Wurzelgleichungen – Übung

Wurzelgleichungen – Übung Übung

• Beschreibe, wie die Wurzelgleichung gelöst wird.

  Tipps

  Was ist die Umkehrung der Quadratwurzel?

  Führe nach dem Quadrieren Äquivalenzumformungen durch.

  Vergiss nicht, dass du eine Probe durchführen musst, da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist.

  Lösung

  Es soll die Gleichung $\sqrt{3x+6}=3$ gelöst werden:

  • Zunächst wird auf beiden Seiten quadriert, was zu

  $3x+6=9$ führt.

  • Nun wird $6$ subtrahiert:

  $3x=3$.

  • Die Division durch $3$ führt zu

  $x=1$.

  Da beim Lösen dieser Gleichung quadriert wurde und dies keine Äquivalenzumformung ist, muss eine Probe durchgeführt werden:

  $\sqrt{3\cdot 1+6}=3\Leftrightarrow\sqrt9=3~\surd$.

  Die Lösungsmenge ist dann $\mathbb{L}=\{1\}$.

• Gib zu jeder der Gleichungen die Lösungsmenge an.

  Tipps

  Quadriere zunächst jede Gleichung und löse dann die resultierende Gleichung.

  Da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, muss eine Probe durchgeführt werden.

  Wenn diese Probe nicht erfüllt wird, ist die Gleichung nicht lösbar.

  Wenn eine Gleichung unlösbar ist, so ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{ ~ \}$.

  Lösung

  Bei jeder der folgenden Gleichungen wird wie folgt vorgegangen:

  • es wird auf beiden Seiten quadriert,
  • die resultierende Gleichung, ohne Wurzel, wird gelöst und
  • die Lösung wird zur Probe in der Ausgangsgleichung eingesetzt.

  • $\sqrt x=-3$

  $\begin{align*} \sqrt x&=-3&|&(~)^2\\ x&=9. \end{align*}$

  Probe: $\sqrt 9=-3\Leftrightarrow 3=-3$. Dies ist eine falsche Aussage.

  Somit ist $\mathbb{L}=\{ ~ \}$.

  • $\sqrt{6x-2}=2$

  $\begin{align*} \sqrt{6x-2}&=2&|&(~)^2\\ 6x-2&=4&|&+2\\ 6x&=6&|&:6\\ x&=1. \end{align*}$

  Probe: $\sqrt{6\cdot 1-2}=2\Leftrightarrow\sqrt4=2~\surd$.

  Somit ist $\mathbb{L}=\{1\}$.

  • $3\sqrt{5x+1}=12$

  $\begin{align*} 3\sqrt{5x+1}&=12&|&:3\\ \sqrt{5x+1}&=4&|&(~)^2\\ 5x+1&=16&|&-1\\ 5x&=15&|&:5\\ x&=3. \end{align*}$

  Probe: $3\sqrt{5\cdot 3+1}=12\Leftrightarrow 3\sqrt{16}=12~\surd$.

  Somit ist $\mathbb{L}=\{3\}$.

  • $2\sqrt{4x-3}=2\sqrt{x+6}$

  $\begin{align*} 2\sqrt{4x-3}&=2\sqrt{x+6}&|&(~)^2\\ 4(4x-3)&=4(x+6)&|&\\ 16x-12&=4x+24&|&-4x+12\\ 12x&=36&|&:12\\ x&=3. \end{align*}$

  Probe: $2\sqrt{4\cdot 3-3}=2\sqrt{3+6}\Leftrightarrow2\sqrt9=2\sqrt9~\surd$.

  Somit ist $\mathbb{L}=\{3\}$.

• Leite die Lösung der Gleichung her.

  Tipps

  Forme die Gleichung erst einmal so um, dass der Wurzelterm alleine steht, bevor du quadrierst.

  Durch das Quadrieren erhältst du eine quadratische Gleichung der Form $x^2+bx$. Du kannst $x$ ausklammern.

  Die quadratische Gleichung hat $2$ Lösungen. Eine von diesen löst auch die Ausgangsgleichung, die andere nicht.

  Lösung

  Zur Lösung der Gleichung $\sqrt{3x+36}+x=2(x-3)$ wird auf beiden Seiten $x$ subtrahiert und dann quadriert. Durch Umformungen erhält man eine quadratische Gleichung. Durch Ausklammern von $x$ können die beiden Lösungen abgelesen werden:

  $\begin{align*} \sqrt{3x+36}+x&=2(x-3)&|&-x\\ \sqrt{3x+36}&=x-6&|&(~)^2\\ 3x+36&=(x-6)^2\\ 3x+36&=x^2-12x+36&|&-3x-36\\ 0&=x^2-15x\\ 0&=x(x-15)\\ x_1&=0\\ x_2&=15. \end{align*}$

  Da quadriert wurde, muss eine Probe durchgeführt werden:

  • $x_1=0$: $\sqrt{3\cdot 0+36}+0=2(0-3)\Leftrightarrow\sqrt{36}=-6$, dies ist eine falsche Aussage.
  • $x_2=15$: $\sqrt{3\cdot 15+36}+15=2(15-3)\Leftrightarrow \sqrt{81}+15=2\cdot 12~\surd$.

  Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{15\}$.

• Prüfe, ob die Gleichung für jeden Parameter $a$ lösbar ist.

  Tipps

  Gehe so vor, wie bei einer Wurzelgleichung ohne Parameter. Die Gleichung soll nach $x$ umgestellt werden:

  • Quadriere auf beiden Seiten,
  • löse die resultierende Gleichung und
  • mach die Probe.

  Die Probe liefert eine wahre Aussage in Abhängigkeit von dem Parameter.

  Bedenke, dass $|a|=a$ nur für $a\ge0$ gilt.

  Lösung

  Die Wurzelgleichung mit Parameter $\sqrt{x+a^2-1}=a$ soll gelöst werden. Man kann diese so behandeln, als ob statt des Parameters eine Zahl dort stünde:

  $\begin{align*} \sqrt{x+a^2-1}&=a&|&(~)^2\\ x+a^2-1&=a^2&|&-a^2\\ x-1&=0&|&+1\\ x&=1. \end{align*}$

  Ob, dieses $=1$ tatsächlich die Gleichung löst, kann man durch eine Probe feststellen:

  $\sqrt{1+a^2-1}=a\Leftrightarrow\sqrt{a^2}=a\Leftrightarrow|a|=a$. Diese Gleichheit gilt jedoch nur für $a\ge0$.

  Man kann dies auch bereits an der Ausgangsgleichung sehen: Wenn $a<0$ ist, so steht auf der linken Seite eine Wurzel, welche immer positiv ist, und auf der rechten Seite eine negative Zahl. Eine solche Gleichung ist nicht lösbar.

  Das bedeutet, dass die obige Gleichung nur lösbar ist, wenn $a\ge0$. Die Lösungsmenge ist dann $\mathbb{L}=\{1\}$.

• Bestimme die Lösung der Gleichung.

  Tipps

  Die Umkehrung vom Wurzel-Ziehen ist das Potenzieren.

  Beachte, dass Potenzieren keine Äquivalenzumformung ist.

  Äquivalenzumformungen ändern nichts an der Lösbarkeit einer Gleichung.

  Lösung

  Um die Wurzelgleichung $\sqrt x=5$ zu lösen, muss auf beiden Seiten quadriert werden:

  $x=25$.

  Da Quadrieren jedoch keine Äquivalenzumformung ist, muss eine Probe durchgeführt werden:

  $\sqrt{25}=5$ $\surd$.

  Die Lösungsmenge ist somit $\mathbb{L}=\{25\}$.

• Untersuche die Gleichung auf Lösbarkeit und gib die Lösungsmenge an.

  Tipps

  Forme die Gleichung zunächst so um, dass der Wurzelterm auf einer Seite alleine steht.

  Quadriere dann die Gleichung und forme um. Du erhältst eine quadratische Gleichung.

  Löse die quadratische Gleichung mit der p-q-Formel.

  Eine der Lösungen ist $3$. Diese liegt jedoch nicht in der Lösungsmenge.

  Lösung

  Da bei der Gleichung $\sqrt{8x+1}+2x=4x-11$ der Wurzelterm noch nicht alleine steht, muss zunächst $2x$ subtrahiert werden zu

  $\sqrt{8x+1}=2x-11$.

  Nun kann quadriert werden:

  $\begin{align*} \sqrt{8x+1}&=2x-11&|&(~)^2\\ 8x+1&=(2x-11)^2\\ 8x+1&=4x^2-44x+121&|&-8x-1\\ 0&=4x^2-52x+120&|&:4\\ 0&=x^2-13x+30. \end{align*}$

  Unter Verwendung der p-q-Formel erhält man

  $\begin{align*} x_{1,2}&=-\frac{-13}2±\sqrt{\left(\frac{-13}2\right)^2-30}\\ &=6,5±3,5\\ x_1&=6,5+3,5=10\\ x_2&=6,5-3,5=3. \end{align*}$

  Beide $x$ Werte müssen zur Probe in der Ausgangsgleichung eingesetzt werden:

  • $x_1=10$: $\sqrt{8\cdot 10+1}+2\cdot 10=4\cdot 10-11\Leftrightarrow\sqrt{81}+20=40-11~\surd$.
  • $x_2=3$: $\sqrt{8\cdot 3+1}+2\cdot 3=4\cdot 3-11\Leftrightarrow 25+6=12-11$, dies ist eine falsche Aussage.

  Damit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{10\}$.