Scheinbrüche und unechte Brüche

Scheinbrüche und unechte Brüche Übung

• Definiere die Begriffe „Scheinbruch“, „unechter Bruch“ und „echter Bruch“.

  Tipps

  Sieh dir folgende Beispiele an:

  • Scheinbruch: $\frac {16}8$
  • unechter Bruch: $\frac {9}8$
  • echter Bruch: $\frac 78$
  • gemischte Zahl: $1\frac 18$

  Hier siehst du, wie sich ein Bruch zusammensetzt:

  • Über dem Bruchstrich steht der Zähler $Z$.
  • Dann kommt der Bruchstrich, welcher einem Geteiltzeichen gleicht.
  • Unter dem Bruchstrich steht der Nenner $N$.

  Lösung

  Scheinbrüche:

  Bei Scheinbrüchen ist der Zähler $Z$ ein Vielfaches von dem Nenner $N$. Es handelt sich hierbei also eigentlich nicht um einen Bruch, sondern um eine ganze Zahl. Es gilt:

  • $\dfrac ZN=\dfrac {k\cdot N}N$ mit $k\in \mathbb{Z}$

  Folgende Brüche sind demnach zum Beispiel Scheinbrüche: $\dfrac 84$; $\dfrac 42$; $\dfrac {81}{9}$

  Unechte Brüche:

  Unechte Brüche sind Brüche, deren Zähler größer sind als ihre Nenner. Man kann solche Brüche daher in ganze Zahlen und echte Brüche zerlegen, also als gemischte Zahl angeben. Es gilt also:

  • $\dfrac ZN$ mit $Z>N$

  Beispielsweise sind die folgenden Brüche unechte Brüche:

  • $\dfrac 54=\dfrac 44+\dfrac 14=1+\dfrac 14=1\dfrac 14$

  • $\dfrac 32=\dfrac 22+\dfrac 12=1+\dfrac 12=1\dfrac 12$

  • $\dfrac {20}9=\dfrac {18}9+\dfrac 29=2+\dfrac 29=2\dfrac 29$

  Echte Brüche:

  Echte Brüche sind Brüche, deren Nenner größer sind als ihre Zähler. Es gilt:

  • $\dfrac ZN$ mit $Z<N$

  Echte Brüche sind zum Beispiel: $\dfrac 12$; $\dfrac 35$; $\dfrac 79$

• Gib an, um welche Bruchart es sich bei den gegebenen Brüchen handelt.

  Tipps

  Bei Scheinbrüchen ist der Zähler ein Vielfaches des Nenners. Es handelt sich hierbei also eigentlich nicht um einen Bruch, sondern um ganze Zahlen.

  Echte Brüche sind Brüche, deren Zähler kleiner sind als ihre Nenner.

  Gemischte Zahlen setzen sich aus ganzen Zahlen und echten Brüchen zusammen.

  Lösung

  Bei Scheinbrüchen ist der Zähler ein Vielfaches des Nenners. Es handelt sich hierbei also eigentlich nicht um einen Bruch, sondern um ganze Zahlen.

  Echte Brüche sind Brüche, deren Zähler kleiner sind als ihre Nenner.

  Gemischte Zahlen setzen sich aus ganzen Zahlen und echten Brüchen zusammen.

  Damit können wir die Brüche den jeweiligen Brucharten wie folgt zuordnen:

  Scheinbruch

  • $\dfrac 55=1$
  • $\dfrac {10}{5}=2$
  • $\dfrac {11}{11}=1$
  • $\dfrac {150}{150}=1$

  Echter Bruch

  • $\dfrac {2}5$
  • $\dfrac {1}5$

  Gemischte Zahl

  • $1\dfrac {1}5$
  • $1\dfrac {1}2$
  • $1\dfrac {1}4$

• Ordne die gegebenen Brüche den jeweiligen Brucharten zu.

  Tipps

  Für den Zähler $Z$ und Nenner $N$ gelten folgende Beziehungen:

  • Scheinbruch: $Z=kN$ mit $k\in\mathbb{Z}$
  • echter Bruch: $Z<N$
  • unechter Bruch: $Z>N$

  Eine gemischte Zahl setzt sich aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch zusammen.

  Lösung

  Ein Bruch setzt sich aus Zähler, Bruchstrich und Nenner zusammen. Der Zähler steht über dem Bruchstrich und der Nenner unter ihm. Für den Zähler $Z$ und Nenner $N$ gelten folgende Beziehungen:

  • Scheinbruch: $Z=kN$ mit $k\in\mathbb{Z}$ (der Zähler ist also ein Vielfaches des Nenners)
  • Echter Bruch: $Z<N$
  • Unechter Bruch: $Z>N$

  Eine gemischte Zahl setzt sich aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch zusammen.

  Demnach können wir die gegebenen Brüche den Brucharten wie folgt zuordnen:

  Scheinbruch

  • $\dfrac {15}3$, denn $15:3=5$
  • $\dfrac {21}7$, denn $21:7=3$
  • $\dfrac {28}{4}$, denn $28:4=7$
  • $\dfrac {56}{8}$, denn $56:8=7$

  Unechter Bruch

  • $\dfrac {9}7$, denn $9>7$
  • $\dfrac {7}{6}$, denn $7>6$
  • $\dfrac {12}{7}$, denn $12>7$

  Echter Bruch

  • $\dfrac 69$, denn $6<9$
  • $\dfrac 27$, denn $2<7$
  • $\dfrac 2{17}$, denn $2<17$

  Gemischte Zahl

  • $2\dfrac 13$
  • $1\dfrac {11}{13}$

• Erschließe die zugehörigen gemischten Zahlen.

  Tipps

  Überlege, wie oft der Nenner in den Zähler passt. Daraus resultiert eine ganze Zahl und ein Rest. Schreibe die ganze Zahl auf. Füge an diese einen Bruch an, dessen Zähler dem Rest entspricht. Der Nenner bleibt gleich.

  Sieh dir folgendes Beispiel an: $~\frac 73$

  Da wir $7:3=2$ mit Rest $1$ erhalten, können wir folgende gemischte Zahl aufstellen: $~2\frac 13$

  Lösung

  Wenn wir einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl umwandeln möchten, gehen wir wie folgt vor:

  1. Wir überlegen uns, wie oft der Nenner in den Zähler passt. Diese Überlegung liefert uns eine ganze Zahl und einen Rest.
  2. Wir schreiben die ganze Zahl auf und fügen an diese einen Bruch an, dessen Zähler dem Rest entspricht. Der Nenner bleibt gleich.

  So erhalten wir die folgenden gemischten Zahlen:

  • $\dfrac 83=2\dfrac 23$, denn $8:3=2$ mit Rest $2$

  • $\dfrac {10}3=3\dfrac 13$, denn $10:3=3$ mit Rest $1$

  • $\dfrac 43=1\dfrac 13$, denn $4:3=1$ mit Rest $1$

  • $\dfrac {14}3=4\dfrac 23$, denn $14:3=4$ mit Rest $2$

• Vervollständige die Übersicht zu einem Bruch sowie die Eigenschaften echter und unechter Brüche.

  Tipps

  Der Nenner gibt die Gesamtheit der Anteile an und der Zähler sagt, wie viele dieser Teile betrachtet werden. Betrachtet man die Hälfte einer Pizza, so schreibt man $\frac 12$.

  Bei einem echten Bruch ist die Zahl über dem Bruchstrich kleiner als die Zahl unter dem Bruchstrich.

  Lösung

  Brüche beschreiben einen Teil eines Ganzen. Möchtest du zum Beispiel die Hälfte eines Ganzen angeben, so schreibst du $\frac 12$. Die $1$ ist dabei der Zähler und die $2$ der Nenner des Bruchs $\frac 12$. Es gilt also:

  • $\dfrac{\text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hler}\ Z}{\text{Nenner}\ N}$

  Der Nenner steht also unter dem Bruchstrich. Er gibt an, in wie viele Teile ein Ganzes geteilt wird. Der Zähler steht über dem Bruchstrich und gibt an, wie viele solcher Teile betrachtet werden.

  • Bei einem echten Bruch ist der Zähler kleiner als der Nenner. Es gilt also: $~Z<N$
  • Bei einem unechten Bruch ist der Zähler größer als der Nenner. Es gilt also: $~Z>N$

• Ermittle die jeweiligen Brüche.

  Tipps

  Überlege dir, wie viele Teile das Ganze hat. Dann legst du fest, wie viele dieser Teile gefragt sind.

  Lösung

  Beispiel 1

  Da zwei identische Torten in insgesamt $40$ gleich große Stücke geteilt wurden, setzt sich eine Torte aus $20$ Stücken zusammen. $7$ Stücke sind übrig. Das heißt, dass eine Torte komplett gegessen wurde. Von der anderen wurden $20-7=13$ Stücke gegessen. Damit ist also ein Anteil von $\frac {13}{20}$ der zweiten Torte gegessen worden.

  Beispiel 2

  In der Klasse sind insgesamt $20$ Schüler/-innen, von denen $3$ krank sind. Damit können $20-3=17$ Schüler/-innen an dem Ausflug teilnehmen. Das entspricht einem Anteil von $\frac {17}{20}$ der Schüler/-innen der Klasse.

  Beispiel 3

  Sophie möchte $12-4=8$ Abendkleider verkaufen. $4$ von diesen $8$ Kleidern sind rot. Der Anteil roter Kleider an allen Kleidern, die sie verkaufen möchte, beträgt somit $\frac 48=\frac {1}{2}$.