Wurzelgleichungen – Übung

Rechenweg:

$$ \begin{array}{rcll} \sqrt{x + 7} & = & 5 & | (~)^2 \\ &&& \\ (\sqrt{x + 7})^2 & = & 5^2 & \\ &&& \\ x + 7 & = & 25 & | -7 \\ &&& \\ x & = & 18 & \end{array} $$

Probe:

Setze $x = 18$ in die Ausgangsgleichung ein:

$$ \sqrt{18 + 7} = \sqrt{25} = 5 $$

Da die Ausgangsgleichung erfüllt ist, ist die Lösung korrekt.

Lösung:

Die Lösung der Gleichung ist $x = 18$.

Rechenweg:

$$ \begin{array}{rcll} \sqrt{x - 4} & = & 6 & | (~)^2 \\ &&& \\ (\sqrt{x - 4})^2 & = & 6^2 & \\ &&& \\ x - 4 & = & 36 &| +4 \\ &&& \\ x & = & 40 & \end{array} $$

Probe:

Setze $x = 40$ in die Ausgangsgleichung ein:

$$ \sqrt{40 - 4} = \sqrt{36} = 6 $$

Da die Ausgangsgleichung erfüllt ist, ist die Lösung korrekt.

Lösung:

Die Lösung der Gleichung ist $x = 40$.

Rechenweg:

$$ \begin{array}{rcll} \sqrt{x - 9} & = & 8 \quad& | (~)^2 \\ &&& \\ (\sqrt{x - 9})^2 & = & 8^2 & \\ &&& \\ x - 9 & = & 64 \quad& | +9 \\ &&& \\ x & = & 73& \end{array} $$

Probe:

Setze $x = 73$ in die Ausgangsgleichung ein:

$$ \sqrt{73 - 9} = \sqrt{64} = 8 $$

Da die Ausgangsgleichung erfüllt ist, ist die Lösung korrekt.

Lösung:

Die Lösung der Gleichung ist $x = 73$.

Rechenweg:

Quadriere beide Seiten der Gleichung, um die Wurzel zu eliminieren:
$$\left(\sqrt{x+5}\right)^2 = (x-1)^2$$
Es ergibt sich:
$$x+5 = x^2 - 2x + 1$$
Forme die Gleichung um, sodass sie in der Form $0 = ax^2 + bx + c$ vorliegt:
$$0 = x^2 - 3x - 4$$
Faktorisieren:
$$0 = (x-4)(x+1)$$
Die Nullstellen sind $x_1 = 4$ und $x_2 = -1$. Prüfe beide Lösungen in der Ausgangsgleichung.

Probe für $x_1 = 4$:
Setze $x = 4$ in die Ausgangsgleichung ein:
$$\sqrt{4+5} = 4 - 1$$
Es ergibt sich:
$$\sqrt{9} = 3$$ Das ist wahr, da $3 = 3$ ergibt.

Probe für $x_2 = -1$:
Setze $x = -1$ in die Ausgangsgleichung ein:
$$\sqrt{-1+5} = -1 - 1$$
Es ergibt sich:
$$\sqrt{4} = -2$$
Die Gleichung ist nicht korrekt, da $2 \neq -2$ ist.

Lösung:

Die Lösung der Gleichung ist $x = 4$.

Rechenweg:

Quadriere beide Seiten der Gleichung, um die Wurzel zu eliminieren:
$$\left(\sqrt{3x + 7}\right)^2 = (x + 1)^2$$
Es ergibt sich:
$$3x + 7 = x^2 + 2x + 1$$
Forme die Gleichung um, sodass sie in der Form $0 = ax^2 + bx + c$ vorliegt:
$$0 = x^2 - x - 6$$
Faktorisieren:
$$0 = (x-3)(x+2)$$
Die Nullstellen sind $x_1 = 3$ und $x_2 = -2$. Prüfe beide Lösungen in der Ausgangsgleichung.

Probe für $x_1 = 3$:
Setze $x = 3$ in die Ausgangsgleichung ein:
$$\sqrt{3 \cdot 3 + 7} = 3 + 1 \ \sqrt{9 + 7} = 4$$
$$\sqrt{16} = 4$$ Die Gleichung ist wahr, da $4 = 4$ ist.

Probe für $x_2 = -2$:
Setze $x = -2$ in die Ausgangsgleichung ein:
$$\sqrt{3 \cdot (-2) + 7} = -2 + 1 \ \sqrt{-6 + 7} = -1$$ $$\sqrt{1} = -1$$ Die Gleichung ist nicht korrekt, da $1 \neq -1$ ist.

Lösung:

Die Lösung der Gleichung ist $x = 3$.

Rechenweg:
Setze die Gleichung gleich Null:
$$ \sqrt{x - 5} - 6 = 0 $$ Addiere $6$ auf beiden Seiten, sodass $ \sqrt{x - 5} = 6 $ entsteht. Quadriere dann beide Seiten und erhalte $ x - 5 = 36 $. Addiere $5$, sodass $ x = 41 $ folgt.

Probe:
Setze $ x = 41 $ in die Ausgangsgleichung ein:
$$ \sqrt{41 - 5} - 6 = \sqrt{36} - 6 = 6 - 6 = 0 $$
Da die Gleichung erfüllt ist, ist die Lösung korrekt.

Lösung:
Die Funktion hat eine Nullstelle bei $ x = 41 $.

Rechenweg:
Setze die Gleichung gleich Null:
$$ \sqrt{\frac{x}{4} + 2} - 5 = 0 $$
Addiere $5$ auf beiden Seiten, sodass $ \sqrt{\frac{x}{4} + 2} = 5 $ entsteht. Quadriere dann beide Seiten und erhalte $ \frac{x}{4} + 2 = 25 $. Subtrahiere $2$, sodass $ \frac{x}{4} = 23 $ folgt. Multipliziere mit $4$, um $ x = 92 $ zu erhalten.

Probe:
Setze $ x = 92 $ in die Ausgangsgleichung ein:
$$ \sqrt{\frac{92}{4} + 2} - 5 = \sqrt{23 + 2} - 5 = \sqrt{25} - 5 = 5 - 5 = 0 $$
Da die Gleichung erfüllt ist, ist $x=92$ eine Lösung der Gleichung.

Lösung:
Die Funktion hat eine Nullstelle bei $ x = 92 $.

Rechenweg:
Setze die Gleichung gleich Null:
$$ \sqrt{x - 8} - 7 = 0 $$
Addiere $7$ auf beiden Seiten, sodass $ \sqrt{x - 8} = 7 $ entsteht. Quadriere dann beide Seiten und erhalte $ x - 8 = 49 $. Addiere $8$, sodass $ x = 57 $ folgt.

Probe:
Setze $ x = 57 $ in die Ausgangsgleichung ein:
$$ \sqrt{57 - 8} - 7 = \sqrt{49} - 7 = 7 - 7 = 0 $$
Da die Gleichung erfüllt ist, ist die Lösung korrekt.

Lösung:
Die Funktion hat eine Nullstelle bei $ x = 57 $.

Rechenweg:
Setze die Gleichung gleich Null:
$$ \sqrt{\frac{x}{5} + 3} - 6 = 0 $$
Addiere $6$ auf beiden Seiten, sodass $ \sqrt{\frac{x}{5} + 3} = 6 $ entsteht. Quadriere dann beide Seiten und erhalte $ \frac{x}{5} + 3 = 36 $. Subtrahiere $3$, sodass $ \frac{x}{5} = 33 $ folgt. Multipliziere mit $5$, um $ x = 165 $ zu erhalten.

Probe:
Setze $ x = 165 $ in die Ausgangsgleichung ein:
$$ \sqrt{\frac{165}{5} + 3} - 6 = \sqrt{33 + 3} - 6 = \sqrt{36} - 6 = 6 - 6 = 0 $$
Da die Gleichung erfüllt ist, ist die Lösung korrekt.

Lösung:
Die Funktion hat eine Nullstelle bei $ x = 165 $.

Rechenweg:
Setze die Gleichung gleich Null:
$$ \sqrt{x - 6} - 9 = 0 $$
Addiere $9$ auf beiden Seiten, sodass $ \sqrt{x - 6} = 9 $ entsteht. Quadriere dann beide Seiten und erhalte $ x - 6 = 81 $. Addiere $6$, sodass $ x = 87 $ folgt.

Probe:
Setze $ x = 87 $ in die Ausgangsgleichung ein:
$$ \sqrt{87 - 6} - 9 = \sqrt{81} - 9 = 9 - 9 = 0 $$
Da die Gleichung erfüllt ist, ist die Lösung korrekt.

Lösung:
Die Funktion hat eine Nullstelle bei $ x = 87 $.

Rechenweg:

Setze die Funktionsterme gleich und quadriere beide Seiten:

$$\begin{array}{rcl} \sqrt{x + 2} &=& 4 - x \\ && \\ (\sqrt{x + 2})^2 &=& (4 - x)^2 \end{array}$$

Entferne die Wurzel und entwickle die binomische Formel:

$$\begin{array}{rcl} x + 2 &=& 16 - 8x + x^2 \end{array}$$

Bringe alle Terme auf eine Seite:

$$x^2 - 9x + 14 = 0$$

Faktorisieren der Gleichung:

$$(x - 7) \cdot (x - 2) = 0$$

Setze jeden Faktor einzeln gleich null:

$$x_1 = 7, \quad x_2 = 2$$

Probe:

Setze $x = 7$ ein:

$$\begin{array}{rcl} \sqrt{7 + 2} &=& 4 - 7 \\ && \\ \sqrt{9} &=& -3 \\ && \\ 3 &\neq& -3 \end{array}$$

Da die Gleichung nicht erfüllt ist, ist $x = 7$ keine gültige Lösung.

Setze $x = 2$ ein:

$$\begin{array}{rcl} \sqrt{2 + 2} &=& 4 - 2 \\ && \\ \sqrt{4} &=& 2 \\ && \\ 2 &=& 2 \end{array}$$

Die Gleichung ist erfüllt.

Berechne den $y$-Wert:

$$y = g(2) = 4 - 2 = 2$$

Lösung:

Der Schnittpunkt ist $ (2,2) $.

Rechenweg:

Setze die Funktionsterme gleich und quadriere beide Seiten, um die Wurzel zu beseitigen:

$$\begin{array}{rcl} (\sqrt{x + 4})^2 &=& (x - 2)^2 \\ && \\ x + 4 &=& x^2 - 4x + 4 \end{array}$$

Bringe alle Terme auf eine Seite, um eine quadratische Gleichung zu erhalten:

$$x^2 - 5x = 0$$

Faktorisieren der Gleichung:

$$x \cdot (x - 5) = 0$$

Die Lösungen erhält man, indem man die einzelnen Faktoren gleich null setzt:

$$x_1 = 0, \quad x_2 = 5$$

Probe:

Setze $x = 0$ ein:

$$\begin{array}{rcl} \sqrt{0 + 4} &=& 0 - 2 \\ && \\ 2 &\neq& -2 \end{array}$$

Da die Gleichung nicht erfüllt ist, ist $x = 0$ keine gültige Lösung.

Setze $x = 5$ ein:

$$\begin{array}{rcl} \sqrt{5 + 4} &=& 5 - 2 \\ && \\ 3 &=& 3 \end{array}$$

Die Gleichung ist erfüllt.

Berechne den $y$-Wert:

$$y = g(5) = 5 - 2 = 3$$

Lösung:

Der Schnittpunkt ist $ (5,3) $.

Rechenweg:

Setze die Funktionsterme gleich und quadriere beide Seiten:

$$\begin{array}{rcl} (\sqrt{2x + 2})^2 &=& (x + 1)^2 \\ && \\ 2x + 2 &=& x^2 + 2x + 1 \end{array}$$

Die Terme $2x$ auf beiden Seiten kürzen sich heraus. Um eine quadratische Gleichung zu erhalten, bringe alle Terme auf eine Seite:

$$x^2 - 1 = 0$$

Faktorisieren:

$$(x - 1) \cdot (x + 1) = 0$$

Setze jeden Faktor einzeln gleich null, um die Lösungen zu bestimmen:

$$x_1 = 1, \quad x_2 = -1$$

Probe:

Setze $x = 1$ ein:

$$\begin{array}{rcl} \sqrt{2 \cdot 1 + 2} &=& 1 + 1 \\ && \\ \sqrt{4} &=& 2 \\ && \\ 2 &=& 2 \end{array}$$

Die Gleichung ist erfüllt.

Setze $x = -1$ ein:

$$\begin{array}{rcl} \sqrt{2 \cdot (-1) + 2} &=& -1 + 1 \\ && \\ \sqrt{0} &=& 0 \\ && \\ 0 &=& 0 \end{array}$$

Die Gleichung ist erfüllt.

Berechne die $y$-Werte:

$$y_1 = g(1) = 1 + 1 = 2 \\ ~ \\ y_2 = g(-1) = -1 + 1 = 0$$

Lösung:

Die Schnittpunkte sind $ (1,2) $ und $ (-1,0) $.

Rechenweg:

Setze die Funktionsterme gleich und quadriere beide Seiten:

$$\begin{array}{rcl} x + 1 &=& (5 - x)^2 \\ && \\ x + 1 &=& 25 - 10x + x^2 \end{array}$$

Bringe alle Terme auf eine Seite:

$$x^2 - 11x + 24 = 0$$

Die quadratische Gleichung wird durch Faktorisieren gelöst:

$$(x - 8) \cdot (x - 3) = 0$$

Setze jeden Faktor einzeln gleich null:

$$x_1 = 8, \quad x_2 = 3$$

Probe:

Setze $x = 8$ ein:

$$\begin{array}{rcl} \sqrt{8 + 1} &=& 5 - 8 \\ && \\ \sqrt{9}&=& -3 \\ && \\ 3 &\neq& -3 \end{array}$$

Da die Gleichung nicht erfüllt ist, ist $x = 8$ keine gültige Lösung.

Setze $x = 3$ ein:

$$ \begin{array}{rcl} \sqrt{3 + 1} &=& 5 - 3 \\ && \\ \sqrt{4} &=& 2 \\ && \\ 2 &=& 2 \end{array}$$

Die Gleichung ist erfüllt.

Berechne den $y$-Wert:

$$y = g(3) = 5 - 3 = 2$$

Lösung:

Der Schnittpunkt ist $ (3,2) $.

Rechenweg:

Setze die Funktionsterme gleich und quadriere beide Seiten:

$$\begin{array}{rcl} x + 4 &=& (8 - x)^2 \\ && \\ x + 4 &=& 64 - 16x + x^2 \end{array}$$

Bringe alle Terme auf eine Seite:

$$x^2 - 17x + 60 = 0$$

Faktorisieren der Gleichung:

$$(x - 12) \cdot (x - 5) = 0$$

Setze jeden Faktor einzeln gleich null:

$$x_1 = 12, \quad x_2 = 5$$

Probe:

Setze $x = 12$ ein:

$$\begin{array}{rcl} \sqrt{12 + 4} &=& 8 - 12 \\ && \\ \sqrt{16} &=& -4 \\ && \\ 4 &\neq& -4 \end{array}$$

Da die Gleichung nicht erfüllt ist, ist $x = 12$ keine gültige Lösung.

Setze $x = 5$ ein:

$$\begin{array}{rcl} \sqrt{5 + 4} &=& 8 - 5 \\ && \\ \sqrt{9} &=& 3 \\ && \\ 3 &=& 3 \end{array}$$

Die Gleichung ist erfüllt.

Berechne den $y$-Wert:

$$y = g(5) = 8 - 5 = 3$$

Lösung:

Der Schnittpunkt ist $ (5,3) $.