Flächenformel des regelmäßigen n-Ecks

Flächenformel des regelmäßigen n-Ecks Übung

• Bestimme den Flächeninhalt eines Quadrates mit Hilfe eines Dreiecks.

  Tipps

  Allgemein ist der Flächeninhalt eines Dreiecks gegeben als die Hälfte des Produktes einer Seite und der zugehörigen Höhe.

  $A_\Delta=\frac{a\cdot h_A}2=\frac{b\cdot h_B}2=\frac{c\cdot h_C}2$

  In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens wie folgt definiert:

  $\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Ankathete von } \alpha}$.

  Lösung

  Du weißt sicher, dass der Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge $a$ durch $A=a^2$ gegeben ist. Für diese Aufgabe tun wir nun so, als ob wir das noch nicht wüssten.

  Wir möchten in dieser Aufgabe eine Formel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen Vielecks herleiten. Dies tun wir am Beispiel eines regelmäßigen Vierecks, also eines Quadrates.

  Hier siehst du ein in einen Kreis eingeschriebenes Quadrat (rot) mit der Seitenlänge $a$. Der Flächeninhalt dieses Quadrates ist gleich dem Vierfachen des Flächeninhaltes des gleichschenkligen Dreiecks (schwarz) mit der Basis $a$, der Höhe $h$ und dem Winkel $\alpha$. Dies erkennt man daran, dass das Dreieck vier Mal in das Quadrat hineinpasst.

  Es gilt also $A_\square=4\cdot A_\Delta$.

  Wir berechnen nun den Flächeninhalt des Dreiecks. Allgemein ist der Flächeninhalt eines Dreiecks gegeben als die Hälfte des Produktes einer Seite und der zugehörigen Höhe.

  Somit ist $A_\Delta=\frac{a\cdot h}2$.

  Die Höhe kann mit Hilfe des Winkels $\alpha$ und der Seite $\frac a2$ berechnet werden. Verwende hierfür die Definition des Tangens:

  $\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Ankathete von } \alpha}$.

  Damit ist $\tan(\alpha)=\frac{\frac a2}{h}$.

  Dies kann äquivalent nach $h$ umgeformt werden:

  $h=\frac{a}{2\tan(\alpha)}$.

  Nun kannst du den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen:

  $\begin{array}{rclll} A_\Delta&=&\frac{a\cdot \frac{a}{2\tan(\alpha)}}{2}\\\\ &=&\frac{a^2}{4\tan(\alpha)} \end{array}$

  Dies setzen wir nun in die Gleichung für Quadrate ein:

  $A_\square=4\cdot A_\Delta=4\cdot\frac{a^2}{4\tan(\alpha)}=\frac{a^2}{\tan(\alpha)}$.

  Der Vollwinkel beträgt $360^\circ$. Da $\alpha$ ein Achtel dieses Winkels ist, gilt $\alpha = \frac{360^\circ}{8}=45^\circ$

  Da auch noch $\tan(45) = 1$ gilt, ergibt sich insgesamt die bereits bekannte Formel für den Flächeninhalt von Quadraten:

  $A_\square=a^2$.

• Gib die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines regelmäßigen $n$-Ecks an.

  Tipps

  Jedes Dreieck hat als Grundseite die Seitenlänge des $n$-Ecks, also $a$.

  Der Vollwinkel beträgt $360^\circ$.

  Der eingezeichnete Winkel ist die Hälfte des von den beiden gleich langen Schenkeln eingeschlossenen Winkels.

  Lösung

  Hier siehst du ein regelmäßiges Sechseck. Ebenso kannst du ein beliebiges regelmäßiges $n$-Eck darstellen.

  Es ist $A_n=n\cdot A_\Delta$.

  Jedes dieser Dreiecke hat als Grundseite die Seitenlänge des n-Ecks, also $a$. Das bedeutet insbesondere, dass das $n$-Eck sich aus $n$ solcher Dreiecke zusammensetzt.

  Der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

  $A_\Delta=\frac{a^2}{4\tan(\alpha)}$

  Dabei ist $\alpha=\frac{360^\circ}{2n}=\frac{180^\circ}n$.

  Zusammen ergibt sich dann die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen $n$-Ecks:

  $A_n=\frac{n\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}n\right)}$

• Ordne jedem der gegebenen regelmäßigen $n$-Ecke die Flächeninhaltsformel zu.

  Tipps

  Verwende diese Formel:

  $A_n=\frac{n\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}n\right)}$

  Schaue dir als Beispiel den Fall mit $n=8$ an.

  $A_8=\frac{8\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}8\right)}=\frac{2\cdot a^2}{\tan(22,5^\circ)}$.

  Da $\tan(22,5^\circ)\approx 0,414$ ist, führt dies zu $A_8\approx 4,8a^2$.

  Es ist $\frac3{\sqrt 3}=\sqrt 3$.

  Lösung

  Die Flächeninhaltsformel für regelmäßige $n$-Ecke lautet:

  $A_n=\frac{n\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}n\right)}$

  • $n=3$ führt zu $A_3=\frac{3\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}3\right)}=\frac{3\cdot a^2}{4\tan(60^\circ)}=\frac{3\cdot a^2}{4\cdot \sqrt3 }=\frac{\sqrt 3}{4}~a^2$.
  • $n=4$ führt zu $A_4=\frac{4\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}4\right)}=\frac{a^2}{\tan(45^\circ)}=a^2$.
  • $n=5$ führt zu $A_5=\frac{5\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}5\right)}=\frac{5\cdot a^2}{4\tan(36^\circ)}$. Es ist $\tan(36^\circ)\approx0,727$ und damit $A_5\approx1,72 a^2$.
  • $n=6$ führt zu $A_6=\frac{6\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}6\right)}=\frac{3\cdot a^2}{2\tan(60^\circ)}=\frac{3\cdot a^2}{2\cdot \frac1{\sqrt3}}=\frac32\sqrt 3~a^2$.

• Berechne den Flächeninhalt der regelmäßigen $n$-Ecke.

  Tipps

  Verwende die Formel für den Flächeninhalt von $n$-Ecken:

  $A_n=\frac{n\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}n\right)}$

  Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf DEG eingestellt ist.

  Lösung

  Die allgemeine Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines regelmäßigen $n$-Ecks lautet:

  $A_n=\frac{n\cdot a^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}n\right)}$

  Das bedeutet, dass du bei den angegebenen $n$-Ecken jeweils den konkreten Wert für $n$ und für $a$ einsetzt.

  Das regelmäßige Dreieck (bzw. das gleichseitige Dreieck)

  $A_3=\frac{3\cdot (15~cm)^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}3\right)}\approx97,4~cm^2$

  Das regelmäßige Fünfeck

  $A_5=\frac{5\cdot (12~cm)^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}5\right)}\approx247,7~cm^2$

  Das regelmäßige Sechseck

  $A_6=\frac{6\cdot (10~cm)^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}6\right)}\approx259,8~cm^2$

  Das regelmäßige Achteck

  $A_8=\frac{8\cdot (6~cm)^2}{4\tan\left(\frac{180^\circ}8\right)}\approx173,8~cm^2$

• Beschreibe, was ein Quadrat ist.

  Tipps

  Ein regelmäßiges Vieleck oder auch $n$-Eck ist ein Vieleck, das sowohl gleichseitig als auch gleichwinklig ist.

  Das bedeutet, dass alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß sind.

  Hier siehst du ein regelmäßiges Sechseck.

  Lösung

  Ein Quadrat ist ein regelmäßiges Viereck. Es kann von einem Kreis umschrieben werden.

  Der Flächeninhalt des Quadrates setzt sich aus dem Flächeninhalt vier gleichschenkliger Dreiecke zusammen.

  Der Flächeninhalt berechnet sich nach der Flächenformel des Dreiecks:

  $A_\Delta=\frac{a\cdot h}2$.

• Leite mit dem Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks die Seitenlänge eines flächengleichen regelmäßigen Dreiecks her.

  Tipps

  Die Formel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks lautet wie folgt:

  $A_6=\frac32\sqrt 3~a^2$

  Die Formel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen Dreiecks lautet wie folgt:

  $A_3=\frac{\sqrt 3}{4}~a^2$

  Du kannst die Flächeninhaltsformel für ein regelmäßiges Dreieck nach $a$ umformen.

  Hier siehst du die Umformung:

  $\begin{array}{rclll} A_3&=&\frac{\sqrt 3}{4}~a^2&|&\cdot \frac4{\sqrt3}\\\\ \frac{4A_3}{\sqrt3}&=&a^2&|&\sqrt{~~~}\\\\ \sqrt{\frac{4A_3}{\sqrt3}}&=&a \end{array}$

  Lösung

  Zunächst berechnen wir den Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks mit der Seitenlänge $a=4~cm$:

  $A_6=\frac{6\cdot 4^2}{4\tan\left(\frac{180}6\right)}=\frac{24}{\tan(30)}=24\cdot \sqrt 3\approx41,6~cm^2$

  Schauen wir uns nun die Flächeninhaltsformel für ein regelmäßiges Dreieck an:

  $A_3=\frac{\sqrt 3}{4}~a^2$

  Wir stellen diese nach $a$ um:

  $\begin{array}{rclll} A_3&=&\frac{\sqrt 3}{4}~a^2&|&\cdot \frac4{\sqrt3}\\\\ \frac{4A_3}{\sqrt3}&=&a^2&|&\sqrt{~~~}\\\\ \sqrt{\frac{4A_3}{\sqrt3}}&=&a \end{array}$

  Nun setzen wir $A_6=24\cdot \sqrt 3$ ein:

  $a=\sqrt{\frac{4\cdot 24\cdot \sqrt 3}{\sqrt3}}=\sqrt{4\cdot 24}=4\cdot \sqrt 6\approx 9,8~cm$