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Flächenformel des regelmäßigen n-Ecks

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Lerntext zum Thema Flächenformel des regelmäßigen n-Ecks

Flächeninhalt eines regelmäßigen Vielecks – Voraussetzungen

Wenn du den Flächeninhalt eines regelmäßigen $n$-Ecks berechnen möchtest, solltest du dich zunächst fragen, was die Eigenschaften eines solchen Vielecks sind:

Ein Vieleck ist regelmäßig, wenn alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind.

Spricht man von einem $n$-Eck, dann gibt $n$ die Anzahl der Seiten und Winkel an, z. B. hat ein regelmäßiges Fünfeck genau fünf gleich lange Seiten und fünf gleich große Winkel.

2951_FlaechenformelDesRegelmaessigenN-Eck_01_(1).svg

Jedes regelmäßige $n$-Eck kann in $n$ deckungsgleiche Dreiecke eingeteilt werden. Diese sind gleichschenklig und haben den Mittelpunktswinkel $\frac{360 °}{n}$.

Das Fünfeck kann also in fünf Dreiecke eingeteilt werden, die an der Spitze einen Innenwinkel von $\alpha=\frac{360 °}{5}=72 °$ haben.

Die Einteilung in Dreiecke ist die Grundlage zur Berechnung des Flächeninhalts. Dazu solltest du die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks ($A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$) und die Definition des Tangens eines Winkels ($\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$) kennen.

Beispielrechnung: der Flächeninhalt eines regelmäßigen Vierecks

Wir schauen uns ein regelmäßiges $n$-Eck mit $n=4$ und der Seitenlänge $a$ an. Ein regelmäßiges Viereck ist ein Quadrat, dessen Flächeninhalt wir sehr einfach mit der Formel ${A=a^2}$ berechnen können. Wir wollen für dieses Beispiel allerdings einen anderen Rechenweg finden, um die Überlegungen anschließend auf ein regelmäßiges Fünfeck, Sechseck etc. übertragen zu können.

2951_FlaechenformelDesRegelmaessigenN-Eck_02_(1).svg

Zunächst teilen wir das regelmäßige Viereck durch die Diagonalen in vier Dreiecke ein. Es gilt:

$A_{\text{Viereck}}=4\cdot A_{\text{Dreieck}}$

Den Flächeninhalt eines Dreiecks können wir bestimmen durch:

$A_{\text{Dreieck}}=\frac{1}{2} a\cdot h$

Nun müssen wir $h$ bestimmen. Die Höhe teilt ein Dreieck wiederum in zwei rechtwinklige Dreiecke, der Winkel $\alpha$ und die Seite $a$ werden dabei halbiert. Wir schauen uns eines der rechtwinkligen Dreiecke an und und wenden den Tangens an:

$\tan\big(\frac{\alpha}{2}\big)=\frac{a/2}{h}=\frac{a}{2h}$

Diese Gleichung formen wir nach $h$ um:

$\begin{array}{lcll} \tan\big(\frac{\alpha}{2}\big) & = & \frac{a}{2h} & \vert \cdot 2h \\ \\ \tan\big(\frac{\alpha}{2}\big)\cdot 2h & = & a &\vert : \tan\big(\frac{\alpha}{2}\big) \quad \vert :2\\\\ h&=&\frac{a}{2\tan\big(\frac{\alpha}{2}\big)} \end{array}$

Dann setzen wir den Term für $h$ in obige Gleichung ein:

$A_{\text{Dreieck}}=\frac{1}{2} a\cdot \frac{a}{2\tan\big(\frac{\alpha}{2}\big)}$

Anschließend fassen wir den Term zusammen:

$\begin{array}{lcl} A_{\text{Dreieck}} & = & \frac{a \cdot a}{2\cdot 2\tan\big(\frac{\alpha}{2}\big)} \\ \\ & = & \frac{a^2}{4\tan\big(\frac{\alpha}{2}\big)} \end{array}$

Mit der so erhaltenen Formel können wir die Fläche des Vierecks in Abhängigkeit von $a$ und $\alpha$ angeben:

$A_{\text{Viereck}}=4\cdot A_{\text{Dreieck}}=4 \cdot \frac{a^2}{4\tan\big(\frac{\alpha}{2}\big)}= \frac{a^2}{\tan\big(\frac{\alpha}{2}\big)}$

Schauen wir uns als Letztes den Winkel $\alpha$ an. Da das Viereck in vier Dreiecke eingeteilt wurde, gilt:

$\alpha=\frac{360 °}{4}=90 °$

Somit ist $\frac{\alpha}{2}=45 °$. Für den Tangens gilt $\tan(45 °)=1$ und somit stimmt unsere Formel für den Flächeninhalt des Vierecks:

$A_{\text{Viereck}}= \frac{a^2}{1}=a^2$

Ein regelmäßiges Viereck mit der Seitenlänge $a=\pu{5 cm}$ hat damit einen Flächeninhalt von

$A=(\pu{5 cm})^2=\pu{25 cm^2}$.

Beispielrechnung: der Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks

Gehe jetzt die einzelnen Schritte zur Bestimmung des Flächeninhalts eines Sechsecks durch.

2951_FlaechenformelDesRegelmaessigenN-Eck_03_(1).svg

Wie kann man den Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks durch Flächeninhalte von Dreiecken darstellen?
Wie groß ist der Flächeninhalt eines der Dreiecke?
Wie kann man die Höhe $h$ in Abhängigkeit von $a$ und $\alpha$ angeben?
Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängigkeit von $a$ und $\alpha$?
Wie groß ist der Flächeninhalt des Sechsecks in Abhängigkeit von $a$ und $\alpha$?
Wie groß ist der Winkel $\alpha$?
Wie groß ist der Flächeninhalt des Sechsecks in Abhängigkeit von $a$?
Wie groß ist der Flächeninhalt des Sechsecks mit der Seitenlänge $a=\pu{5 cm}$?

Verallgemeinerung: der Flächeninhalt eines regelmäßigen $n$-Ecks

Alle oben durchgeführten Schritte können auch allgemein für ein beliebiges $n$-Eck vorgenommen werden. Die Formel für den Flächeninhalt, der dann $n$ Dreiecken entspricht, ist weiterhin:

$A_{\text{Dreieck}}= \frac{a^2}{4\tan\big(\frac{\alpha}{2}\big)}$

Dabei haben diese den Winkel:

$\alpha=\frac{360 °}{n}$ und es gilt $\frac{\alpha}{2}=\frac{180 °}{n}$

Daraus ergibt sich die Formel für den Flächeninhalt eines $n$-Ecks:

$A_{\text{$n$-Eck}}=n\cdot A_{\text{Dreieck}}=n \cdot \frac{a^2}{4\tan\big(\frac{\alpha}{2}\big)}=n\cdot\frac{a^2}{4 \tan\big(\frac{180 °}{n}\big)}$

Für den Flächeninhalt eines regelmäßigen $n$-Ecks mit Seitenlänge $a$ gilt:

$A_{\text{$n$-Eck}}=n\cdot\frac{a^2}{4 \tan\big(\frac{180 °}{n}\big)}$

Mit dieser Formel kannst du den Flächeninhalt eines regelmäßigen Vielecks berechnen und benötigst dafür nur die Anzahl der Ecken $n$ und die Seitenlänge einer Seite $a$.

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Flächenformel des regelmäßigen n-Ecks Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Flächenformel des regelmäßigen n-Ecks kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme den Flächeninhalt eines Quadrates mit Hilfe eines Dreiecks.

    Tipps

    Allgemein ist der Flächeninhalt eines Dreiecks gegeben als die Hälfte des Produktes einer Seite und der zugehörigen Höhe.

    $A_\Delta=\frac{a\cdot h_A}2=\frac{b\cdot h_B}2=\frac{c\cdot h_C}2$

    In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens wie folgt definiert:

    $\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Ankathete von } \alpha}$.

    Lösung

    Du weißt sicher, dass der Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge $a$ durch $A=a^2$ gegeben ist. Für diese Aufgabe tun wir nun so, als ob wir das noch nicht wüssten.

    Wir möchten in dieser Aufgabe eine Formel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen Vielecks herleiten. Dies tun wir am Beispiel eines regelmäßigen Vierecks, also eines Quadrates.

    Hier siehst du ein in einen Kreis eingeschriebenes Quadrat (rot) mit der Seitenlänge $a$. Der Flächeninhalt dieses Quadrates ist gleich dem Vierfachen des Flächeninhaltes des gleichschenkligen Dreiecks (schwarz) mit der Basis $a$, der Höhe $h$ und dem Winkel $\alpha$. Dies erkennt man daran, dass das Dreieck vier Mal in das Quadrat hineinpasst.

    Es gilt also $A_\square=4\cdot A_\Delta$.

    Wir berechnen nun den Flächeninhalt des Dreiecks. Allgemein ist der Flächeninhalt eines Dreiecks gegeben als die Hälfte des Produktes einer Seite und der zugehörigen Höhe.

    Somit ist $A_\Delta=\frac{a\cdot h}2$.

    Die Höhe kann mit Hilfe des Winkels $\alpha$ und der Seite $\frac a2$ berechnet werden. Verwende hierfür die Definition des Tangens:

    $\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Ankathete von } \alpha}$.

    Damit ist $\tan(\alpha)=\frac{\frac a2}{h}$.

    Dies kann äquivalent nach $h$ umgeformt werden:

    $h=\frac{a}{2\tan(\alpha)}$.

    Nun kannst du den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen:

    $\begin{array}{rclll} A_\Delta&=&\frac{a\cdot \frac{a}{2\tan(\alpha)}}{2}\\\\ &=&\frac{a^2}{4\tan(\alpha)} \end{array}$

    Dies setzen wir nun in die Gleichung für Quadrate ein:

    $A_\square=4\cdot A_\Delta=4\cdot\frac{a^2}{4\tan(\alpha)}=\frac{a^2}{\tan(\alpha)}$.

    Der Vollwinkel beträgt $360^\circ$. Da $\alpha$ ein Achtel dieses Winkels ist, gilt $\alpha = \frac{360^\circ}{8}=45^\circ$

    Da auch noch $\tan(45) = 1$ gilt, ergibt sich insgesamt die bereits bekannte Formel für den Flächeninhalt von Quadraten:

    $A_\square=a^2$.

  • Gib die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines regelmäßigen $n$-Ecks an.

    Tipps

    Jedes Dreieck hat als Grundseite die Seitenlänge des $n$-Ecks, also $a$.

    Der Vollwinkel beträgt $360^\circ$.

    Der eingezeichnete Winkel ist die Hälfte des von den beiden gleich langen Schenkeln eingeschlossenen Winkels.

    Lösung

    Hier siehst du ein regelmäßiges Sechseck. Ebenso kannst du ein beliebiges regelmäßiges $n$-Eck darstellen.

    Es ist $A_n=n\cdot A_\Delta$.

    Jedes dieser Dreiecke hat als Grundseite die Seitenlänge des n-Ecks, also $a$. Das bedeutet insbesondere, dass das $n$-Eck sich aus $n$ solcher Dreiecke zusammensetzt.

    Der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

    $A_\Delta=\frac{a^2}{4\tan(\alpha)}$

    Dabei ist $\alpha=\frac{360^\circ}{2n}=\frac{180^\circ}n$.

    Zusammen ergibt sich dann die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen $n$-Ecks:

    $A_n=\frac{n\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}n\right)}$

  • Ordne jedem der gegebenen regelmäßigen $n$-Ecke die Flächeninhaltsformel zu.

    Tipps

    Verwende diese Formel:

    $A_n=\frac{n\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}n\right)}$

    Schaue dir als Beispiel den Fall mit $n=8$ an.

    $A_8=\frac{8\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}8\right)}=\frac{2\cdot a^2}{\tan(22,5^\circ)}$.

    Da $\tan(22,5^\circ)\approx 0,414$ ist, führt dies zu $A_8\approx 4,8a^2$.

    Es ist $\frac3{\sqrt 3}=\sqrt 3$.

    Lösung

    Die Flächeninhaltsformel für regelmäßige $n$-Ecke lautet:

    $A_n=\frac{n\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}n\right)}$

    • $n=3$ führt zu $A_3=\frac{3\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}3\right)}=\frac{3\cdot a^2}{4\tan(60^\circ)}=\frac{3\cdot a^2}{4\cdot \sqrt3 }=\frac{\sqrt 3}{4}~a^2$.
    • $n=4$ führt zu $A_4=\frac{4\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}4\right)}=\frac{a^2}{\tan(45^\circ)}=a^2$.
    • $n=5$ führt zu $A_5=\frac{5\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}5\right)}=\frac{5\cdot a^2}{4\tan(36^\circ)}$. Es ist $\tan(36^\circ)\approx0,727$ und damit $A_5\approx1,72 a^2$.
    • $n=6$ führt zu $A_6=\frac{6\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}6\right)}=\frac{3\cdot a^2}{2\tan(60^\circ)}=\frac{3\cdot a^2}{2\cdot \frac1{\sqrt3}}=\frac32\sqrt 3~a^2$.
  • Berechne den Flächeninhalt der regelmäßigen $n$-Ecke.

    Tipps

    Verwende die Formel für den Flächeninhalt von $n$-Ecken:

    $A_n=\frac{n\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}n\right)}$

    Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf DEG eingestellt ist.

    Lösung

    Die allgemeine Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines regelmäßigen $n$-Ecks lautet:

    $A_n=\frac{n\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}n\right)}$

    Das bedeutet, dass du bei den angegebenen $n$-Ecken jeweils den konkreten Wert für $n$ und für $a$ einsetzt.

    Das regelmäßige Dreieck (bzw. das gleichseitige Dreieck)

    $A_3=\frac{3\cdot (15~cm)^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}3\right)}\approx97,4~cm^2$

    Das regelmäßige Fünfeck

    $A_5=\frac{5\cdot (12~cm)^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}5\right)}\approx247,7~cm^2$

    Das regelmäßige Sechseck

    $A_6=\frac{6\cdot (10~cm)^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}6\right)}\approx259,8~cm^2$

    Das regelmäßige Achteck

    $A_8=\frac{8\cdot (6~cm)^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}8\right)}\approx173,8~cm^2$

  • Beschreibe, was ein Quadrat ist.

    Tipps

    Ein regelmäßiges Vieleck oder auch $n$-Eck ist ein Vieleck, das sowohl gleichseitig als auch gleichwinklig ist.

    Das bedeutet, dass alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß sind.

    Hier siehst du ein regelmäßiges Sechseck.

    Lösung

    Ein Quadrat ist ein regelmäßiges Viereck. Es kann von einem Kreis umschrieben werden.

    Der Flächeninhalt des Quadrates setzt sich aus dem Flächeninhalt vier gleichschenkliger Dreiecke zusammen.

    Der Flächeninhalt berechnet sich nach der Flächenformel des Dreiecks:

    $A_\Delta=\frac{a\cdot h}2$.

  • Leite mit dem Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks die Seitenlänge eines flächengleichen regelmäßigen Dreiecks her.

    Tipps

    Die Formel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks lautet wie folgt:

    $A_6=\frac32\sqrt 3~a^2$

    Die Formel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen Dreiecks lautet wie folgt:

    $A_3=\frac{\sqrt 3}{4}~a^2$

    Du kannst die Flächeninhaltsformel für ein regelmäßiges Dreieck nach $a$ umformen.

    Hier siehst du die Umformung:

    $\begin{array}{rclll} A_3&=&\frac{\sqrt 3}{4}~a^2&|&\cdot \frac4{\sqrt3}\\\\ \frac{4A_3}{\sqrt3}&=&a^2&|&\sqrt{~~~}\\\\ \sqrt{\frac{4A_3}{\sqrt3}}&=&a \end{array}$

    Lösung

    Zunächst berechnen wir den Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks mit der Seitenlänge $a=4~cm$:

    $A_6=\frac{6\cdot 4^2}{4\tan\left(\frac{180}6\right)}=\frac{24}{\tan(30)}=24\cdot \sqrt 3\approx41,6~cm^2$

    Schauen wir uns nun die Flächeninhaltsformel für ein regelmäßiges Dreieck an:

    $A_3=\frac{\sqrt 3}{4}~a^2$

    Wir stellen diese nach $a$ um:

    $\begin{array}{rclll} A_3&=&\frac{\sqrt 3}{4}~a^2&|&\cdot \frac4{\sqrt3}\\\\ \frac{4A_3}{\sqrt3}&=&a^2&|&\sqrt{~~~}\\\\ \sqrt{\frac{4A_3}{\sqrt3}}&=&a \end{array}$

    Nun setzen wir $A_6=24\cdot \sqrt 3$ ein:

    $a=\sqrt{\frac{4\cdot 24\cdot \sqrt 3}{\sqrt3}}=\sqrt{4\cdot 24}=4\cdot \sqrt 6\approx 9,8~cm$

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