten Runde in der zweiten Runde nicht mehr vorkommen kann.
LösungDie Lücken werden wie folgt vervollständigt:
- Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, stellt er das Problem in einem Baumdiagramm dar. Dabei hat jedes der möglichen Ergebnisse eine bestimmte Wahrscheinlichkeit. In der ersten Runde kann die Flasche mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf einen der drei Ritter zeigen. Die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses ist also $\frac{1}{3}$.
- In der zweiten Runde können jeweils die zuvor ausgewählten Ritter nicht mehr drankommen. Es gibt deshalb nur noch zwei gleich wahrscheinliche Auswahlmöglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses beträgt demnach $\frac{1}{2}$.
- Jetzt will Tristan die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass er und Fartolomae zusammen ausgewählt werden. Dazu muss er zuerst die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades ausrechnen. Er verwendet die erste Pfadregel. Sie besagt, dass er die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse entlang des Pfades multiplizieren muss. Hier haben alle Pfade die gleiche Wahrscheinlichkeit, nämlich:
- $P=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$
- In Tristans Fall gibt es zwei mögliche Pfade. Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit dieser beiden Pfade berechnet er mit der zweiten Pfadregel. Sie besagt, dass er die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addieren muss. Die Wahrscheinlichkeit, dass Tristan und Fartolomae zusammen ausgewählt werden, beträgt:
- $P(T,F)=\frac{1}{6} +\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
-
Wende die Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten an.
TippsIn der ersten Runde gibt es ingesamt $10$ Kugeln, davon sind $4$ rot. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit, in der ersten Runde eine rote Kugel zu ziehen, $\frac{4}{10}$.
Achtung: In der zweiten Runde gibt es insgesamt nur noch $9$ Kugeln.
Das Baumdiagramm dieses Zufallexperiments sieht so aus.
Die Bezeichnung der Wahrscheinlichkeiten spiegelt die Reihenfolge der Ziehung wieder. Wird also zuerst eine rote und dann eine blaue Kugel gezogen, nennt man die Wahrscheinlichkeit $P(\text{R},\text{B})$.
LösungDie Wahrscheinlichkeit berechnet sich folgendermaßen:
Es gibt zwei Pfade, in denen eine rote und eine blaue Kugel gezogen wird. Martin kann zum Beispiel zuerst eine rote und dann eine blaue Kugel ziehen. Die Wahrscheinlichkeit dieses Pfades beträgt:
- $P(\text{R},\text{B})=\frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9}=\frac{24}{90}$
Im anderen Pfad zieht Martin zuerst eine blaue und anschließend eine rote Kugel. Die Wahrscheinlichkeit dieses Pfades beträgt:
- $P(\text{B},\text{R})=\frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9}=\frac{24}{90}$
Die Gesamtwahrscheinlichkeit berechnet Martin, indem er die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der beiden Pfade addiert:
- $P(\text{Gesamt})=\frac{24}{90} +\frac{24}{90}=\frac{48}{90}=\frac{8}{15}$
-
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten.
TippsAchtung: In der zweiten Runde gibt es insgesamt eine Kugel weniger.
Hier ist das Baumdiagramm dieses Experiments. Überlege dir die fehlenden Wahrscheinlichkeiten.
Nachdem du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet hast, musst du den Bruch, falls möglich, kürzen.
Beispiel:
$\frac{24}{144}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
LösungUm die Wahrscheinlichkeiten der Pfade zu bestimmen, solltest du zuerst ein Baumdiagramm zeichnen. Daraus kannst du die Wahrscheinlichkeiten der Pfade berechnen. Die erste Wahrscheinlichkeit $P(\text{R},\text{G})$ berechnet sich folgendermaßen:
$P(\text{R},\text{G})=\frac{3}{12} \cdot \frac{4}{11}=\frac{12}{132}$
$P(\text{B},\text{R})+P(\text{R},\text{B})$ berechnet sich aus der Summe von $P(\text{B},\text{R})$ und $P(\text{R},\text{B})$:
$P(\text{B},\text{R})+P(\text{R},\text{B})= \frac{15}{132}+\frac{15}{132}=\frac{30}{132}$
Die Wahrscheinlichkeiten der anderen Pfade kannst du genauso bestimmen. Damit folgt:
- $P(\text{R},\text{G})=\frac{12}{132}=\frac{1}{11}$
- $P(\text{R},\text{R})= \frac{6}{132}=\frac{1}{22}$
- $P(\text{B},\text{B})= \frac{20}{132}=\frac{5}{33}$
- $P(\text{B},\text{R})+P(\text{R},\text{B})= \frac{30}{132}=\frac{5}{22}$
-
Bestimme die korrekten Aussagen zu Baumdiagrammen.
TippsJeder Pfad hat eine Pfadwahrscheinlichkeit, die sich aus den Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse entlang des Pfades berechnet.
Wendet man die zweite Pfadregel an, dann addiert man Wahrscheinlichkeiten.
LösungDiese Aussagen sind wahr:
- Will man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades berechnen, muss man die einzelnen Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren.
- Die Pfadwahrscheinlichkeit berechnet sich aus den Einzelwahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.
- Um die gesamte Wahrscheinlichkeit mehrerer Pfade zu bestimmen, muss man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addieren.
Diese Aussagen sind falsch:
- Will man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades berechnen, muss man die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse entlang des Pfades addieren.
- In einem Baumdiagramm zeichnet man Pfade, die mehrere Pfadwahrscheinlichkeiten besitzen.
-
Erarbeite, wie man Wahrscheinlichkeiten mit dem Gegenereignis bestimmt.
TippsDas Baumdiagramm dieses Zufallsexperiments sieht so aus.
LösungDer Lückentext wird so ausgefüllt:
Um die Wahrscheinlichkeit $P(\text{A})$ zu bestimmen, muss Roland drei Pfade addieren.
Auf dem ersten Pfad $P(\text{R},\text{B})$ zieht er zuerst eine rote und dann eine blaue Kugel.
Auf dem zweiten Pfad $P(\text{B},\text{R})$ zieht er zuerst eine blaue und anschließend eine rote Kugel.
Und auf dem dritten Pfad $P(\text{R},\text{R})$ zieht er zwei rote.Die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade berechnet Roland mit der ersten Pfadregel:
- $P(\text{R},\text{B})=\frac{24}{90}$
- $P(\text{B},\text{R})=\frac{24}{90}$
- $P(\text{R},\text{R})=\frac{12}{90}$
- $P(\text{A})=P(\text{B},\text{R})+P(\text{R},\text{B})+P(\text{R},\text{R})=\frac{24}{90}+\frac{24}{90}+\frac{12}{90}=\frac{60}{90}=\frac{2}{3}$
- $P(\text{B},\text{B})+P(\text{B},\text{R})+P(\text{R},\text{B})+P(\text{R},\text{R})=1$
- $P(\text{B},\text{R})+P(\text{R},\text{B})+P(\text{R},\text{R})=1- P(\text{B},\text{B})$
- $P(\text{A})=1-P(\bar{\text{A}})$
Auf diese Weise kann Roland die Wahrscheinlichkeit ebenfalls berechnen:
- $P(\text{A})=1-P(\text{B},\text{B})=1-\frac{30}{90}= \frac{60}{90}=\frac{2}{3}$
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sofaheld-Level
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wieso so komplizierte namen? :) aber sonst gut ;D
Da ist noch eine weitere Frage zu Nummer 4 aufgekommen. Wieso steht in der Lösung für P(B,R) und (R,B) 15/132 + 15/132. Das macht für mich keinen Sinn, weil sich doch die Anzahl der Kugel senkt wenn ich eine heraus nehme.
Ich habe gerechnet 15/132 + 8/90.
Hi. Kann mir jemand verraten warum da in Aufgabe 4 steht: "P(R,G) bedeutet zum Beispiel das erst eine rote und dann eine blaue Kugel gezogen wurde." Wieso steht da ein G und kein B für blau?