Von der Wertetabelle zur Gleichung

Von der Wertetabelle zur Gleichung Übung

• Vervollständige die Tabelle.

  Tipps

  Folgende Verhältnisse sind für jede Zeile der Spalte konstant:

  $\begin{array}{l} \dfrac{\text{Wasser}}{\text{Gesamtmasse}}=\dfrac 35 \\ \\ \dfrac{\text{restliche Biomasse}}{\text{Gesamtmasse}}=\dfrac 25 \end{array}$

  Beachte, um wie viel die einzelnen Größen in jedem Schritt wachsen.

  Lösung

  Ausgehend von den bekannten Werten der Tabelle können wir die fehlenden Werte berechnen.

  Wir wissen, dass die Gesamtmasse $t$ der Summe aus Wasser $w$ und restlicher Biomasse $b$ entspricht. Es gilt also:

  $t=w+b$

  Außerdem können wir auch die Verhältnisse berücksichtigen. Diese bleiben nämlich für jede Zeile gleich:

  $\begin{array}{l} \dfrac{\text{Wasser}}{\text{Gesamtmasse}}=\dfrac 35 \\ \\ \dfrac{\text{restliche Biomasse}}{\text{Gesamtmasse}}=\dfrac 25 \end{array}$

  Außerdem erkennen wir, dass das Wasser in jeder Zeile um $3$, die Biomasse um $2$ und die Gesamtmasse um $3+2=5$ wächst.

  Damit können wir die Tabelle wie folgt vervollständigen:

  $\begin{array}{c|c|c} \text{Wasser in } kg & \text{restliche Biomasse in } kg & \text{Gesamtmasse in } kg \\ \hline 36 & 24 & 60 \\ 39 & 26 & 65 \\ 42 & 28 & 70 \\ 45 & 30 & 75 \\ 48 & 32 & 80 \end{array}$

• Gib die zugehörige Gleichung an.

  Tipps

  Achte bei der Angabe eines Verhältnisses $a:b$ darauf, dass die beiden Zahlen vollständig gekürzt sind.

  Sieh dir hierzu folgendes Beispiel an:

  $24 : 8~\rightarrow~3:1$

  Die Gleichung erhältst du über das jeweilige Verhältnis. Setze die Verhältnisse gleich und stelle die Gleichung nach der jeweiligen Größe um.

  Sieh dir hierzu folgendes Beispiel an:

  $\begin{array}{lll} \dfrac ab &=& \dfrac 31 & \vert \cdot b \\ \\ a &=& 3\cdot b & \end{array}$

  Lösung

  Das Verhältnis $s:c$ bestimmen wir, indem wir Wertepaare aus der Tabelle ins Verhältnis setzen. Wir erhalten dann:

  • $60:15~\rightarrow~4:1$
  • $64:16~\rightarrow~4:1$
  • $68:17~\rightarrow~4:1$

  Wir müssen bei der Angabe darauf achten, dass die beiden Zahlen vollständig gekürzt sind. Die Gleichung erhalten wir über dieses Verhältnis. Wir setzen die Verhältnisse gleich und stellen die Gleichung nach $s$ um.

  $\begin{array}{llll} \dfrac sc &=& \dfrac 41 & \vert \cdot c \\ \\ s &=& 4\cdot c & \end{array}$

• Erschließe das jeweilige Verhältnis $y:x$ für die Wertepaare $(x\vert y)$.

  Tipps

  Achte auf die Reihenfolge: Gesucht ist das Verhältnis $y:x$, gegeben sind die Wertepaare $(x \vert y)$.

  Das Verhältnis $y:x$ ($y$ zu $x$) für ein Wertepaar $(x\vert y)$ erhalten wir, indem wir zunächst die Werte für $x$ und $y$ einsetzen und beide Werte durch ihren größten gemeinsamen Teiler kürzen.

  Das vollständig gekürzte Verhältnis $y:x$ für das Wertepaar $(45\vert 15)$ lautet:

  $1:3$

  Lösung

  Das Verhältnis $y:x$ ($y$ zu $x$) für ein Wertepaar $(x\vert y)$ erhalten wir, indem wir beide Werte eines Wertepaares durch ihren größten gemeinsamen Teiler kürzen. Damit erhalten wir die folgenden Zuordnungen:

  Verhältnis $2:1$

  $\begin{array}{lll} (6\vert 12)~: & 12:6 ~ \rightarrow ~ 2:1 \\ (7\vert 14)~: & 14:7 ~ \rightarrow ~ 2:1 \\ (13\vert 26)~: & 26:13 ~ \rightarrow ~ 2:1 \end{array}$

  Verhältnis $1:2$

  $\begin{array}{lll} (214\vert 107)~: & 107:214 ~ \rightarrow ~ 1:2 \\ (96\vert 48)~: & 48:96 ~ \rightarrow ~ 1:2 \end{array}$

  Verhältnis $3:2$

  $\begin{array}{lll} (6\vert 9)~: & 9:6 ~ \rightarrow ~ 3:2 \\ (16\vert 24)~: & 24:16 ~ \rightarrow ~ 3:2 \\ (42\vert 63)~: & 63:42 ~ \rightarrow ~ 3:2 \end{array}$

  Verhältnis $2:3$

  $\begin{array}{lll} (18\vert 12)~: & 12:18 ~ \rightarrow ~ 2:3 \\ (48\vert 32)~: & 32:48 ~ \rightarrow ~ 2:3 \end{array}$

• Ermittle ausgehend von der Wertetabelle die zugehörige Gleichung.

  Tipps

  Bestimme zunächst das Verhältnis $\frac yx$.

  Setze den Ausdruck $\frac yx$ mit dem jeweiligen Verhältnis gleich und stelle die Gleichung nach $y$ um.

  Lösung

  Wir bestimmen zunächst das Verhältnis $\frac yx$. Danach setzen wir den Ausdruck $\frac yx$ mit dem jeweiligen Verhältnis gleich und stellen die Gleichung nach $y$ um.

  Damit erhalten wir die folgenden Gleichungen:

  Beispiel 1

  $\begin{array}{c|c} x & 15 & 16 & 17 \\ \hline y & 75 & 80 & 85 \end{array}$

  Die Variable $x$ wächst in jedem Schritt um $1$ und die Variable $y$ um $5$. Damit ist das Verhältnis $5:1$ und wir erhalten:

  $\begin{array}{llll} \dfrac yx &=& \dfrac 51 & \vert \cdot x \\ \\ y &=& 5\cdot x & \end{array}$

  Beispiel 2

  $\begin{array}{c|cccc} x & 20 & 22 & 24 \\ \hline y & 30 & 33 & 36 \end{array}$

  Die Variable $x$ wächst in jedem Schritt um $2$ und die Variable $y$ um $3$. Damit ist das Verhältnis $3:2$ und wir erhalten:

  $\begin{array}{llll} \dfrac yx &=& \dfrac 32 & \vert \cdot x \\ \\ y &=& \dfrac 32\cdot x & \end{array}$

  Beispiel 3

  $\begin{array}{c|cccc} x & 45 & 48 & 51 \\ \hline y & 30 & 32 & 34 \end{array}$

  Die Variable $x$ wächst in jedem Schritt um $3$ und die Variable $y$ um $2$. Damit ist das Verhältnis $2:3$ und wir erhalten:

  $\begin{array}{llll} \dfrac yx &=& \dfrac 23 & \vert \cdot x \\ \\ y &=& \dfrac 23\cdot x & \end{array}$

  Beispiel 4

  $\begin{array}{c|cccc} x & 60 & 65 & 70 \\ \hline y & 12 & 13 & 14 \end{array}$

  Die Variable $x$ wächst in jedem Schritt um $5$ und die Variable $y$ um $1$. Damit ist das Verhältnis $1:5$ und wir erhalten:

  $\begin{array}{llll} \dfrac yx &=& \dfrac 15 & \vert \cdot x \\ \\ y &=& \dfrac 15\cdot x & \end{array}$

• Beschreibe das Vorgehen bei der Aufstellung einer Gleichung ausgehend von einer Wertetabelle.

  Tipps

  Du analysierst zunächst die Werte der Tabelle, um Zusammenhänge zu finden.

  Am Ende formst du deine Gleichung nach einer der Variablen um.

  Lösung

  Ausgehend von einer Wertetabelle können wir die zugehörige Gleichung wie folgt herleiten:

  1. Analysiere die Werte der Tabelle, um Zusammenhänge zu finden. Suche in der Wertetabelle nach einem Muster.
  2. Wenn du ein konstantes Verhältnis findest, notiere es.
  3. Lege die Variablen fest (z. B. $x$ und $y$) und stelle mit dem jeweiligen Verhältnis (z. B. $\frac yx$) die Gleichung auf.
  4. Löse die Gleichung nach der Variablen auf, die du suchst. Hierzu musst du mit entsprechenden Umkehroperationen die Gleichung umformen.

• Bestimme die Gleichung und die jeweiligen Wertepaare.

  Tipps

  Stelle zunächst das Verhältnis $\frac yx$ auf und leite von diesem die jeweilige Gleichung ab.

  $(? \vert 234)$

  Um den passenden $x$-Wert zu bestimmen, stellst du die Gleichung nach $x$ um und setzt $y=234$ ein.

  Lösung

  Wir bestimmen zunächst das Verhältnis $\frac yx$. Danach setzen wir den Ausdruck $\frac yx$ mit dem jeweiligen Verhältnis gleich und stellen die Gleichung nach $y$ um.

  Wir erhalten dann:

  $\begin{array}{llll} \dfrac yx &=& \dfrac 68 & \dfrac yx &=& 0,75 & \vert \cdot x \\ \\ y &=& 0,75\cdot x & \end{array}$

  Damit können wir nun die $y$-Koordinate der ersten beiden Wertepaare bestimmen:

  $y=0,75\cdot 896 = 672$

  $y=0,75\cdot 448 = 336$

  Um die $x$-Koordinaten der anderen beiden Wertepaare zu bestimmen, müssen wir die Gleichung nach $x$ umstellen:

  $\begin{array}{llll} y &=& 0,75\cdot x & \vert :0,75 \\ \frac 43\cdot y &=& x & \end{array}$

  Damit erhalten wir die folgenden Rechnungen:

  $x = \frac 86\cdot 234 = 312$

  $x = \frac 86\cdot 486 = 648$