Zweistufige Zufallsexperimente mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge

Zweistufige Zufallsexperimente mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zu Zufallsexperimenten.

  Tipps

  Die Bezeichnung „mit Zurücklegen“ kommt aus dem Urnenmodell, in dem man Kugeln in einer Urne betrachtet: Legt man diese nach dem Ziehen zurück, hat man in jeder Stufe die gleichen Optionen mit den gleichen Wahrscheinlichkeiten zur Verfügung.

  Baumdiagramme sind beim Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten sehr hilfreich: Bevor du bei Zufallsexperimenten mit dem Rechnen beginnst, solltest du dir immer ein Baumdiagramm zeichnen.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  • „Mit Zurücklegen“ bedeutet, dass in jeder Stufe des Experiments unterschiedliche Optionen zur Verfügung stehen.

  Bei Zufallsexperimenten mit Zurücklegen hast du in jeder Stufe des Experiments die gleichen Optionen mit den gleichen Wahrscheinlichkeiten zur Verfügung. Die Bezeichnung „mit Zurücklegen“ kommt aus dem Urnenmodell, in dem man Kugeln in einer Urne betrachtet: Legt man diese nach dem Ziehen zurück, hat man in jeder Stufe die gleichen Optionen mit den gleichen Wahrscheinlichkeiten zur Verfügung.

  • Zweimaliges Würfeln ist ein zweistufiges Zufallsexperiment ohne Zurücklegen.

  Beim zweimaligen Würfeln hat man in beiden Stufen die gleichen Optionen mit den gleichen Wahrscheinlichkeiten zur Verfügung. Es ist also ein zweistufiges Zufallsexperiment mit Zurücklegen.

  Diese Aussagen sind richtig:

  • Zweistufig bedeutet, dass im Experiment genau zwei zufällige Entscheidungen getroffen werden.

  • Ein Baumdiagramm hilft bei der übersichtlichen Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten.

  Baumdiagramme sind beim Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten sehr hilfreich: Bevor du bei mehrstufigen Zufallsexperimenten mit dem Rechnen beginnst, solltest du dir immer ein Baumdiagramm zeichnen.

  • Bei Zufallsexperimenten mit Zurücklegen bleibt die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis in jeder Stufe gleich.

• Bestimme die Wahrscheinlichkeit.

  Tipps

  Die Wahrscheinlichkeiten der Entscheidungen entlang des Pfades kannst du dem Baumdiagramm entnehmen.

  Hier handelt es sich um ein Zufallsexperiment mit Zurücklegen. Das bedeutet, dass du in jeder Stufe die gleichen Optionen mit den gleichen Wahrscheinlichkeiten zur Verfügung hast.

  Lösung

  Die Gesamtwahrscheinlichkeit, im Wassergraben zu landen, berechnet sich wie folgt:

  • Der Pfad $P(\text{L},\text{L})$ führt zum Wassergraben. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Pfad lässt sich mit der ersten Pfadregel berechnen. Diese besagt, dass man die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren muss, um die Pfadwahrscheinlichkeit zu bestimmen.

  • Da er sich an jeder Kreuzung zufällig für einen der beiden Wege entscheidet, ist die Wahrscheinlichkeit, bei der ersten Kreuzung nach links zu gehen, $\frac{1}{2}$. Bei der zweiten Kreuzung entscheidet er sich ebenfalls zufällig. Die Wahrscheinlichkeit ist also wieder $\frac{1}{2}$.

  Die Wahrscheinlichkeiten der Entscheidungen entlang des Pfades kannst du auch dem Baumdiagramm entnehmen. Außerdem handelt es sich hier um ein Zufallsexperiment mit Zurücklegen. Das bedeutet, dass man in jeder Stufe die gleichen Optionen mit den gleichen Wahrscheinlichkeiten zur Verfügung hat.

  • Die Wahrscheinlichkeit, dass Kunibert zweimal nach links geht, kann man also bestimmen durch:

  $P(\text{L},\text{L})=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} =\frac{1}{4}$

  • Biegt er zweimal rechts ab, landet er ebenfalls im Wasser. Die Wahrscheinlichkeit dieses Pfades kann man mit $P(\text{R},\text{R})$ bezeichnen und berechnet sich analog:

  $P(\text{R},\text{R})=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} =\frac{1}{4}$

  • Um die Gesamtwahrscheinlichkeit $P(\text{W})$ zu berechnen, verwendet man die zweite Pfadregel. Diese besagt, dass man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addieren muss. Es ergibt sich also:

  $P(\text{W})=P(\text{R},\text{R})+P(\text{L},\text{L})=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$.

• Ermittle die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

  Tipps

  Dies ist ein Zufallsexperiment mit Zurücklegen. Bei jedem Wurf ist also die Wahrscheinlichkeit für die Ergebnisse Kopf oder Zahl gleich.

  Da die Wahrscheinlichkeit für beide Alternativen genau gleich ist, ergibt sich für beide Pfade die gleiche Wahrscheinlichkeit.

  Das Baumdiagramm für dieses Zufallsexperiment sieht so aus.

  Lösung

  Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich folgendermaßen:

  Es gibt zwei Pfade, in denen je einmal Kopf und einmal Zahl geworfen wird. Es kann zum Beispiel zuerst Kopf und dann Zahl fallen. Die Wahrscheinlichkeit dieses Pfades beträgt:

  $P(\text{K},\text{Z})=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

  Da es sich hierbei um ein Zufallsexperiment mit Zurücklegen handelt, ist bei jedem Wurf die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis Kopf oder Zahl gleich. Im anderen Pfad fällt zuerst Zahl und anschließend Kopf. Die Wahrscheinlichkeit dieses Pfades berechnet sich zu:

  $P(\text{Z},\text{K})=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

  Die Gesamtwahrscheinlichkeit erhalten wir, indem wir die Wahrscheinlichkeiten der beiden Pfade addieren:

  $P(\text{Gesamt})=\frac{1}{4} +\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

  Gesamtwahrscheinlichkeiten berechnest du mit der zweiten Pfadregel. Diese besagt, dass du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addieren musst, um die Gesamtwahrscheinlichkeit zu erhalten.

• Bestimme die Wahrscheinlichkeiten.

  Tipps

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kannst du mit der ersten Pfadregel bestimmen. Sie besagt, dass du alle Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren musst.

  So sieht das Baumdiagramm für dieses Zufallsexperiment aus.

  Nachdem du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet hast, musst du den Bruch, falls möglich, kürzen.

  Beispiel:

  $\frac{24}{144}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$

  Lösung

  Um die Wahrscheinlichkeiten der Pfade zu bestimmen, solltest du zuerst ein Baumdiagramm zeichnen. Daraus kannst du die Wahrscheinlichkeiten der Pfade berechnen. Die erste Wahrscheinlichkeit $P(\text{R},\text{G})$ berechnet sich folgendermaßen:

  $P(\text{R},\text{G})=\frac{3}{12} \cdot \frac{4}{12}=\frac{12}{144}=\frac{1}{12}$

  $P(\text{B},\text{R})+P(\text{R},\text{B})$ berechnet sich aus der Summe von $P(\text{B},\text{R})$ und $P(\text{R},\text{B})$.

  $P(\text{B},\text{R})+P(\text{R},\text{B})= \frac{15}{144}+\frac{15}{144}=\frac{30}{144}=\frac{5}{24}$

  Die Wahrscheinlichkeiten der anderen Pfade kannst du auch so bestimmen. Damit folgt:

  • $P(\text{R},\text{G})=\frac{1}{12}$

  • $P(\text{R},\text{R})= \frac{1}{16}$

  • $P(\text{B},\text{B})= \frac{25}{144}$

  • $P(\text{B},\text{R})+P(\text{R},\text{B})= \frac{5}{24}$

• Bestimme die korrekten Aussagen zu Baumdiagrammen.

  Tipps

  Jeder Pfad hat eine Pfadwahrscheinlichkeit, die man aus allen Wahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades berechnet.

  Die zweite Pfadregel wird zum Bestimmen der Gesamtwahrscheinlichkeit mehrerer Pfade genutzt. Sie besagt, dass man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addieren muss.

  Lösung

  Diese Aussagen sind wahr:

  • Möchte man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades berechnen, muss man die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse entlang des Pfades multiplizieren.

  • Die Pfadwahrscheinlichkeit berechnet sich aus den einzelnen Wahrscheinlichkeiten der gewählten Abzweigungen an den Knoten des Pfades.

  Um die Wahrscheinlichkeit eines Pfades (Pfadwahrscheinlichkeit) zu bestimmen, nutzt man die erste Pfadregel. Diese besagt, dass man die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren muss.

  • Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu bestimmen, muss man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addieren.

  Die zweite Pfadregel wird zum Bestimmen der Gesamtwahrscheinlichkeit mehrerer Pfade genutzt. Sie besagt, dass man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addieren muss.

  Diese Aussagen sind falsch:

  • Möchte man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades berechnen, muss man die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse entlang des Pfades addieren.

  • In einem Baumdiagramm zeichnet man Pfade, die mehrere Pfadwahrscheinlichkeiten besitzen.

  Jeder Pfad hat nur eine Pfadwahrscheinlichkeit, die sich aus den Wahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades berechnet.

• Bestimme eine Wahrscheinlichkeit mit dem Gegenereignis.

  Tipps

  Das Baumdiagramm dieses Zufallsexperiments sieht so aus.

  Lösung

  • Um die Wahrscheinlichkeit $P(\text{A})$ zu bestimmen, muss sie drei Pfade addieren. Auf dem ersten Pfad $P(\text{R},\text{G})$ zieht Sabine zuerst eine rote und dann eine grüne Kugel. Auf dem zweiten Pfad $P(\text{G},\text{R})$ zieht sie zuerst eine grüne und anschließend eine rote Kugel und auf dem dritten Pfad $P(\text{R},\text{R})$ zwei rote.

  • Die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade berechnet sie mit der ersten Pfadregel zu:

  $P(\text{R},\text{G})=\frac{21}{100}$

  $P(\text{G},\text{R})=\frac{21}{100}$

  $P(\text{R},\text{R})=\frac{9}{100}$

  Nach der ersten Pfadregel musst du alle Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren, um die Pfadwahrscheinlichkeit zu erhalten.

  • Mit der zweiten Pfadregel bestimmt sie die Gesamtwahrscheinlichkeit:

  $P(\text{A})=P(\text{R},\text{G})+P(\text{G},\text{R})+P(\text{R},\text{R})=\frac{21}{100}+\frac{21}{100}+\frac{9}{100}=\frac{51}{100}$

  • In der Schule hat Sabine gelernt, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit aller Pfade eins ergeben muss:

  $P(\text{G},\text{G})+P(\text{R},\text{G})+P(\text{G},\text{R})+P(\text{R},\text{R})=1$

  • Oder umgeformt:

  $P(\text{R},\text{G})+P(\text{G},\text{R})+P(\text{R},\text{R})=1-P(\text{G},\text{G})$

  In der Wahrscheinlichkeitsrechnung gilt:

  $P(\text{A})=1-P(\bar{\text{A}})$

  Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\text{A}$ ist gleich eins minus der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $\bar{\text{A}}$. Das Gegenereignis $\bar{\text{A}}$ enthält dabei alle Ereignisse, die nicht in $\text{A}$ enthalten sind.

  • Die rechte Seite der Gleichung ergibt:

  $P(\text{A})=1-P(\text{G},\text{G})=1-\frac{49}{100}= \frac{51}{100}$.

  Man nennt diese Art der Rechnung auch Rechnen mit der Gegenwahrscheinlichkeit. Sie ist hilfreich, wenn man die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis berechnen will, zu dem mehr als die Hälfte der Pfade gehören.