Tangentialebene für Funktionen mit mehreren Veränderlichen

Tangentialebene für Funktionen mit mehreren Veränderlichen Übung

• Bestimme die partiellen Ableitungen der Funktion.

  Tipps

  Du erhältst die partielle Ableitung erster Ordnung nach einer Veränderlichen, indem du die andere Veränderliche als konstant betrachtest und dann mit den bekannten Ableitungsregeln ableitest.

  Wenn du $x=1$ konstant wählst, ist die Funktion

  $h(y)=f(1;y)=-y^2+1$

  nur noch von $y$ abhängig.

  Beachte:

  • $f_x(x;y)$ ist die Ableitung von $f$ nach $x$ und
  • $f_x(1;2)$ ist diese Ableitung ausgewertet für $x=1$ und $y=2$.

  Lösung

  Es soll die Gleichung der Tangentialebene zu $f(x;y)=2-x^2-y^2$ in dem Punkt $P(1;2;-3)$ aufgestellt werden.

  Die z-Koordinate ergibt sich natürlich aus den festgelegten x- und y- Koordinaten: $f(1;2)=2-1^2-2^2=-3=z_0$.

  Es werden zunächst die partiellen Ableitungen an den gegebenen Stellen benötigt:

  • $f_x(x;y)=-2x$ und somit $f_x(1;2)=-2\cdot 1=-2$
  • $f_y(x;y)=-2y$ und somit $f_y(1;2)=-2\cdot 2=-4$

  Mit Hilfe dieser Ableitungen kann dann eine Gleichung der Tangentialebene hergeleitet werden.

• Stelle die Gleichung der Tangentialebene auf.

  Tipps

  Verwende diese Formel für die Tangentialebene:

  $z-z_0=f_x(x_0;y_0)\cdot(x-x_0)+f_y(x_0;y_0)\cdot(y-y_0)$.

  Hier sind die partiellen Ableitungen:

  • $f_x(x;y)=-2x$ und damit $f_x(1;2)=-2\cdot 1=-2$ sowie
  • $f_y(x;y)=-2y$ und damit $f_y(1;2)=-2\cdot 2=-4$.

  Schließlich erhältst du die Gleichung einer Ebene in Koordinatenform:

  $ax+by+cz=d$.

  Lösung

  Es soll die Gleichung einer Tangentialebene aufgestellt werden, welche die Fläche zu der Funktion $f(x;y)=2-x^2-y^2$ in dem Punkt $P(1;2;-3)$ berührt.

  Hierfür verwendet man die folgende Gleichung:

  $z-z_0=f_x(x_0;y_0)\cdot(x-x_0)+f_y(x_0;y_0)\cdot(y-y_0)$.

  Wir benötigen die partiellen Ableitungen erster Ordnung. Diese sind

  • $f_x(x;y)=-2x$ und damit $f_x(1;2)=-2\cdot 1=-2$ sowie
  • $f_y(x;y)=-2y$ und damit $f_y(1;2)=-2\cdot 2=-4$.

  Nun können diese Ableitungen und Werte in die obige Gleichung eingesetzt werden:

  $z-(-3)=-2(x-1)-4(y-2)$.

  Erst einmal werden die Klammern aufgelöst:

  $z+3=-2x+2-4y+8$.

  Zuletzt wird diese Gleichung so umgeformt, dass auf der rechten Seite ein konstanter Wert steht. Es werden $2x$ sowie $4y$ addiert und $3$ subtrahiert. Wir erhalten:

  $2x+4y+z=7$.

  Dies ist die gesuchte Tangentialgleichung.

• Stelle zu jedem der Punkte die zugehörige Gleichung der Tangentialebene auf.

  Tipps

  Werte die partiellen Ableitungen für $x_0$ sowie $y_0$ aus.

  Setze die bekannten Werte in diese Gleichung ein:

  $z-z_0=f_x(x_0;y_0)\cdot(x-x_0)+f_y(x_0;y_0)\cdot(y-y_0)$.

  Forme die Gleichung so um, dass am Schluss eine Ebene in Koordinatenform vorliegt:

  $ax+by+cz=d$.

  Lösung

  Es sollen die Gleichungen von Tangentialebenen aufgestellt werden, welche die Fläche zu der Funktion $f(x;y)=2-x^2-y^2$ in verschiedenen Punkten berühren. Allgemein sieht die Gleichung einer Tangentialebene folgendermaßen aus:

  $z-z_0=f_x(x_0;y_0)\cdot(x-x_0)+f_y(x_0;y_0)\cdot(y-y_0)$.

  Beginnen wir mit dem Punkt $A(1;0;1)$:

  1. Bestimmen wir zunächst die Ableitungen an den jeweiligen Stellen: $f_x(1;0)=-2$ und $f_y(1;0)=0$.
  2. Setzen wir nun neben diesen auch den Punkt $A(1;0;1)$ in die allgemeine Tangentialgleichung ein: $z-1=-2(x-1)$. Das ist äquivalent zu $z-1=-2x+2$.
  3. Dann bringen wir die Gleichung noch in die gewohnte Form einer Koordinatengleichung: $2x+z=3$.

  Diese Schritte sind im Folgenden etwas zusammengefasst.

  Wie schaut's aus mit dem Berührpunkt B(0;1;1)$?

  1. $f_x(0;1)=0$ und $f_y(0;1)=-2$
  2. Einsetzen führt zu $z-1=-2(y-1)$. Dazu äquivalent ist $z-1=-2y+2$.
  3. Die klassische Form einer Koordinatengleichung ist $2y+z=3$.

  Untersuchen wir nun $C(1;1;0)$:

  1. $f_x(1;1)=-2$ und $f_y(1;1)=-2$
  2. Wir setzen ein und erhalten $z=-2(x-1)-2(y-1)$ bzw. $z=-2x+2-2y+2$.
  3. Die zugehörige Koordinatengleichung lautet $2x+2y+z=4$.

  Zuletzt untersuchen wir den Berührpunkt $D(2;1;-3)$:

  1. $f_x(2;1)=-4$ und $f_y(2;1)=-2$.
  2. Einsetzen führt zu $z+3=-4(x-2)-2(y-1)$ bzw. $z+3=-4x+8-2y+2$.
  3. Die gesuchte Koordinatenform ist $4x+2y+z=7$.

• Ermittle die Gleichung der Tangentialebene, welche das hyperbolische Paraboloid berührt.

  Tipps

  Die partiellen Ableitungen erhältst du jeweils, indem du eine Veränderliche konstant wählst und nach der anderen ableitest.

  Verwende die allgemeine Gleichung einer Tangentialebene:

  $z-z_0=f_x(x_0;y_0)\cdot(x-x_0)+f_y(x_0;y_0)\cdot(y-y_0)$.

  Werte die partiellen Ableitungen an $x_0=2$ sowie $y_0=2$ aus und setze diese sowie die bekannten Koordinaten des Punktes $P$ in die Tangentengleichung ein.

  Forme diese zuletzt um.

  Lösung

  Diese Fläche im Raum wird als hyperbolisches Paraboloid bezeichnet. Sie gehört zu der Funktion $f(x;y)=x^2-y^2$.

  Gegeben ist ein Punkt dieser Fläche: $P(2;2;0)$.

  Um die Gleichung $z-z_0=f_x(x_0;y_0)\cdot(x-x_0)+f_y(x_0;y_0)\cdot(y-y_0)$ zu verwenden, müssen die partiellen Ableitungen der Funktion bestimmt und an den gegebenen Koordinaten des Punktes ausgewertet werden:

  • $f_x(x;y)=2x$ und damit $f_x(2;2)=2\cdot 2=4$ sowie
  • $f_y(x;y)=-2y$ und damit $f_y(2;2)=-2\cdot 2=-4$.

  Damit ist $z=4(x-2)-4(y-2)$ oder - äquivalent dazu - die Gleichung $z=4x-8-4y+8$ gegeben.

  Subtraktion von $4x$ und Addition von $4y$ führt zu $-4x+4y+z=0$.

  Dies ist die gesuchte Tangentengleichung.

• Gib die allgemeine Gleichung einer Tangentialebene an.

  Tipps

  Im Falle einer Funktion mit einer Veränderlichen ist die Gleichung einer Tangent in dem Punkt $P(x_0;y_0)$ gegeben durch

  $t(x)=f'(x_0)\cdot (x-x_0)+y_0$.

  Achte darauf, dass immer von dem entsprechenden Koordinate die des gegebenen Punktes subtrahiert werden.

  $f_x$ sowie $f_y$ sind die ersten partiellen Ableitungen der Funktion $f(x;y)$ nach $x$ beziehungsweise $y$.

  Lösung

  Hier ist die Formel für die Tangentialebene zu sehen:

  $z-z_0=f_x(x_0;y_0)\cdot(x-x_0)+f_y(x_0;y_0)\cdot(y-y_0)$.

  Zu den einzelnen Termen:

  • $x_0$, $y_0$ und $z_0$ sind die Koordinaten des gegebenen Punktes $P$.
  • $f_x$ sowie $f_y$ sind die ersten partiellen Ableitungen der Funktion $f(x;y)$ nach $x$ beziehungsweise $y$.

  Woran könnte die Formel erinnern?

  Im Falle einer Funktion mit einer Veränderlichen ist die Gleichung einer Tangente in dem Punkt $P(x_0;y_0)$ gegeben durch

  $t(x)=f'(x_0)\cdot (x-x_0)+y_0$.

• Prüfe, in welchem Punkt der Fläche die Tangentialebene die gegebene Gleichung besitzt.

  Tipps

  Wenn du $x_0$ und $y_0$ kennst, erhältst du $z_0$ durch Einsetzen in die Funktionsgleichung $z_0=f(x_0;y_0)$.

  Verwende diese Formel für die Tangentialebene:

  $z-z_0=f_x(x_0;y_0)\cdot(x-x_0)+f_y(x_0;y_0)\cdot(y-y_0)$.

  Für $f(x;y)=2-x^2-y^2$ ist

  • $f_x(x_0;y_0)=-2x_0$ und
  • $f_y(x_0;y_0)=-2y_0$.

  Forme die Tangentengleichung für $x_0$, $y_0$ und $z_0$ so um, dass auf der linken Seite

  $ax+by+z$

  steht.

  Es muss dann gelten

  • $a=3$
  • $b=-2$

  Du erhältst:

  $2x_0x+2y_0y+z=2x_0^2+2y_0^2+z_0$.

  Der Term links muss mit $3x-2y+z$ übereinstimmen.

  Lösung

  In diesem Beispiel ist die Tangentengleichung bekannt: $3x-2y+z=5,25$.

  Wie lautet der zugehörige Punkt $P(x_0;y_0;z_0)$?

  Es gilt

  $z-z_0=f_x(x_0;y_0)\cdot(x-x_0)+f_y(x_0;y_0)\cdot (y-y_0)$.

  Für $f(x;y)=2-x^2-y^2$ ist

  • $f_x(x_0;y_0)=-2x_0$ und
  • $f_y(x_0;y_0)=-2y_0$.

  Nun kann die obige Gleichung umgeformt werden zu:

  $z-z_0=-2x_0\cdot(x-x_0)-2y_0\cdot (y-y_0)$.

  Die Klammern werden aufgelöst und die Terme mit $x$, $y$ und $z$ auf der linken Seite der Gleichung zusammengefasst:

  $2x_0x+2y_0y+z=2x_0^2+2y_0^2+z_0$.

  Ein Koeffizientenvergleich führt zu

  • $2x_0=3$, also $x_0=1,5$
  • $2y_0=-2$, also $y_0=-1$.

  Die fehlende z-Koordinate erhält man nun durch Einsetzen in die Funktionsgleichung:

  $z_0=f(x_0;y_0)=f(1,5;-1)=2-1,5^2-(-1)^2=-1,25$.

  Der gesuchte Punkt ist also $P(1,5;-1;-1,25)$.