Stochastische Unabhängigkeit – Beispielaufgabe

Stochastische Unabhängigkeit – Beispielaufgabe Übung

• Gib an, was stochastische Unabhängigkeit bedeutet.

  Tipps

  Beispiel zweifacher Münzwurf:
  Ob wir beim ersten Wurf Kopf oder Zahl erhalten haben, hat keinen Einfluss darauf, wie wahrscheinlich es ist, beim nächsten mal Kopf zu werfen. Die Wahrscheinlichkeit beim zweiten mal Kopf zu werfen bleibt $\frac{1}{2}$, unabhängig davon, was das Ergebnis des vorherigen Wurfes war. Die Ereignisse $A$ – Kopf beim ersten Wurf und $B$ – Kopf beim zweiten Wurf, sind also stochastisch unabhängig.

  Damit zwei Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind, muss die Wahrscheinlichkeit für $A$ und $B$ gleich der Wahrscheinlichkeit von $A$ mal der Wahrscheinlichkeit von $B$ sein.

  Lösung

  Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig voneinander, wenn das Eintreten des einen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflusst. Allgemein gilt für stochastische Unabhängigkeit die Bedingung:

  $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \quad \Leftrightarrow \quad P_A(B) = P(B)$

  In Worten lautet dies:
  Ist die Wahrscheinlichkeit von $B$ unter der Bedingung $A$ genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit von $B$ ohne weitere Bedingung, so sprechen wir von stochastischer Unabhängigkeit der beiden Ereignisse.

  Die Ereignisse $A$ und $B$ sind hingegen stochastisch abhängig, wenn gilt:

  $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)~$ beziehungsweise $~P_A(B) \neq P(B) $

  
  

  Somit sind folgende Aussagen korrekt:

  • Für stochastische Unabhängigkeit gilt die Bedingung: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $
  • Die Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch abhängig, wenn gilt: $P_A(B) \neq P(B) $

  
  

  Hingegen sind folgende Aussagen falsch:

  • Die Wahrscheinlichkeit von $B$ unter der Bedingung $A$ ist genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$.

  Korrekt lautet die Formulierung: Ist die Wahrscheinlichkeit von $B$ unter der Bedingung $A$ genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit von $B$ ohne weitere Bedingung, so sprechen wir von stochastischer Unabhängigkeit der beiden Ereignisse.

  • $P_A(B) = P(A) \cdot P(B) \quad \Leftrightarrow \quad {P_A(B) = P(B) }$

  Die erste Gleichung ist falsch. Die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit lautet:

  $P_A(B)= \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$

  Hingegen gilt für die stochastische Unabhängigkeit die Gleichung:

  $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

  Eingesetzt erhalten wir mit der ersten Bedingung die zweite:

  ${P_A(B)= \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} = \dfrac{P(A) \cdot P(B)}{P(A)} = P(B)}$

• Belege die stochastische Unabhängigkeit der beiden Ereignisse $A$ und $B$.

  Tipps

  In der Schnittmenge $A \cap B$ sind alle Elemente enthalten, die sowohl in der Menge $A$ als auch in der Menge $B$ sind.

  Damit zwei Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind, muss die Wahrscheinlichkeit für $A$ und $B$ gleich der Wahrscheinlichkeit von $A$ mal der Wahrscheinlichkeit von $B$ sein.

  Lösung

  Damit zwei Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind, muss folgende Formel erfüllt sein:

  $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

  Wir untersuchen das Beispiel:
  Aus einem Blatt mit $52$ Karten wird zufällig eine Karte gezogen.

  $A$: Die Karte ist ein Ass.

  $B$: Die Karte hat die Farbe Kreuz.

  Ein Skatblatt enthält $52$ Karten, je $13$ in den vier Farben. Die Ergebnismenge enthält also $52$ Elemente.

  Die Menge $A$ enthält $\color{#99CC00}{\mathbf{4}}$ Elemente.

  $\quad \implies P(A)=\color{#99CC00}{\mathbf{\dfrac{4}{52}}}$

  Die Menge $B$ enthält $\color{#99CC00}{\mathbf{13}}$ Elemente.

  $\quad \implies P(B)=\color{#99CC00}{\mathbf{\dfrac{13}{52}}}$

  Wir betrachten nun das Produkt:

  $P(A) \cdot P(B)= \color{#99CC00}{\mathbf{\dfrac{4}{52}}}\color{black}{ \cdot} \color{#99CC00}{\mathbf{\dfrac{13}{52}}}\color{black}{ =} \color{#99CC00}{\mathbf{\dfrac{1}{52}}}$

  Wir bilden nun die Schnittmenge $A \cap B$. In ihr sind alle Elemente enthalten, die sowohl in der Menge $A$ als auch in der Menge $B$ sind. In unserem Fall gilt dies nur für Kreuz Ass.
  Da in der Menge $A \cap B$ nur eines von $52$ möglichen Ergebnissen enthalten ist, gilt:
  $P(A \cap B) = \color{#99CC00}{\mathbf{\dfrac{1}{52}}}$

  Schlussfolgerung:
  Da $\color{#99CC00}{\mathbf{P(A) \cdot P(B)}}$ und $\color{#99CC00}{\mathbf{P(A \cap B)}}$ das gleiche Ergebnis haben, sind die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig. Die Formel
  $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
  ist erfüllt.

• Prüfe die Ereignisse paarweise auf stochastische Abhängigkeit.

  Tipps

  Bestimme zunächst die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $A$–$D$.

  Beispiel:
  $C$: Die Karte ist kleiner als $5$. Dies gilt für die $1$, die $2$, die $3$ und die $4$ in allen vier Farben.
  $ P(C)= \dfrac{16}{52} = \dfrac{4}{13}$

  Betrachte dann die Verknüpfungen.

  Beispiel: $B \cap C$:
  Die Karte ist ein König und kleiner $5$. Eine solche Karte gibt es nicht.

  Lösung

  Wir überprüfen folgende Formeln:

  • $A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig, wenn:

  $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

  • $A$ und $B$ sind stochastisch abhängig, wenn:

  $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$

  $\,$

  Wir bestimmen zuerst die Wahrscheinlichkeiten der gegebenen Ereignisse:

  • $A$: Die Karte hat die Farbe Pik.

  $\quad$ $\quad P(A)= \dfrac{13}{52} = \dfrac{1}{4}$

  • $B$: Die Karte ist ein König.

  $\quad$ $\quad P(B)= \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}$

  • $C$: Die Karte ist kleiner als $5$. Dies gilt für die $1$, die $2$, die $3$ und die $4$.

  $\quad$ $\quad P(C)= \dfrac{16}{52} = \dfrac{4}{13}$

  • $D$: Die Karte ist eine $4$ oder hat die Farbe Herz.

  $\quad$ $\quad P(D)= \dfrac{16}{52} = \dfrac{4}{13}$

  $\,$

  Wir bilden nun die jeweiligen Schnittmengen und vergleichen die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten:

  $\underline{A \cap B}$
  Die Karte ist ein Pik König.
  $P(A \cap B)= \dfrac{1}{52}$
  ${P(A) \cdot P(B) = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{13} = \dfrac{1}{52} = P(A \cap B)}$
  $\rightarrow$ stochastisch unabhängig

  $\underline{B \cap C}$
  Die Karte ist ein König und kleiner $5$. Eine solche Karte gibt es nicht.
  $P(B \cap C)= 0$
  ${P(B) \cdot P(C) = \dfrac{1}{13} \cdot \dfrac{4}{13} = \dfrac{4}{169} \neq P(B \cap C)}$
  $\rightarrow$ stochastisch abhängig

  $\underline{C \cap D}$
  Die Karte ist eine $4$ oder eine Herz $1$, $2$ oder $3$.
  $P(C \cap D)= \dfrac{7}{52}$
  ${P(C) \cdot P(D) = \dfrac{4}{13} \cdot \dfrac{4}{13} = \dfrac{16}{169} \neq P(C \cap D)}$
  $\rightarrow$ stochastisch abhängig

  $\underline{A \cap C}$
  Die Karte ist eine Pik $1$, $2$, $3$ oder $4$.
  $P(A \cap C)= \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}$
  ${P(A) \cdot P(C) = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{4}{13} = \dfrac{1}{13} = P(A \cap C)}$
  $\rightarrow$ stochastisch unabhängig

  $\underline{B \cap D}$
  Die Karte ist ein Herz König.
  $P(B \cap D)= \dfrac{1}{52}$
  ${P(B) \cdot P(D) = \dfrac{1}{13} \cdot \dfrac{4}{13} = \dfrac{4}{169} \neq P(B \cap D)}$
  $\rightarrow$ stochastisch abhängig

  $\underline{A \cap D}$
  Die Karte ist eine Pik $4$.
  $P(A \cap D)= \dfrac{1}{52} $
  ${P(A) \cdot P(D) = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{4}{13} = \dfrac{1}{13} \neq P(A \cap D)}$
  $\rightarrow$ stochastisch abhängig

• Ermittle, welche der Ereignisse stochastisch unabhängig sind.

  Tipps

  Notiere zunächst, welche Karten in den jeweiligen Mengen enthalten sind und bestimme die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.

  stochastisch unabhängig: $\quad {P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)}$

  stochastisch abhängig: $\quad {P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)}$

  Lösung

  Damit zwei Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind, muss folgende Formel erfüllt sein:

  $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

  Die Ereignisse $A$ und $B$ sind hingegen stochastisch abhängig, wenn gilt:

  $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$

  $\,$

  Um die stochastische Abhängigkeit der Ereignisse zu untersuchen, beschreiben wir zunächst die jeweiligen Ergebnismengen und bestimmen die Wahrscheinlichkeiten. Dazu vergegenwärtigen wir uns, dass auf dem Stapel von dem ursprünglich $52$ Karten noch $48$ Karten liegen, da vier Karten bereits aufgedeckt sind.

  • $A$: Die Karte hat die Farbe Pik.

  Es gibt $13$ Pik-Karten, von denen eine bereits aufgedeckt ist. Es sind also noch $12$ mögliche Karten im Stapel enthalten.
  $\quad P(A)= \dfrac{12}{48} = \dfrac{1}{4}$

  • $B$: Die Karte ist höher als $5$.

  Von jeder Farbe gibt es $8$ Karten, die höher als $5$ sind, davon ist eine bereits aufgedeckt (das Pik Ass). Es sind also noch $31$ mögliche Karten im Stapel.
  $\quad P(B)= \dfrac{31}{48}$

  • $C$: Die Karte ist ein Ass.

  Es gibt vier Asse, von denen eines bereits aufgedeckt ist. Im Stapel sind also noch drei Asse enthalten.
  $\quad P(C)= \dfrac{3}{48} = \dfrac{1}{16}$

  • $D$: Die Karte ist eine $2$ oder eine Dame.

  Es gibt vier $2$en und vier Damen. Im Stapel sind also $8$ mögliche Karten.
  $\quad P(D)= \dfrac{8}{48} = \dfrac{1}{6}$

  $\,$

  Wir bilden nun die jeweiligen Schnittmengen und vergleichen die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten:

  $\underline{A \cap B}$
  Die Karte ist höher als $5$ und Pik. Davon gibt es 8 mögliche Karten, wovon eine (das Pik Ass) bereits aufgedeckt ist.
  $\quad P(A \cap B)= \dfrac{7}{48}$

  $\quad P(A) \cdot P(B) = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{31}{48} = \dfrac{31}{192} \neq P(A \cap B)$
  $\rightarrow$ stochastisch abhängig

  $\underline{B \cap C}$
  Die Karte höher als $5$ und ein Ass. Dies gilt für alle vier Asse, von denen eines bereits aufgedeckt ist.
  $\quad P(B \cap C)= \dfrac{3}{48}$

  $\quad P(B) \cdot P(C) = \dfrac{31}{48} \cdot \dfrac{1}{16} = \dfrac{31}{768} \neq P(B \cap C)$
  $\rightarrow$ stochastisch abhängig

  $\underline{C \cap D}$
  Die Karte ist ein Ass und eine $2$ oder eine Dame. Eine solche Karte gibt es nicht.
  $\quad P(C \cap D)= 0$
  $\quad P(C) \cdot P(D) = \dfrac{1}{16} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{96} \neq P(C \cap D)$
  $\rightarrow$ stochastisch abhängig

  $\underline{A \cap C}$
  Die Karte ist Pik und ein Ass. Es handelt sich also um das Pik Ass.
  $\quad P(A \cap C)= \dfrac{1}{48}$

  $\quad P(A) \cdot P(C) = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{64} \neq P(A \cap C)$
  $\rightarrow$ stochastisch abhängig

  $\underline{B \cap D}$
  Die Karte ist höher als $5$ und eine $2$ oder eine Dame. Dies trifft nur auf die Damen zu. Es gibt vier Damen.
  $\quad P(B \cap D)= \dfrac{4}{48} = \dfrac{1}{12}$

  $\quad P(B) \cdot P(D) = \dfrac{31}{48} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{31}{288} \neq P(B \cap D)$
  $\rightarrow$ stochastisch abhängig

  $\underline{A \cap D}$
  Die Karte ist Pik und eine $2$ oder eine Dame. Es handelt sich also um eine Pik $2$ oder eine Pik Dame.
  $\quad P(A \cap D)= \dfrac{2}{48} = \dfrac{1}{24}$

  $\quad P(A) \cdot P(D) = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{24} = P(A \cap D)$
  $\rightarrow$ stochastisch unabhängig

  $\,$

  Die Ereignisse $\color{#99CC00}{A}$ und $\color{#99CC00}{D}$ sind stochastisch unabhängig.

• Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse.

  Tipps

  Überlege, wie viele Karten noch im Stapel sind.

  Hinweis: Insgesamt hat das Blatt $52$ Karten.

  Du kannst die Wahrscheinlichkeiten ermitteln, indem du die Anzahl der gegebenen durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse teilst.

  Lösung

  Um die gegebenen Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen, vergegenwärtigen wir uns noch einmal die Gegebenheiten:

  Von dem Deck mit $52$ Karten sind bereits $6$ Karten aufgedeckt. Auf dem Stapel verbleiben also $52-6 = 46$ Karten.

  Jede Karte ist gleich wahrscheinlich. Es handelt sich daher um ein sogenanntes Laplace-Experiment.

  Wir können die Wahrscheinlichkeiten daher mit der folgenden Formel bestimmen:

  $P=\dfrac{\text{Anzahl der gegebenen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}$

  Wir betrachten nun die einzelnen Ereignisse:

  Die Karte hat die Farbe Herz.
  In dem Deck gibt es $13$ Herz-Karten, von denen $4$ bereits aufgedeckt sind. In dem Stapel sind also noch $9$ Herzkarten von den insgesamt $46$ Karten vorhanden.
  Es gilt also:
  $P(\text{„Herz“}) = \dfrac{9}{46}$

  Die Karte ist ein König oder eine $8$.
  In dem Deck gibt es $4$ Könige und $4$ Achten. In dem Stapel sind also $8$ von den insgesamt $46$ Karten günstig.
  Es gilt also:
  $P(\text{„König oder }8\text{“}) = \dfrac{8}{46}$

  Die Karte ist eine Dame.
  In dem Deck gibt es $4$ Damen, von denen eine bereits aufgedeckt ist.
  Es gilt also:
  $P(\text{„Dame“}) = \dfrac{3}{46}$

  Die Karte ist ein Pik Ass.
  In dem Deck gibt es genau ein Pik Ass.
  Es gilt also:
  $P(\text{„Pik Ass“}) = \dfrac{1}{46}$

• Vervollständige die Ereignisse so, dass stochastische Unabhängigkeit vorliegt.

  Tipps

  Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit $P(B)$.

  Du kannst nun die bekannten Werte in die Formel
  $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
  einsetzen und nach $P(B)$ auflösen.

  Hier siehst du eine Übersicht zu den Augensummen beim doppelten Würfelwurf:

  $\begin{array}{c|cccccc} & \text{1} & \text{2} & \text{3} & \text{4} & \text{5} & \text{6} \\ \hline \text{1} & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \text{2} & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \text{3} & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \text{4} & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \text{5} & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ \text{6} & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \end{array}$

  Lösung

  Wir betrachten die Augensumme beim doppelten Würfelwurf in folgender Tabelle:

  $\begin{array}{c|cccccc} & \text{1} & \text{2} & \text{3} & \text{4} & \text{5} & \text{6} \\ \hline \text{1} & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \text{2} & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \text{3} & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \text{4} & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \text{5} & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ \text{6} & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \end{array}$

  Aufgabe 1:
  Die Wahrscheinlichkeit $P(A \cap B) $ ist gegeben. Wir bestimmen nun die Wahrscheinlichkeit $P(B)$:
  $B$: Der erste Würfel zeigt eine $4$.
  Da der erste Würfel insgesamt $6$ mögliche Augenzahlen hat, gilt: ${P(B)= \dfrac{1}{6}}$
  Da die beiden Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind, gilt folgende Formel:
  $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
  Wir können die Formel nach $P(A)$ umstellen und einsetzen:
  $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \quad \Leftrightarrow \quad {P(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}}$
  ${P(A)= \dfrac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{6}} = \dfrac{1}{6} = \dfrac{6}{36}}$
  Von den $36$ möglichen Ergebnissen müssen also $6$ Ergebnisse zu Ereignis $A$ gehören, um die Wahrscheinlichkeit $P(B)$ zu erfüllen.
  Wir können an der obigen Übersicht erkennen, dass dies erfüllt ist, wenn wir die Augensummen $10$, $11$ und $12$ betrachten. Das Ereignis $A$ muss also lauten:
  $A$: Die Augensumme ist größer als $\color{#99CC00}{9}$.

  Wir überprüfen die Wahrscheinlichkeit für ${A \cap B}$: Augensumme $10$, $11$ oder $12$ und erster Würfel zeigt eine $4$. Das Ereignis $A \cap B$ umfasst nur den Wurf erst $4$ dann $6$ mit Augensumme $10$.
  Wir erhalten für die Wahrscheinlichkeit $P(A \cap B) = \dfrac{1}{36}$ wie gegeben.

  $\,$

  Aufgabe 2:
  Wir bestimmen wieder zuerst die Wahrscheinlichkeit $P(B)$:
  $B$: Der erste Würfel zeigt eine $2$ oder eine $4$.
  Da der erste Würfel insgesamt $6$ mögliche Augenzahlen hat, gilt: ${P(B)= \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}}$
  Da die beiden Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind, gilt auch hier folgende Formel:
  $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
  Wir stellen die Formel nach $P(A)$ um und setzen ein:
  $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \quad \Leftrightarrow \quad {P(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}}$
  ${P(A)= \dfrac{\frac{1}{18}}{\frac{1}{3}} = \dfrac{1}{6} = \dfrac{6}{36}}$
  Von den $36$ möglichen Ergebnissen müssen also $6$ Ergebnisse zu Ereignis $A$ gehören, um die Wahrscheinlichkeit $P(B)$ zu erfüllen.
  Wir können an der obigen Übersicht erkennen, dass drei Ergebnisse zur Augensumme $4$ gehören. Es fehlen also drei weitere Ergebnisse. Die fehlende Augensumme muss also $10$ sein. Das Ereignis $A$ lautet damit:
  $A$: Die Augensumme beträgt $4$ oder $\color{#99CC00}{10}$.

  Wir überprüfen die Wahrscheinlichkeit für $A \cap B$: Augensumme $4$ oder $10$ und erster Würfel zeigt eine $2$ oder $4$. Das Ereignis $A \cap B$ umfasst die Ergebnisse erst $2$ dann $2$ mit Augensumme $4$ und erst $4$ dann $6$ mit der Augensumme $10$.
  Wir erhalten für die Wahrscheinlichkeit $P(A \cap B) = \dfrac{2}{36} = \dfrac{1}{18}$ wie gegeben.