Wurzelgleichungen lösen

Wurzelgleichungen lösen Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zu Wurzelgleichungen.

  Tipps

  Eine Umkehroperation ist die mathematische Operation, die du auf eine andere Operation anwenden kannst, um deinen ursprünglichen Wert zu erhalten.

  Die Umkehroperation von „mit $3$ multiplizieren“ ist „durch $3$ teilen“. Denn: $\frac{3 x}{3}=x$.

  $\sqrt{9}$ hat die Lösungen $-3$ und $3$, denn beide Zahlen ergeben mit sich selbst multipliziert $9$.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Die Umkehroperation der Quadratwurzel ist die Multiplikation mit einer Konstante.“

  Eine Umkehroperation ist die mathematische Operation, die du auf eine andere Operation anwenden kannst, um deinen ursprünglichen Wert zu erhalten. Die Umkehroperation der Quadratwurzel ist Quadrieren. Denn es gilt: $\sqrt{x}^2=x$

  „Ziehst du die Quadratwurzel einer Zahl, ergibt sich immer genau eine Lösung.“

  Eine Quadratwurzel hat oft zwei reelle Lösungen. Zum Beispiel hat $\sqrt{9}$ die Lösungen $-3$ und $3$, denn beide Zahlen ergeben mit sich selbst multipliziert $9$.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „ Um eine Wurzelgleichung zu lösen, solltest du, soweit möglich, zuerst die Variablen unter dem Wurzelzeichen isolieren.“

  „Enthält deine Gleichung nur eine Variable unter einer Wurzel, kannst du die Variable isolieren, indem du durch Rechenoperationen alle Zahlen auf die andere Seite des Gleichheitszeichens verschiebst.“

  Das ist eine gute Strategie beim Lösen von Wurzelgleichungen.

  „Quadrieren ist die Umkehroperation der Quadratwurzel.“

• Bestimme die Ergebnisse der Wurzelgleichungen.

  Tipps

  Beim Rechnen mit Wurzelgleichungen solltest du die Wurzel zuerst so weit wie möglich isolieren, bevor du quadrierst.

  Steht unter der Wurzel nicht nur eine Variable, sondern ein Term mit Variable (z.B. $\sqrt{3x+4}$), musst du zuerst quadrieren, um mit dem Term rechnen zu können ($\sqrt{3x+4}^2= 3x+4$).

  Lösung

  Den Lückentext kannst du so vervollständigen:

  „(...) Als ersten Schritt dividiert er durch $2$ und quadriert anschließend die Gleichung. Dann erhält er:

  $4=\frac{x}{3}$

  Durch Multiplikation mit $3$ erhält er seine Lösung:

  $x=12$“

  • In dieser Gleichung musst du die Wurzel zuerst isolieren, bevor du quadrieren kannst.

  „Die nächste Gleichung auf seiner Liste lautet:

  $\sqrt{5x-11}=\sqrt{x+9}$

  Hier quadriert er zuerst:

  $5x-11=x+9$

  Anschließend löst er die Gleichung auf, indem er mit $11$ addiert und $x$ subtrahiert.

  $4x=20$

  Nach einer Division durch $4$ erhält er:

  $x=5$“

  • Hier besteht die ursprüngliche Gleichung bereits aus zwei Wurzeln. Um mit den Werten unter der Wurzel rechnen zu können, musst du zuerst quadrieren.

  „Die letzte Gleichung

  $x=\sqrt{2x+8}$

  (...) quadriert er zuerst.

  $x^2 = 2x + 8$

  Dann schreibt er die quadratische Gleichung in die Normalform um:

  $0=x^2 -2x-8$

  Anschließend löst er die Gleichung durch Faktorisierung und erhält:

  $0=(x-4) \cdot (x+2)$

  Die Gleichung hat also die Lösungen $x_1=-2$ und $x_2=4$.“

  • Auch hier musst du zuerst quadrieren, damit du mit den Zahlen unter der Wurzel rechnen kannst. Dabei entsteht eine quadratische Gleichung, die hier durch Faktorisieren gelöst wird. Du könntest aber auch die Mitternachts- oder $p-q$-Formel anwenden.

• Ermittle die Lösung der Gleichungen.

  Tipps

  Du kannst die Lösungen zuordnen, indem du die Wurzelgleichungen löst. Dazu musst du zuerst den Wurzelterm isolieren, also auf eine Seite der Gleichung bringen. Anschließend quadrierst du und löst nach $x$ auf.

  Lösung

  Du kannst die Lösungen zuordnen, indem du die Wurzelgleichungen löst. Dazu musst du zuerst den Wurzelterm isolieren, also auf eine Seite der Gleichung bringen. Anschließend quadrierst du und löst nach $x$ auf. Zum Beispiel erhältst du für:

  $\begin{array}{rcll} -\sqrt{x}-4&=&\sqrt{x} +2 &\vert + \sqrt{x} \\ -4&=&2\sqrt{x} +2 &\vert -2 \\ -6&=&2\sqrt{x} &\vert :2 \\ -3&=&\sqrt{x} &\vert ()^2 \\ 9&=&x\\ \end{array}$

  Ähnlich kannst du die anderen Gleichungen berechnen. Dann erhältst du:

  • Die Lösung zu $\sqrt{3x}-4=-1$ lautet $x=3$.

  • $x=4$ löst die Gleichung $\sqrt{x}-6=-4$.

  • Die Gleichung $\sqrt{x-3}=\sqrt{4x}$ wird durch $x=1$ gelöst.

  • $-\sqrt{x}-4=\sqrt{x} +2$ ergibt $x=9$.

• Ermittle die Lösung der Gleichungen.

  Tipps

  Die Gleichung $x^2-2x-8=0$ kannst du folgendermaßen faktorisieren:

  Betrachte den Faktor vor dem $x$ (in diesem Fall $-2$) und die Zahl, die alleine steht (hier $-8$). Jetzt musst du überlegen, welche beiden Zahlen addiert $-2$ ergeben, und gleichzeitig zu $-8$ multiplizieren. Das funktioniert nur für die Zahlen $-4$ und $2$. Denn $-4+2=-2$ und $-4 \cdot 2=8$. Hier ergibt sich also

  $0=x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$

  Diese Gleichung hat die Lösungen $x_1=4$ und $x_2=-2$, denn wenn du eine dieser beiden Zahlen in die Gleichung einsetzt, verschwindet sie.

  So kannst du die Lösungen vieler quadratischer Gleichungen bestimmen.

  Wenn du die Gleichung nicht auf diese Weise lösen möchtest, kannst du auch die Mitternachts- oder $p-q$-Formel verwenden.

  Nachdem du die Lösungen bestimmt hast, musst du überprüfen, ob diese Sinn ergeben. Setze sie dazu in deine ursprüngliche Wurzelgleichung ein.

  Lösung

  Die Gleichungen kannst du mit dem bekannten Verfahren lösen. Zum Beispiel erhältst du:

  $\begin{array}{rcll} \sqrt{5} &=&\sqrt{2x+15} &\vert ()^2 \\ 5 &=&2x+15 &\vert-15 \\ -10 &=& 2x &\vert :2 \\ -5 &=& x \\ \end{array}$

  und

  $\begin{array}{rcll} x&=&\sqrt{x+6} &\vert ()^2 \\ x^2 &=&x+6 &\vert -x -6\\ 0 &=& x^2 -x -6 \\ 0 &=& (x-3)(x+2) \\ \end{array}$

  Hier kannst du die Lösungen $x_1=-2$ und $x_2=3$ ablesen. Um auf die letzte Zeile zu kommen, musst du die Gleichung faktorisieren. Eine praktische Art und Weise das zu tun, ist den Faktor vor dem $x$ (in diesem Fall $-1$) und die Zahl, die alleine steht (hier $-6$) zu betrachten. Jetzt musst du dir überlegen, welche beiden Zahlen addiert $-1$ ergeben und gleichzeitig zu $-6$ multiplizieren. Das funktioniert nur für die Zahlen $-3$ und $2$. Denn $-3+2=-1$ und $-3 \cdot 2=6$. So kannst du die Lösungen vieler quadratischer Gleichungen bestimmen. Wenn du die Gleichung nicht auf diese Weise lösen möchtest, kannst du auch die Mitternachts- oder $p-q$-Formel verwenden.

  Jetzt musst du allerdings noch prüfen, ob die Lösungen Sinn ergeben. Setzt du $x_1=-2$ in die Gleichung ein, erhältst du:

  $\begin{array}{rcl} -2&=&\sqrt{-2+6} \\ -2 &=&\sqrt{4}\\ -2 &=& 2 \\ \end{array}$

  Diese Gleichung ist offensichtlich nicht erfüllt. Die gefundene Lösung $x_1=-2$ ist eine sogenannte „faule“ Lösung. Du solltest immer überprüfen, ob deine gefundenen Lösungen wirklich die Gleichung lösen. Die andere Lösung $x_2=3$ löst die Gleichung.

  Die Lösungen der anderen Gleichungen kannst du ähnlich bestimmen. Dann erhältst du:

  • $x=\sqrt{x+6}$ hat die Lösung $x=3$

  • Die Gleichung $\sqrt{5}=\sqrt{2x+15}$ wird durch $x=-5$ gelöst.

  • Für $\sqrt{\frac{-3x}{5}+3}=0$ ergibt sich $x=5$

  • $\sqrt{3x+4}-5=0$ ergibt $x=7$

  • $\sqrt{x^2-1}=0$ hat die Lösungen $x_1=-1$ und $x_2=1$

• Bestimme den nächsten Schritt beim Lösen von Wurzelgleichungen.

  Tipps

  Stehen auf der Seite des Wurzelterms noch andere Zahlen, die nicht unter der Wurzel stehen, musst du zuerst die Wurzel isolieren.

  Hast du bereits quadriert, kommt also keine Wurzel in deiner Gleichung mehr vor, kannst du die Variable isolieren.

  Lösung

  Stehen auf der Seite des Wurzelterms noch andere Zahlen, die nicht unter der Wurzel stehen, musst du zuerst die Wurzel isolieren. Das ist bei diesen Gleichungen der Fall:

  $\sqrt{x}+6=9$ und $4=2 \sqrt{\frac{x}{3}}$

  Steht die Wurzel bereits alleine auf einer Seite, kannst du quadrieren. Das ist bei diesen Gleichungen der Fall:

  $\sqrt{x}=3$, $2= \sqrt{\frac{x}{3}}$, $\sqrt{5x-11}=\sqrt{x+9}$ und $x=\sqrt{2x+8}$

  Hast du bereits quadriert, kommt also keine Wurzel in deiner Gleichung mehr vor, kannst du die Variable isolieren. Das geht bei den Gleichungen:

  $4=\frac{x}{3}$ und $5x-11=x+9$

• Erschließe, welche Gleichungen korrekt gelöst wurden.

  Tipps

  Bei der Gleichung

  $\dfrac{3+x}{\sqrt{3x}} = \dfrac{3+x}{3x}$

  kannst du durch geschicktes Dividieren zur Lösung gelangen. Der Faktor $3+x$ kommt auf beiden Seiten der Gleichung vor.

  Die Gleichung

  $\sqrt{\dfrac{5x-15}{x^3-3x^2}}=\sqrt{5}x$

  kannst du im Bruch geschickt ausklammern und kürzen.

  Die Gleichung $x^2=1$ hat eine positive und eine negative Lösung.

  Lösung

  Diese Rechnungen sind falsch:

  „$\dfrac{3+x}{\sqrt{3x}} = \dfrac{3+x}{3x}$ hat die Lösung $x=\frac{1}{6}$“

  Hier kannst du durch geschicktes Dividieren zur Lösung gelangen. Der Faktor $3+x$ kommt auf beiden Seiten der Gleichung vor. Du kannst also durch ihn teilen.

  $\begin{array}{rcll} \dfrac{3+x}{\sqrt{3x}} &=& \dfrac{3+x}{3x} &\vert :(3+x) \\ \dfrac{1}{\sqrt{3x}} &=& \dfrac{1}{3x} &\vert \cdot 3x \\ \dfrac{3x}{\sqrt{3x}} &=& 1 \\ \sqrt{3x} &=& 1&\vert ()^2\\ 3x &=& 1&\vert :3\\ x &=& \frac{1}{3}\\ \end{array}$

  „$\dfrac{\sqrt{2x+6}}{\sqrt{5x-5}}=\dfrac{6}{5}$ hat die Lösung $x=1$“

  Setzt du $x=1$ in die Gleichung ein, erhältst du $0$ im Nenner des Bruchs. Das ist nicht definiert, da man nicht durch $0$ teilen kann. Die Gleichung hat stattdessen die Lösung $x=15$. (Überzeuge dich davon durch Einsetzen!)

  Diese Rechungen sind richtig. Du kannst sie auf ähnliche Art und Weise wie die beiden ersten Rechnungen bestimmen:

  „$\sqrt{\dfrac{5x-15}{x^3-3x^2}}=\sqrt{5}x$ hat die Lösung $x=1$“

  Hier kannst du im Bruch geschickt ausklammern und kürzen. Beachte außerdem, dass die Gleichung $x^2=1$ eine positive und eine negative Lösung hat.

  $\begin{array}{rcll} \sqrt{\dfrac{5x-15}{x^3-3x^2}}&=&\sqrt{5}x \\ \sqrt{\dfrac{5(x-3)}{x^2(x-3)}}&=&\sqrt{5}x \\ \sqrt{\dfrac{5}{x^2}}&=&\sqrt{5}x \\ \dfrac{\sqrt{5}}{x}&=&\sqrt{5}x &\vert :\sqrt{5} \\ \dfrac{1}{x} &=&x &\vert \cdot x\\ x^2&=&1 &\vert \sqrt{}\\ x&=& \pm 1\\ \end{array}$

  Die negative Lösung $x=-1$ ist allerdings eine „faule“ Lösung, da sie in die Wurzelgleichung eingesetzt, diese nicht löst.

  „$\sqrt{\dfrac{3x^2-6x}{3x}}=1$ hat die Lösung $x=3$“

  „$\sqrt{\dfrac{3x^3-5x^2}{27x-45}}=2x^2$ hat die Lösung $x=\frac{1}{6}$“