Übergangsmatrizen – Beispiel Wanderbewegungen

Übergangsmatrizen – Beispiel Wanderbewegungen Übung

• Bestimme die Anzahl der Giraffen in den einzelnen Regionen nach einer Periode.

  Tipps

  Berechne das Produkt Matrix mal Vektor:

  $D\cdot \vec b$.

  Multipliziere jede Zeile der Matrix $D$ mit dem Vektor $\vec b$.

  Für Region $C$ verwendest du die folgende Rechnung

  $0,1\cdot 1500+0,2\cdot 2300+0,4\cdot 3800$.

  Lösung

  Um die Werte nach einer Periode zu berechnen wird jede Zeile der Matrix $D$ mit dem Vektor $\vec b$ multipliziert:

  $\begin{pmatrix} 0,6&0,4&0,3\\ 0,3&0,4&0,3\\ 0,1&0,2&0,4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1500\\ 2300\\ 3800 \end{pmatrix}$

  Dies führen wir hier nun exemplarisch für die verschiedenen Regionen durch.

  • Region $A$: $0,6\cdot 1500+0,4\cdot 2300+0,3\cdot 3800=2960$
  • Region $B$: $0,3\cdot 1500+0,4\cdot 2300+0,3\cdot 3800=2510$
  • Region $A$: $0,1\cdot 1500+0,2\cdot 2300+0,4\cdot 3800=2130$

  Der Vektor mit den Anzahlen der Giraffen nach einer Periode sieht so aus:

  $\vec b=\begin{pmatrix}2960\\2510\\2130\end{pmatrix}$.

• Beschreibe, wie viele Giraffen es nach drei Perioden in den Regionen gibt.

  Tipps

  Die Summe aller Anzahlen ergibt $7600$ und bleibt gleich.

  Multipliziere jeweils eine Zeile der Matrix $D^3$ mit dem Vektor $\vec b$.

  Lösung

  Links steht die Matrix $D^3$. Wenn man diese mit dem Vektor $\vec b$ der anfänglichen Anzahlen multipliziert, erhält man die Anzahl der Giraffen in jeder der drei Regionen nach drei Perioden. Hierfür wird jede der Zeilen von $D^3$ mit dem Vektor $\vec b$ multipliziert. Dies ist hier zu sehen.

  Das Ergebnis lautet dann

  $\begin{pmatrix}0,486\cdot 1500+0,472\cdot 2300+0,459\cdot 3800\\0,333\cdot 1500+0,334\cdot 2300+0,333\cdot 3800\\0,181\cdot 1500+0,194\cdot 2300+0,208\cdot 3800\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3558,8\\2533,1\\1508,1\end{pmatrix}$.

  Da es keine $0,1$ oder $0,8$ Giraffen gibt, werden die Werte gerundet zu

  $\begin{pmatrix}3559\\2533\\1508\end{pmatrix}$.

  Zuletzt kann man noch kontrollieren, ob die Gesamtzahl stimmt:

  $3559+2533+1508=7600$.

  Die Anzahl der Giraffen hat sich nicht verändert. Das liegt natürlich an dem mathematischen Modell. In der Realität werden natürlich stets Giraffenbabys geboren und alte Giraffen sterben irgendwann.

• Stelle die Übergangsmatrix zu dem Übergangsdiagramm auf.

  Tipps

  Um von der Prozentzahl zu einer Dezimalzahl zu gelangen, dividierst du durch $100$.

  Auf der Hauptdiagonalen (von oben links nach unten rechts) stehen die Anteile einer Herde, welche in ihrem Reservat bleiben.

  Merke dir: Die Summe der Elemente einer Spalte ist jeweils $1$.

  Lösung

  In der ersten Spalte der Übergangsmatrix stehen alle Bewegungen von $A$

  • nach $A$: $0,6$,
  • nach $B$: $0,3$ sowie
  • nach $C$: $0,1$.

  In der zweiten Spalte der Übergangsmatrix stehen alle Bewegungen von $B$

  • nach $A$: $0,5$,
  • nach $B$: $0,5$ sowie
  • nach $C$: $0$.

  In der dritten Spalte der Übergangsmatrix stehen alle Bewegungen von $C$

  • nach $A$: $0,9$,
  • nach $B$: $0,05$ sowie
  • nach $C$: $0,05$.

• Berechne die Anzahl der Büffel nach einer Periode sowie nach zwei Perioden.

  Tipps

  Wenn du dieses Produkt berechnest, erhältst du die Anzahl der Büffel in den einzelnen Reservaten nach einer Periode.

  Um eine Matrix mit einem Vektor zu multiplizieren, multiplizierst du jede Zeile der Matrix mit dem Vektor.

  Multipliziere den Ergebnisvektor, nach einer Periode, noch einmal mit der Matrix $D$.

  Beachte, dass sich die Gesamtzahl an Büffeln nicht verändert.

  Lösung

  Zunächst multipliziert man die Übergangsmatrix mit dem Vektor, welcher die anfänglichen Anzahlen beinhaltet:

  $\begin{pmatrix} 0,6&0,5&0,9\\ 0,3&0,5&0,05\\ 0,1&0&0,05 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2000\\ 1500\\ 2500 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,6\cdot 2000+0,5\cdot 1500+0,9\cdot 2500\\ 0,3\cdot 2000+0,5\cdot 1500+0,05\cdot 2500\\ 0,1\cdot 2000+0\cdot 1500+0,05\cdot 2500 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4200\\ 1475\\ 325 \end{pmatrix}$.

  Nach einer Periode befinden sich also in Reservat $A$ $4200$, in Reservat $B$ $1475$ und in Reservat $C$ $325$ Büffel.

  Nun wird die Matrix $D$ noch einmal, und zwar mit dem neuen Vektor $\vec b = \begin{pmatrix} 4200\\ 1475\\ 325 \end{pmatrix}$, multipliziert. In diesem Vektor stehen nun die Anzahlen nach einer Periode.

  $\begin{pmatrix} 0,6&0,5&0,9\\ 0,3&0,5&0,05\\ 0,1&0&0,05 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 4200\\ 1475\\ 325 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,6\cdot 4200+0,5\cdot 1475+0,9\cdot 325\\ 0,3\cdot 4200+0,5\cdot 1475+0,05\cdot 325\\ 0,1\cdot 4200+0\cdot 1475+0,05\cdot 325 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3550\\ 2013,75\\ 436,25 \end{pmatrix}$

  Die Ergebnisse werden gerundet auf ganze Zahlen: Das bedeutet, dass sich in Reservat $A$ nach zwei Perioden $3550$ Büffel, in Reservat $B$ $2014$ und in Reservat $C$ $436$ Büffel befinden.

  Zur Kontrolle können diese Anzahlen noch addiert werden. Es muss $6000$ herauskommen:

  $3550+2014+436=6000$ - Das stimmt.

• Gib die Übergangsmatrix bei bekannter Tabelle der Wanderbewegung an.

  Tipps

  Die Summe der Elemente in einer Spalte ist immer $1$.

  Praktischerweise lässt sich die Tabelle in eine Matrix umwandeln.

  Lösung

  Wenn die Wanderbewegungen oder die Veränderungen in Form einer Tabelle gegeben sind, kannst du diese direkt in die Matrix $D$ übertragen:

  $D=\begin{pmatrix} 0,6&0,4&0,3\\ 0,3&0,4&0,3\\ 0,1&0,2&0,4 \end{pmatrix}$.

• Ermittle die fehlenden Stellen in der Übergangsmatrix und die neuen Kundenzahlen.

  Tipps

  Da die Summe der Einträge einer Spalte $1$ ist, gilt

  • $p+0,5+q=1$ oder äquivalent dazu
  • $p+q=0,5$.
  • Das bedeutet, dass $p=0,5-q$ ist.

  Da die Zahl der Kunden in Supermarkt $A$ nach einer Periode bekannt ist, kannst du damit $p$ bestimmen.

  Um die Anzahlen nach zwei Perioden zu bestimmen, multiplizierst du $D$ mit dem Vektor, welcher die Anzahlen nach einer Periode enthält.

  Die Ergebnisse sind alle ganzzahlig. Du musst nicht runden.

  Kontrolliere, dass die Summe der Kunden nach jeder Periode $3000$ beträgt.

  Lösung

  Um die Anzahl der Kunden in Supermarkt $A$ nach einer Periode zu berechnen, gehst du wie folgt vor:

  $0,7\cdot 1000+p\cdot 1000+0,2\cdot 1000=1000$.

  Dies führt zu $900+1000p=1000$. Subtraktion von $900$ und anschließende Division durch $1000$ führt zu $p=0,1$.

  Da die Summe der Elemente einer Spalte immer $1$ ist, gilt: $0,1+0,5+q=1$, also $0,6+q=1$. Nun wird auf beiden Seiten $0,6$ subtrahiert. Damit ist $q=0,4$.

  Nun ist die Übergangsmatrix vollständig:

  $D=D=\begin{pmatrix} 0,7&0,1&0,2\\ 0,1&0,5&0,3\\ 0,2&0,4&0,5 \end{pmatrix}$.

  Damit können auch die Kundenanzahlen der Supermärkte $B$ und $C$ nach einer Periode berechnet werden:

  • Supermarkt $B$: $0,1\cdot 1000+0,5\cdot 1000+0,3\cdot 1000=900$
  • Supermarkt $B$: $0,2\cdot 1000+0,4\cdot 1000+0,5\cdot 1000=1100$

  Die Summe aller Kunden bleibt $1000+900+1100=3000$.

  Die Matrix $D$ wird nun mit dem resultierenden Vektor multipliziert:

  $\begin{pmatrix} 0,7&0,1&0,2\\ 0,1&0,5&0,3\\ 0,2&0,4&0,5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1000\\ 900\\ 1100 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,7\cdot 1000+0,1\cdot 900+0,2\cdot 1100\\ 0,1\cdot 1000+0,5\cdot 900+0,3\cdot 1100\\ 0,2\cdot 1000+0,4\cdot 900+0,5\cdot 1100 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1010\\ 880\\ 1110 \end{pmatrix}$

  Das bedeutet, dass sich nach zwei Perioden in Supermarkt $A$ $1010$, in Supermarkt $B$ $880$ und in Supermarkt $C$ $1110$ Kunden befinden.

  Zur Kontrolle können auch diese Anzahlen addiert werden. Es muss wieder $3000$ herauskommen: $1010+880+1110=3000$.