Antiproportionale Zuordnungen erkennen

Antiproportionale Zuordnungen erkennen Übung

• Gib die Eigenschaften von antiproportionalen Zuordnungen wieder.

  Tipps

  Für alle Wertepaare $(x~|~y)$ stimmt das Produkt $y \cdot x$ überein.

  Das ist ein Beispiel für eine antiproportionale Zuordnung. Welche Form hat der Graph, wenn du die Wertepaare in ein Koordinatensystem einträgst?

  In dem oberen Beispiel gilt: $2\cdot60=120$, $3\cdot40=120$ ...

  Lösung

  „Die Wertepaare einer antiproportionalen Zuordnung sind produktgleich.“ Das bedeutet, dass für alle Wertepaare $(x~|~y)$ der Zuordnung das Produkt $y \cdot x$ den gleichen Wert $k$ hat. Die folgende Tabelle ist ein Beispiel für eine antiproportionale Zuordnung. Aus der letzten Zeile ist ersichtlich, dass alle Wertepaare produktgleich sind mit $k=y \cdot x = 120$:

  $\begin{array}{l|c|c|c|c} \text{x: Vereine} & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \text{y: Karten pro Verein} & 60 & 40 & 30 & 24 \\ \hline \text{Produkt} ~y \cdot x & 120 & 120 & 120 & 120 \end{array}$

  „Der Graph einer Antiproportionalität ist eine Hyperbel.“ Wegen der Produktgleichheit gilt die Gleichung $y \cdot x = k$ für einen gewissen Wert $k$. Nach y umgestellt ergibt das die Gleichung $y = \frac{k}{x}$. Der Graph der Funktion mit dieser Funktionsgleichung in einem Koordinatensystem ergibt eine Hyperbel.

  „Dem k-fachen Wert der Größe x ist der k-te Teil der Größe y zugeordnet.“ Bei einer Antiproportionalität gilt: je mehr - desto weniger. Wird also x um ein Vielfaches vermehrt, wird y um das entsprechende Vielfache vermindert. Wird x zum Beispiel verdoppelt, wird y halbiert.

  „Das Produkt y $\cdot$ x ist für alle Wertepaare gleich und heißt Produktgröße.“ In dem Beispiel weiter oben kann man dies gut sehen: Für alle Wertepaare hat das Produkt $k=y \cdot x$ den Wert 120. Bei diesem Beispiel ist die Produktgröße also $k$ = 120.

• Berechne, wie viele Tage 6 Maler zum Streichen brauchen würden.

  Tipps

  Um die Wertepaare auf Produktgleichheit zu prüfen, multiplizierst du die Werte eines Wertepaares miteinander.

  Handelt es sich um eine Antiproportionalität, ist die Produktgröße $k$ das Produkt der Werte eines Wertepaares. Den Wert hast du schon berechnet, als du die Wertepaare auf Produktgleichheit geprüft hast.

  Den berechneten Wert für $k$ kannst du in die Gleichung $y = \frac{k}{x}$ einsetzen.

  $x$ steht für eine Anzahl Maler. $y$ ist dann die Anzahl Tage, die diese Maler zum Streichen der Fläche brauchen.

  Lösung

  Die Lösung von Sachaufgaben zu antiproportionalen Zuordnungen kann zum Beispiel in 3 Schritten erfolgen:

  • Überprüfung, ob es sich um eine antiproportionale Zuordnung handelt.
  • Falls ja, Bestimmung der Produktgröße $k$ und Aufstellen der Gleichung $y = \frac{k}{x}$.
  • Einsetzen des gegebenen $x$-Wertes in die Gleichung, um gesuchten $y$-Wert zu bestimmen.

  Es handelt sich hier um eine Zuordnung Anzahl Maler $\rightarrow$ Zeit in Tagen. Aus der Wertetabelle ergeben sich die beiden Wertepaare $(3~|~8)$ und $(4~|~6)$. Die 3 Schritte zur Lösung sind dann:

  1. Um festzustellen, ob es sich um eine antiproportionale Zuordnung handelt, müssen die beiden Wertepaare auf Produktgleichheit geprüft werden:

  $\boldsymbol{3} \cdot 8 = \boldsymbol{24}$ und

  $4 \cdot \boldsymbol{6} = \boldsymbol{24}$.

  Die Wertepaare sind produktgleich. Somit liegt eine antiproportionale Zuordnung vor.

  2. Das Produkt der Wertepaare ist die Produktgröße $k$:

  $k = \boldsymbol{24}$.

  Es gilt also die Gleichung:

  $y = \boldsymbol{24} : x$.

  3. Um zu berechnen, wie viele Tage 6 Maler zum Streichen der Fläche brauchen, wird in diese Gleichung der $x$-Wert 6 eingesetzt:

  $y = 24 : x = 24 : \boldsymbol{6} = \boldsymbol{4}$.

  Antwort: 6 Maler brauchen zum Streichen der Fläche 4 Tage.

• Berechne, welche Schrittweite Boris hat.

  Tipps

  Zunächst solltest du benennen, was gegeben ist. Das solltest du dann in eine übersichtliche Form bringen.

  Handelt es sich überhaupt um eine Antiproportionalität? Das musst du prüfen, du darfst es nicht einfach annehmen.

  Hast du festgestellt, dass es sich um eine antiproportionalen Zuordnung handelt, musst du eine Gleichung zu der Zuordnung aufstellen. In diese kannst du Boris Schrittanzahl einsetzen und so seine Schrittweite bestimmen.

  Lösung

  Bei Sachaufgaben sollte das Problem zunächst mathematisch formuliert werden: Gegeben ist eine Zuordnung Schritte $\rightarrow$ Schrittweite. Die Angaben über die beiden Brüder Adam und Chris liefern die beiden Wertepaare $(240~|~50)$ und $(120~|~100)$. Die Lösung der Aufgabe kann nach folgendem Schema gelöst werden:

  • Benennen, welche Größen in der Zuordnung vorkommen und welche Wertepaare gegeben sind.
  • Aufstellen der Wertetabelle zu der Zuordnung.
  • Überprüfen, ob eine antiproportionale Zuordnung vorliegt.
  • Falls ja: Produktgröße $k$ und Gleichung $y=\frac{k}{x}$ bestimmen.
  • Einsetzen der weiteren gegebenen Größe, um unbekannte Größe zu bestimmen.
  • Formulierung des Antwortsatzes.

  Dieses Schema kann in vielen Fällen für Sachaufgaben zu Zuordnungen erfolgen. Die Überprüfung auf Antiproportionalität kann dann durch Überprüfung der Wertepaare auf Produktgleichheit erfolgen. Falls Produktgleichheit vorliegt, ist die Produktgröße $k$ schon bestimmt. Sie ist das Produkt, das bei allen Wertepaaren heraus kam.

  Wenn man vermutet, dass eine proportionale Zuordnung vorliegt, kann dieses Schema übrigens so ähnlich verwendet werden. Die Wertepaare werden dann auf Quotientengleichheit geprüft. Statt der Produktgröße, wird dann der Proportionalitätsfaktor bestimmt. Die Gleichung, die dann zur Lösung verwendet wird, hat die Form $y = k \cdot x$.

• Ordne den Wertetabellen ihre Produktgrößen zu.

  Tipps

  Was musst du prüfen, um festzustellen, ob eine antiproportionale Zuordnung vorliegt?

  Liegt eine antiproportionale Zuordnung vor, ist die Produktgröße $k$ das Produkt der Werte eines Wertepaares.

  Die Produktgröße kann nur bestimmt werden, wenn es sich um eine antiproportionale Zuordnung handelt.

  Lösung

  Erweitert man jede Tabelle um eine Zeile und trägt dort jeweils das Produkt $y \cdot x$ ein, so sieht man, ob die Wertepaare produktgleich sind. Ist das der Fall, handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung. Das jeweils gleiche Produkt $y \cdot x$ ist dann die Produktgröße $k$.

  $\begin{array}{c|c|c} \textbf{x} & 5 & 7 \\ \hline \textbf{y} & 14 & 10 \\ \hline y \cdot x & 70 & 70 \\ \end{array}$

  Die Wertepaare sind produktgleich mit dem Wert $y \cdot x = 70$. Es handelt sich also um eine antiproportionale Zuordnung mit der Produktgröße $k = 70$.

  $\begin{array}{c|c|c} \textbf{x} & 5 & 12,5 \\ \hline \textbf{y} & 5 & 2 \\ \hline y \cdot x & 25 & 25\\ \end{array}$

  Die Wertepaare sind produktgleich mit dem Wert $y \cdot x = 25$. Es handelt sich also um eine antiproportionale Zuordnung mit der Produktgröße $k = 25$.

  $\begin{array}{c|c|c} \textbf{x} & 3 & 7 \\ \hline \textbf{y} & 9 & 4 \\ \hline y \cdot x & 27 & 28\\ \end{array}$

  Die Wertepaare sind nicht produktgleich. Für das erste Wertepaar gilt $y \cdot x = 9 \cdot 3 = 27$. Für das zweite Wertepaar hingegen gilt $y \cdot x = 4 \cdot 7 = 28$. Es handelt sich also nicht um eine antiproportionale Zuordnung. Somit ist die Produktgröße $k$ unbestimmt.

  $\begin{array}{c|c|c} \textbf{x} & 4 & 10 \\ \hline \textbf{y} & 15 & 6 \\ \hline y \cdot x & 60 & 60 \\ \end{array}$

  Die Wertepaare sind produktgleich mit dem Wert $y \cdot x = 60$. Es handelt sich also um eine antiproportionale Zuordnung mit der Produktgröße $k = 60$.

• Nenne Möglichkeiten, eine Zuordnung auf Antiproportionalität zu prüfen.

  Tipps

  Gilt bei einer Antiproportionalität für alle Wertepaare $(x~|~y)$ der Zusammenhang $y \cdot x = k$ oder $\frac{y}{x} = k$?

  Stelle die Gleichung, die für alle Wertepaare gilt, nach y um. Du erhältst eine Funktion der Form $y = f(x)$. Welche Form hat der Graph dieser Funktion?

  Lösung

  Es gibt 2 Möglichkeiten zu prüfen, ob eine gegebene Zuordnung eine Antiproportionalität ist:

  • Prüfung der Wertepaare auf Produktgleichheit. Für alle Wertepaare $(x~|~y)$ der Zuordnung muss gelten: $y \cdot x = k$. Der Wert $k$ wird Produktgröße genannt. Er charakterisiert die antiproportionale Zuordnung. Das Beispiel auf der rechten Seite ist eine antiproportionale Zuordnung. Es lässt sich nachrechnen, dass für alle gegebenen Wertepaare $y \cdot x = 120$ gilt: $60 \cdot 2 = 40 \cdot 3 = 30 \cdot 4 = 24 \cdot 5 = 120$. Für dieses Beispiel gilt also: $k = 120$.
  • Eintragen der Wertepaare in ein Koordinatensystem und Prüfung, ob die Wertepaare auf einer Hyperbel liegen. Der Zusammenhang $y \cdot x = k$ für alle Wertepaare lässt sich nach y auflösen: $y = \frac{k}{x}$. Der Graph zu einer Funktion dieser Form ist eine Hyperbel. Die Wertepaare liegen alle auf dieser Hyperbel. Mit $k = 120$ für das gegebene Beispiel ergibt sich die Hyperbel $y = \frac{120}{x}$ im Koordinatensystem.
  • Bei einer Antiproportionalität gilt die Gleichung $y\cdot x=k$ bzw. $y=\frac{k}{x}$.

• Entscheide, bei welchen Zuordnungen es sich um Antiproportionalitäten handelt.

  Tipps

  Erstelle für jedes Beispiel eine Wertetabelle.

  Wie kannst du mit Hilfe der Tabelle feststellen, ob es sich um eine antiproportionale Zuordnung handelt?

  DIe Zuordnung ist eine Antiproportionalität, falls die Wertepaare produktgleich sind.

  Lösung

  Eine Zuordnung ist eine Antiproportionalität, wenn ihre Wertepaare produktgleich sind. Dies lässt sich am Besten mit Hilfe einer Wertetabelle überprüfen, in der die beiden Größen der Zuordnung eingetragen werden. In einer zusätzlichen Zeile kann jeweils das Produkt der beiden Größen eingetragen werden. Steht in jeder Spalte dieser Zeile der gleiche Wert, sind die Wertepaare produktgleich. Nur dann liegt eine antiproportionale Zuordnung vor.

  • „Ein Kilogramm Äpfel kostet $3~€$. Zwei Kilogramm hingegen kosten $5~€$.“:

  $\begin{array}{l|c|c} \textbf{x}\text{: Menge in kg} & 1 & 2 \\ \hline \textbf{y}\text{: Preis in €} & 3 & 5 \\ \hline y \cdot x & 3 & 10 \\ \end{array}$

  Die beiden Wertepaare sind nicht produktgleich und somit handelt es sich hier nicht um eine Antiproportionalität.

  • „Für den Weg zur Schule braucht Kim zu Fuß 15 Minuten. Läuft sie hin und wieder zurück, braucht sie insgesamt 30 Minuten.“

  $\begin{array}{l|c|c} \textbf{x}\text{: Anzahl Strecke zur Schule} & 1 & 2 \\ \hline \textbf{y}\text{: Zeit in min} & 15 & 30 \\ \hline y \cdot x & 15 & 60 \\ \end{array}$

  Die beiden Wertepaare sind nicht produktgleich und somit handelt es sich hier nicht um eine Antiproportionalität. Da die Länge des Schulwegs nicht explizit angegeben war, kann man diese Aufgabe auch ohne Wertetabelle lösen: Läuft Kim zur Schule hin und wieder zurück, ist sie den doppelten Schulweg gelaufen. Sie braucht dafür 30 Minuten. Das ist das Doppelte der Zeit für den normalen Schulweg. Bei einer Antiproportionalität wird dem doppelten der einen Größe jedoch die Hälfte der anderen Größe zugeordnet. Somit kann es sich in dieser Aufgabe nicht um eine Antiproportionalität handeln.

  • „Ihr Bruder Benjamin läuft mit einer Geschwindikgeit von $6~km/h$. Er braucht zu Fuß 10 Minuten bis zur Schule. Mit dem Fahrrad fährt er im Durchschnitt $15~km/h$. Er braucht dann nur 4 Minuten für den Schulweg.“

  $\begin{array}{l|c|c} \textbf{x}\text{: Geschwindigkeit in km/h} & 6 & 15 \\ \hline \textbf{y}\text{: Zeit in min} & 10 & 4 \\ \hline y \cdot x & 60 & 60 \\ \end{array}$

  Die beiden Wertepaare sind produktgleich und somit handelt es sich hier um eine Antiproportionalität.

  • „Ein Zeitungsverlag hat 4 Druckmaschinen. Diese brauchen täglich 5 Stunden, um die gewünschte Auflage zu drucken. Der Verlag schafft sich eine fünfte Maschine an. Nun brauchen die 5 Machinen nur noch 4 Stunden, um die gleiche Auflage an Zeitungen zu drucken.“

  $\begin{array}{l|c|c} \textbf{x}\text{: Anzahl Maschinen} & 4 & 5 \\ \hline \textbf{y}\text{: Druckzeit in h} & 5 & 4 \\ \hline y \cdot x & 20 & 20 \\ \end{array}$

  Die beiden Wertepaare sind produktgleich und somit handelt es sich hier um eine Antiproportionalität.

  • „3 Geschwister brauchen 2 Stunden, um ihr Zimmer aufzuräumen. Als letzte Woche nur 2 der Geschwister das Zimmer aufgeräumt haben, haben sie dafür 4 Stunden gebraucht.“

  $\begin{array}{l|c|c} \textbf{x}\text{: Anzahl Geschwister} & 3 & 2 \\ \hline \textbf{y}\text{: Zeit in h} & 2 & 4 \\ \hline y \cdot x & 6 & 8 \\ \end{array}$

  Die beiden Wertepaare sind nicht produktgleich und somit handelt es sich hier nicht um eine Antiproportionalität.