Tangens am Einheitskreis

Tangens am Einheitskreis Übung

• Beschreibe, wie du den Tangens von $\alpha$ am Einheitskreis ablesen kannst.

  Tipps

  Es muss ein rechtwinkliges Dreieck entstehen, in dem die Ankathete von $\alpha$ die Länge $1~\text{LE}$ hat.

  Lösung

  Um den Wert des Tangens für einen bestimmten Winkel am Einheitskreis ablesen zu können, zeichnen wir zunächst den Einheitskreis. Dieser hat den Radius $r = 1~\text{LE}$ und den Ursprung des Koordinatensystems als Mittelpunkt.

  Im Einheitskreis tragen wir dann den Winkel $\alpha$ ausgehend von der positiven $x$-Achse ein.

  Da der Tangens im rechtwinkligen Dreieck als das Seitenverhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete definiert ist, benötigen wir ein Dreieck, bei dem die Ankathete die Länge $1~\text{LE}$ hat. Da die Ankathete von $\alpha$ entlang der $x$-Achse verläuft, muss die Gegenkathete entlang einer Senkrechten durch den Punkt $(1 \vert 0)$ verlaufen. Wir zeichnen eine entsprechende Gerade bei $x = 1$ und verlängern den Kreisradius, sodass ein Dreieck entsteht.

  Der Punkt $Q$ ist der Eckpunkt gegenüber von $\alpha$, er liegt im Schnittpunkt des verlängerten Radius mit der Geraden $x = 1$.

  Die $x$-Koordinate von $Q$ entspricht dann der Länge der Ankathete $1~\text{LE}$, die $y$-Koordinate der Länge der Gegenkathete. Es ergibt sich:

  $\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{\text{Gegenkathete}}{1} = \text{Gegenkathete}$

  Wir können also den Tangens von $\alpha$ an der $\mathbf{y}$-Koordinate von $Q$ ablesen.

• Vervollständige die Tabelle mit den Werten für $\tan(\alpha)$.

  Tipps

  Skizziere dir das passende Dreieck am Einheitskreis, um den Wert für den Tangens ablesen zu können.

  Hier siehst du ein Beispiel für einen Winkel über $90^\circ$.

  Ist die Verlängerung des Radius durch den Punkt $P$ parallel zu der Geraden $x = 1$, gibt es keinen Schnittpunkt. Der Tangens ist für diese Winkel nicht definiert.

  Lösung

  Die Tabelle zeigt die Werte für den Tangens bei verschiedenen Winkeln $\alpha$.

  Für jeden Winkel lassen sich die zugehörigen Werte für den Tangens über die $y$-Koordinate des entsprechenden Punktes $Q$ mithilfe des Einheitskreises ablesen.
  Es gilt $Q(1 \vert \tan(\alpha))$.

  
  

  Für die Winkel in der Tabelle ergibt sich dabei folgendes Bild:

  • $\alpha = 0^\circ$: Der Punkt $Q$ liegt auf der $x$-Achse bei $1$. Darum gilt $\tan(0^\circ) = 0$.

  • $\alpha = 45^\circ$: Der Punkt $Q$ befindet sich auf der Geraden $x = 1$ bei $y = 1$. Daher gilt $\tan(45^\circ) = 1$.

  • $\alpha = 90^\circ$: Die Verlängerung des Radius durch den Punkt $P$ ist parallel zur Geraden $x = 1$. Deshalb gibt es keinen Schnittpunkt. Der Tangens ist nicht definiert.

  • $\alpha = 135^\circ$: Der Punkt $Q$ liegt auf der Geraden $x = 1$ bei $y = -1$. Deswegen gilt $\tan(135^\circ) = -1$.

  • $\alpha = 180^\circ$: Der Punkt $Q$ befindet sich auf der $x$-Achse bei $1$. Darum gilt $\tan(180^\circ) = 0$.

  • $\alpha = 225^\circ$: Der Punkt $Q$ liegt auf der Geraden $x = 1$ bei $y = 1$. Daher gilt $\tan(225^\circ) = 1$.

  • $\alpha = 270^\circ$: Die Verlängerung des Radius durch den Punkt $P$ ist parallel zur Geraden $x = 1$. Deshalb gibt es keinen Schnittpunkt. Der Tangens ist nicht definiert.

  • $\alpha = 360^\circ$: Der Punkt $Q$ befindet sich auf der $x$-Achse bei $1$. Deswegen gilt $\tan(360^\circ) = 0$.

• Entscheide, ob die Aussagen zum Tangens am Einheitskreis stimmen.

  Tipps

  Überprüfe, ob du die Aussagen durch Skizzieren am Einheitskreis widerlegen kannst.

  Hier siehst du ein Beispiel für $\alpha = 225^\circ$.

  Lösung

  Wir können im Einheitskreis beliebige Winkel einzeichnen. Den Tangens erhalten wir, indem wir den Schnittpunkt des verlängerten Radius mit der senkrechten Geraden bei $x = 1$ abtragen. Er entspricht dem $y$-Wert dieses Schnittpunkts.

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • Der Wert für den Tangens wird immer auf einer senkrechten Geraden bei $x = 1$ abgetragen.

  Wir bestimmen den Schnittpunkt des verlängerten Radius mit dieser Geraden.

  • Überall, wo der Cosinus im Einheitskreis den Wert $0$ hat, ist der Tangens nicht definiert.

  Der Cosinus hat bei $90^\circ$ und $270^\circ$ den Wert $0$, da dort der Radius auf der $y$-Achse liegt. Eine Verlängerung des Radius ist parallel zur senkrechten Geraden bei $x = 1$. Es gibt daher keinen Schnittpunkt und der Tangens ist nicht definiert.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Wir können den Tangens für alle Winkel zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$ am Einheitskreis einzeichnen.

  Wir können zwar die Winkel am Einheitskreis einzeichnen, für Winkel der Form $90^\circ + k \cdot 180^\circ$ mit $k \in \mathbb{Z}$ ist der Tangens jedoch nicht definiert. Der Radius verläuft hier parallel zur Senkrechten bei $x = 1$, weshalb wir den Tangens nicht einzeichnen können.

  • Der Tangens kann nur Werte zwischen $-1$ und $1$ annehmen, da der Einheitskreis den Radius $r = 1~\text{LE}$ hat.

  Der Tangens kann auch Werte größer als $1$ und kleiner als $-1$ annehmen, zum Beispiel für Winkel zwischen $45^\circ$ und $90^\circ$.

  • Der Tangens nimmt für Winkel über $90^\circ$ negative Werte an.

  Die Werte des Tangens sind zwischen $90^\circ$ und $180^\circ$ negativ. Zwischen $180^\circ$ und $270^\circ$ nimmt der Tangens aber erneut positive Werte an, was ebenfalls Winkel über $90^\circ$ sind.

• Stelle die Tangens-Werte am Einheitskreis dar.

  Tipps

  Zeichne zunächst einen Einheitskreis und das Dreieck für den gegebenen Winkel.

  Beachte, dass die Länge des Tangens immer an der Senkrechten bei $x = 1$ abgelesen werden kann.

  Lösung

  Wenn wir Tangens-Werte am Einheitskreis darstellen wollen, gehen wir folgendermaßen vor:

  • Wir zeichnen den zugehörigen Winkel $\alpha$ ausgehend von der positiven $x$-Achse im Einheitskreis ein.
  • Danach zeichnen wir eine senkrechte Gerade bei $x = 1$ und verlängern den Kreisradius, sodass ein Dreieck entsteht.
  • Der Punkt $Q$ ist der Eckpunkt gegenüber von $\alpha$. Er liegt im Schnittpunkt des verlängerten Radius mit der Geraden $x = 1$.
  • In dem entstandenen rechtwinkligen Dreieck entspricht die senkrechte Kathete dem Tangens von $\alpha$.

  Beispiel 1:

  Wir zeichnen einen Einheitskreis mit dem Winkel $\alpha = 25^\circ$ und die Senkrechte durch $x = 1$. Wir verlängern den Radius über den Kreis hinaus, bis er die Senkrechte schneidet. Wir markieren die senkrechte Kathete des entstandenen rechtwinkligen Dreiecks für $\tan(25^\circ)$.

  Beispiel 2:

  Wir zeichnen einen Einheitskreis mit dem Winkel $\alpha = 125^\circ$ und die Senkrechte durch $x = 1$. Wir verlängern den Radius über den Mittelpunkt hinaus, bis er die Senkrechte schneidet. Wir markieren die senkrechte Kathete des entstandenen rechtwinkligen Dreiecks für $\tan(125^\circ)$.

  Beispiel 3:

  Wir zeichnen einen Einheitskreis mit dem Winkel $\alpha = 205^\circ$ und die Senkrechte durch $x = 1$. Wir verlängern den Radius über den Mittelpunkt hinaus, bis er die Senkrechte schneidet. Wir markieren die senkrechte Kathete des entstandenen rechtwinkligen Dreiecks für $\tan(205^\circ)$.

  Beispiel 4:

  Wir zeichnen einen Einheitskreis mit dem Winkel $\alpha = 335^\circ$ und die Senkrechte durch $x = 1$. Wir verlängern den Radius über den Kreis hinaus, bis er die Senkrechte schneidet. Wir markieren die senkrechte Kathete des entstandenen rechtwinkligen Dreiecks für $\tan(335^\circ)$.

  Hinweis:

  In der verbleibenden Skizze ist der Winkel $\alpha = 125^\circ$ am Einheitskreis eingetragen. Allerdings wurde hier der Radius so verlängert, dass sich ein Dreieck mit der senkrechten Geraden $x = -1$ ergibt. Für den Tangens müssen wir immer die Verlängerung auf die senkrechte Gerade $x = 1$ betrachten, auch wenn der Punkt auf dem Einheitskreis links von der $y$-Achse liegt.

• Gib die Definition des Tangens am rechtwinkligen Dreieck an.

  Tipps

  In einem Dreieck $ABC$ mit rechtem Winkel bei $C$ gilt:

  $\tan(\alpha) = \dfrac{a}{b}$

  Lösung

  Die Seiten in rechtwinkligen Dreiecken haben besondere Namen: Die längste Seite liegt stets dem rechten Winkel gegenüber und heißt Hypotenuse. Die beiden anderen Seiten, die an dem rechten Winkel anliegen, werden Katheten genannt.
  In Bezug auf einen Winkel unterscheiden wir zudem zwischen der Ankathete, die an dem Winkel anliegt, und der Gegenkathete, die sich gegenüber des Winkels befindet.

  In rechtwinkligen Dreiecken sind die folgenden Seitenverhältnisse definiert:

  • $\tan(\alpha) = \dfrac{\textbf{Gegenkathete}}{\textbf{Ankathete}}$

  • $\sin(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

  • $\cos(\alpha) = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

• Entscheide, welche Werte übereinstimmen.

  Tipps

  Veranschauliche dir Tangens-Werte am Einheitskreis: Was passiert, wenn du das rechtwinklige Dreieck an einer der Koordinatenachsen spiegelst?

  Die Werte für den Tangens wiederholen sich immer nach $180^\circ$.

  Beispiele:

  $\tan(25^\circ) = \tan(25^\circ + 180^\circ) = \tan(205^\circ)$

  $\tan(311^\circ) = \tan(311^\circ - 180^\circ) = \tan(131^\circ)$

  Lösung

  Die Werte für den Tangens wiederholen sich immer nach $180^\circ$. Allgemein können wir notieren:

  $\tan(\alpha) = \tan(\alpha + k \cdot 180^\circ)$ mit $k \in \mathbb{Z}$

  Wir erhalten:

  • $\tan(10^\circ) = \tan(10^\circ + 180^\circ) = \tan(190^\circ)$
  • $\tan(323^\circ) = \tan(323^\circ - 180^\circ) = \tan(143^\circ)$

  Außerdem nimmt der Tangens im ersten und dritten Quadranten positive Werte an. Im zweiten und vierten Quadranten sind die Tangens-Werte negativ. Dabei haben Punkte, die an der $x$- oder $y$-Achse gespiegelt sind, stets den gleichen Wert mit umgekehrtem Vorzeichen.

  Wir erhalten:

  • Wenn wir das rechtwinklige Dreieck für $\tan(63^\circ)$ an der $y$-Achse spiegeln, dann ergibt sich bei einem Winkel von $180^\circ - 63^\circ = 117^\circ$ derselbe Wert mit umgedrehtem Vorzeichen. Damit gilt $\tan(63^\circ) = -\tan(117^\circ)$.
  • Wenn wir das rechtwinklige Dreieck für $\tan(80^\circ)$ an der $x$-Achse spiegeln, dann ergibt sich bei einem Winkel von $360^\circ - 80^\circ = 280^\circ$ derselbe Wert mit umgekehrtem Vorzeichen. Damit gilt $\tan(80^\circ) = -\tan(280^\circ)$.