Brüche erweitern und kürzen
Brüche sind Teile eines Ganzen, die als Zähler über dem Bruchstrich dargestellt werden. Der Nenner gibt an, in wie viele Teile das Ganze geteilt wurde. Du kannst Brüche erweitern, indem du Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizierst, oder kürzen, indem du sie durch denselben Faktor teilst. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im Folgenden!
- Brüche erweitern und kürzen – was ist ein Bruch?
- Brüche erweitern und kürzen – Einführung
- Brüche erweitern – Erklärung
- Brüche kürzen – Erklärung
- Brüche erweitern und kürzen – Aufgaben
- Ausblick – das lernst du nach Brüche erweitern und kürzen
- Zusammenfassung – Brüche erweitern und kürzen
- Häufig gestellte Fragen zum Thema Brüche erweitern und kürzen
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Grundlagen zum Thema Brüche erweitern und kürzen
Brüche erweitern und kürzen – was ist ein Bruch?
Was Brüche sind, kannst du dir gut an einem Beispiel klarmachen:
Lisa hat Geburtstag und bekommt ihren heißgeliebten Schoko-Kirsch-Kuchen. Der Vater teilt den Kuchen in $6$ gleich große Stücke auf.
Lisa geht mit ihren vier Freundinnen auf ihr Zimmer und jedes Mädchen nimmt genau ein Stück Kuchen, also ein Teil des Ganzen mit. Insgesamt nehmen die fünf Freundinnen also $5$ von $6$ Stücken Kuchen oder auch fünf Sechstel des Kuchens mit. Dies kann man so schreiben.
$~~~~~~~~~~~~~~~~~\dfrac{5}{6}$
Oben steht eine Zahl und unten ebenfalls. Dazwischen befindet sich ein Strich.
- Der Strich ist der Bruchstrich. Er zeigt an, dass geteilt wird, genau wie das Geteiltzeichen oder Divisionszeichen.
- Die Zahl unter dem Bruchstrich ist der Nenner. Sie benennt den Bruch, hier zum Beispiel „Sechstel“. Der Nenner gibt also an, in wie viele Teile ein Ganzes geteilt wurde.
- Die Zahl über dem Bruchstrich ist der Zähler. Sie gibt an, wie viele der Teile ausgewählt wurden, also wie viele Stücke Kuchen die Freundinnen mit auf das Zimmer nehmen.
Du kannst einen solchen Bruch auch als Bruchstreifen darstellen:
Das gesamte große Rechteck ist ein Ganzes. Jedes der kleinen Rechtecke ist ein Sechstel. Blau
markiert sind fünf dieser Sechstel.
Der Nenner eines Bruches ist sozusagen die Maßeinheit bei Brüchen.
Wusstest du schon?
Brüche sind nicht nur in der Mathematik wichtig – sie sind auch in der Musik unverzichtbar! Notenwerte werden als Brüche ausgedrückt, um die Länge der Töne anzugeben. So stellt beispielsweise eine Viertelnote einen Bruch in Bezug auf eine Ganze Note dar.
Brüche erweitern und kürzen – Einführung
Brüche können verschieden aussehen und trotzdem den gleichen Anteil eines Ganzen beschreiben. Warum das so ist und wie es uns beim Rechnen mit Brüchen behilflich sein kann, schauen wir uns jetzt mal genauer an. Oft ist es wichtig, Brüche mit der gleichen Maßeinheit zu haben, also Brüche mit einem gemeinsamen Nenner. Haben Brüche denselben Nenner, so bezeichnet man sie als gleichnamig. Gleichnamige Brüche sind zum Beispiel in diesen Fällen wichtig:
- Wenn du einen Größenvergleich bei Brüchen durchführen willst.
- Wenn du Brüche addieren oder Brüche subtrahieren möchtest.
Wenn Brüche nicht gleichnamig sind, also keinen gemeinsamen Nenner haben, kannst du sie trotzdem vergleichen, addieren oder subtrahieren. Hierfür musst du die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
Dafür wiederum musst du Brüche erweitern oder kürzen.
Brüche erweitern – Erklärung
Brüche erweitern kannst du, indem du sowohl den Zähler als auch den Nenner mit derselben Zahl multiplizierst. Die Zahl, mit der multipliziert wird, nennt man Erweiterungszahl. Der Wert des Bruches bleibt dabei erhalten, weil du das Ganze in mehr Teile teilst (zum Beispiel dreimal so viele Teile), dafür aber auch mehr Teile auswählst (auch dreimal so viele).
Hier siehst du ein Beispiel:
$\dfrac5{12}=\dfrac{5\cdot 3}{12\cdot 3}=\dfrac{15}{36}$
Auch dies kannst du dir an einem Bruchstreifen klarmachen:
Du siehst: Der blau markierte Anteil besteht oben aus $5$ und unten aus $15$ Rechtecken. Jedes dieser Rechtecke ist oben ein $12$-tel, unten ein $36$-tel des gesamten Rechtecks.
Brüche erweitern – Beispiele
Sehen wir uns anhand einiger weiterer Beispiel an, wie Brüche erweitert werden können:
$\dfrac23=\dfrac{2\cdot 6}{3\cdot 6}=\dfrac{12}{18}$
$\dfrac15=\dfrac{1\cdot 5}{5\cdot 5}=\dfrac{5}{25}$
$\dfrac57=\dfrac{5\cdot 3}{7\cdot 3}=\dfrac{15}{21}$
Die folgende Abbildung fasst das Prinzip noch einmal zusammen:
Brüche kürzen – Erklärung
Indem du sowohl den Zähler als auch denn Nenner durch denselben Faktor dividierst (teilst), kannst du Brüche kürzen. Auch hier bleibt der Wert des Bruches erhalten, wichtig ist aber, dass du eine Zahl wählst, die ein Teiler von Nenner und Zähler ist. Schau dir das Beispiel an:
$\dfrac{3}{12}=\dfrac{3:3}{12:3}=\dfrac{1}{4}$
Auch dies kannst du dir anschaulich an einem Kuchen klarmachen.
Links siehst du drei Zwölftel des ganzen Kreises (Kuchens) und rechts ein Viertel. Du erkennst, dass die beiden rot markierten Stücke gleich groß sind. Der gekürzte Bruch $\frac{1}{4}$ ist vollständig gekürzt. Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner des Bruches keinen gemeinsamen Teiler haben (außer der $1$).
Brüche kürzen – Beispiele
Als Beispiele können wir uns hier jeweils die Umkehrungen der obigen Beispiele zum Erweitern ansehen:
$\dfrac{12}{18}=\dfrac{12:2}{18:2}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{6:3}{9:3}=\dfrac{2}{3}$
Du siehst, man kann auch mehrmals kürzen. Das funktioniert so lange, bis Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler mehr haben und der Bruch vollständig gekürzt ist. Sehen wir uns noch zwei weitere Beispiele an:
$\dfrac{5}{25}=\dfrac{5:5}{25:5}=\dfrac{1}{5}$
$\dfrac{15}{21}=\dfrac{15:3}{21:3}=\dfrac{5}{7}$
Die folgende Abbildung fasst das Prinzip wieder kurz zusammen:
Kennst du das?
Vielleicht wolltest du schon einmal mehrere Tafeln Schokolade oder andere Süßigkeiten gleichmäßig unter deinen Freundinnen und Freunden aufteilen.
Wenn du zum Beispiel vier Schokoladentafeln unter acht Personen aufteilst, bekommt jeder und jede eine halbe Tafel.
Bei dieser Überlegung wird praktisch ein Bruch gekürzt: Die Aufteilung $\frac{4}{8}$ wird zu $\frac{1}{2}$ Tafel pro Person umgerechnet.
Mathematisch gesehen haben wir den Bruch $\frac{4}{8}$ gekürzt, um eine einfachere Form zu bekommen.
Brüche erweitern und kürzen – Aufgaben
Ausblick – das lernst du nach Brüche erweitern und kürzen
Vertiefe dein Verständnis von Brüchen und lerne, Brüche zu vergleichen und gemeine Brüche in gemischte Brüche umzuwandeln.
Außerdem ist es hilfreich, Brüche und Dezimalbrüche ineinander umwandeln zu können. Freue dich auf weitere spannende Einblicke und deine nächste Lernphase!
Zusammenfassung – Brüche erweitern und kürzen
- Ein Bruch kann erweitert werden, indem Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl (der Erweiterungszahl) multipliziert werden.
- Ein Bruch kann gekürzt werden, indem Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividiert werden.
- Sowohl durch das Erweitern als auch durch das Kürzen wird der Wert eines Bruches nicht verändert.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Brüche erweitern und kürzen
Transkript Brüche erweitern und kürzen
Arrr, was für eine fette Beute! So eine Raubfahrt lohnt sich immer für Kapitän da Gamma und seine Piratenbande. Jetzt wird die Beute verteilt! Allerdings sind die Seeräuber mit Zahlen deutlich weniger geschickt als mit dem Enterhaken. Welchen Anteil der Beute bekommt jeder Pirat? Um das zu bestimmen, müssen wir Brüche, Federn und Kielholen! Ach nee, Brüche kürzen und erweitern müssen wir, arrr. Los gehts! Wir stellen uns vor, die ganze fette Beute ist dieser Kreis. Und so, wie wir den Kreis aufteilen, teilen wir auch die Beute auf. Der Kapitän bekommt klarerweise ganz alleine einen sehr großen Anteil – nämlich ein Viertel der gesamten Beute. Die Offiziere bekommen zusammen ein Drittel der Reichtümer. An jeden der drei Kanoniere geht ein Zwölftel der Beute für seine Treffsicherheit – insgesamt also drei zwölftel. Und übrig bleibt ein sechstel – das müssen die Matrosen unter sich aufteilen. So eine Darstellung nennt man Tortendiagramm – jeder bekommt ein Stückchen aus der gesamten Torte. Aber welchen Anteil des Raubguts bekommt denn nun jeder einzelne Pirat? Beim Anteil des Kapitäns ist es leicht – es gibt nur einen Kapitän, also bekommt er ein Viertel der Beute. Allerdings müssen sich zwei Offiziere das für sie vorgesehene Drittel teilen. Und die Kanoniere? Kann man denn ihre drei Zwölftel auch einfacher darstellen? Und acht Matrosen müssen das letzte Sechstel unter sich aufteilen. Die beiden Offiziere haben ein Drittel der Beute zu verteilen. Ein Stück Torte würden wir einfach halbieren – so wie hier. Wir haben also anstatt einem Stück zwei – aber jedes davon nur HALB so groß. Im ganzen Kreis haben wir dann doppelt so viele Stücke dieser Größe. Im Bruch können wir demnach den Zähler mit zwei multiplizieren. Deshalb müssen wir auch den Nenner verdoppeln. So gelangen wir zu dem Bruch „zwei Sechstel“. Durch die Verdopplung des Zählers verdoppeln wir die Zahl. Durch die Verdopplung des Nenners halbieren wir die Zahl. Also ist ein Drittel ist genauso groß wie zwei Sechstel und der Anteil an der Beute hat sich dadurch insgesamt nicht geändert. Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl zu multiplizieren, nennt man erweitern – hier haben wir Zähler und Nenner mit zwei erweitert. Kann man das auch umgekehrt rechnen? Im Tortendiagramm ist es leicht: wir fassen die beiden Stücke nur wieder zu einem doppelt so großen Stück zusammen. Aber das bedeutet im Bruch, dass wir den Zähler auch nur halb so groß machen – wir teilen ihn also durch 2, denn wir zählen nur noch ein Stück. Dafür teilen wir aber auch den Nenner durch 2 – schließlich haben wir insgesamt wieder 3 gleich große Stücke. Das klappt also auch! Wir haben wieder ein Drittel. Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl zu dividieren, nennt man kürzen. Bei diesem Beispiel war es ja ziemlich klar, dass wir auch rückwärts rechnen können, denn wir hatten den Bruch ja gerade erst erweitert. Aber kürzen lassen sich auch andere Brüche. Schauen wir uns doch zum Beispiel die drei Zwölftel der Kanoniere an. Können wir hier Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividieren? Gibt es also eine Zahl, durch die wir sowohl den Zähler als auch den Nenner teilen können, ohne dass ein Rest übrig bleibt? Anders gesagt: haben drei und zwölf einen gemeinsamen Teiler? Ja: die drei! Arr! Also teilen wir im Zähler und im Nenner durch drei! Drei geteilt durch drei ergibt eins. Und zwölf geteilt durch drei ist vier! Also ist der Bruch 'drei Zwölftel' gekürzt gleich dem Bruch 'ein Viertel'! Wie sieht das im Tortendiagramm aus? Wenn wir die drei Zwölftelstücke zu einem einzigen Stück zusammenschieben, sehen wir, dass so genau ein Viertelstück entsteht. Und was ist nun mit den Matrosen und ihrem Anteil? Zusammen bekommen die acht Matrosen ein Sechstel der Beute. Also teilen wir das Sechstel im Tortendiagramm in acht Teile auf. Wie viel das dann ist, kriegen wir raus, indem wir den Bruch 'ein Sechstel' mit acht erweitern. Dazu multiplizieren wir Zähler und Nenner jeweils mit acht. Das Ergebnis lautet dann Acht Achtundvierzigstel. Das ist gar nicht so viel für jeden Matrosen! Bevor die Matrosen anfangen zu meutern, fassen wir schnell zusammen. Um einen Anteil in kleinere Stücke zu zerlegen, kannst du den entsprechenden Bruch erweitern. Dazu multiplizierst du Zähler und Nenner jeweils mit der gleichen Zahl. Das Ergebnis sieht anders aus, aber der Wert des Bruches ändert sich dabei nicht! Schließlich sind die neuen Stücke zusammen immer noch genauso groß wie das ursprüngliche. Umgekehrt kannst du mehrere Anteile zusammenlegen, indem du kürzt. Zum Kürzen musst du in einem Bruch Zähler und Nenner durch je die gleiche Zahl teilen. Auch dabei ändert sich der Wert des Bruches nicht, denn auch hier hat sich der Anteil nicht verändert. Na, dann schauen wir doch mal, was sich die Piraten von ihrem neu ergaunerten Reichtum so alles leisten. Äh, eine Kreuzfahrt? Was ein echter Seemann ist, der kriegt vom Meer eben nie genug! Aber selbst im Urlaub: Pirat bleibt Pirat! Arrr!
Brüche erweitern und kürzen Übung
-
Welche Aussagen zum Kürzen und Erweitern von Brüchen stimmen?
TippsZwei der Aussagen stimmen.
Beispiel:
- Erweitern:
- Kürzen:
LösungDiese Aussagen sind falsch:
- „Beim Kürzen ziehst du von Nenner und Zähler die gleiche Zahl ab.“ – Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividiert.
- „Erweiterst du einen Bruch, hat er danach einen anderen Wert.“ – Durch Erweitern und Kürzen verändert sich der Wert eines Bruchs nicht.
Diese Aussagen sind richtig:
- „Beim Erweitern eines Bruchs werden Nenner und Zähler mit der gleichen Zahl multipliziert.“
- „Hast du einen Bruch mit einer Zahl erweitert, kannst du ihn anschließend mit derselben Zahl kürzen.“ – Beispiel:
-
Beschreibe das Kürzen und Erweitern von Brüchen.
TippsBeim Erweitern eines Bruchs werden Nenner und Zähler mit der gleichen Zahl multipliziert.
Multiplizierst du $3$ mit einer Zahl und teilst anschließend wieder durch dieselbe Zahl, erhältst du wieder $3$.
LösungDen Lückentext kannst du so vervollständigen:
„(...) Sie wollen am Ende zwei Stücke besitzen, also müssen sie den Bruch mit $2$ erweitern. Dazu multiplizieren sie den Nenner und den Zähler des Bruchs mit $2$.
$\frac{1}{3}=\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}=\frac{2}{6}$“
- Beim Erweitern eines Bruchs werden Nenner und Zähler mit der gleichen Zahl multipliziert. $\frac{1}{3}$ kannst du also zu $\frac{2}{6}$ umschreiben. Diesen Bruch kannst du einfach auf zwei Piraten aufteilen.
- Weder Erweitern noch Kürzen verändert den Wert des Bruchs.
-
Wende dein Wissen zum Kürzen und Erweitern an.
TippsDurch Kürzen und Erweitern kannst du berechnen, welche Brüche gleich sind. Denn dabei ändert sich der Wert der Brüche nicht.
Beim Kürzen eines Bruchs werden Nenner und Zähler durch die gleiche Zahl geteilt.
LösungDurch Kürzen bzw. Erweitern kannst du bestimmen, welche Brüche gleich sind. Denn dabei ändert sich der Wert der Brüche nicht. Für die gegebenen Brüche erhalten wir folgende gekürzte oder erweiterte Brüche:
Hier wurde mit $4$ erweitert:
- $\dfrac{1}{4}=\dfrac{1 \cdot 4}{4 \cdot 4}=\dfrac{4}{16}$.
- $\dfrac{12}{32}=\dfrac{12:4}{32:4}=\dfrac{3}{8}$.
- $\dfrac{12}{36}=\dfrac{12:12}{36:12}=\dfrac{1}{3}$.
- $\dfrac{2}{5}=\dfrac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4}=\dfrac{8}{20}$.
-
Ermittle die gleichen Brüche.
TippsUm die gegebenen Brüche zuzuordnen, musst du sie so kürzen oder erweitern, dass sie gleich einem der folgenden Brüche sind:
- $\frac 35$
- $\frac{10}{15}$
- $\frac {16}{6}$
Beim Erweitern musst du dir überlegen, mit welcher Zahl du Nenner und Zähler multiplizieren kannst, dass du als Ergebnis einen der Brüche in der Mitte (zu denen zugeordnet werden soll) erhältst. Zum Beispiel:
$\frac{4 }{3}=\frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5}=\frac{20}{15}$
LösungUm die Brüche zuzuordnen, musst du sie so kürzen oder erweitern, dass sie gleich einem der Brüche in der Mitte (zu denen zugeordnet werden soll) sind. Beim Kürzen musst du dir überlegen, durch welche Zahl Nenner und Zähler ohne Rest teilbar sind. Zum Beispiel:
$\frac{6}{10}=\frac{6:2}{10:2}=\frac{3}{5}$ oder $\frac{15}{25}=\frac{15:5}{25:5}=\frac{3}{5}$
Beim Erweitern musst du dir überlegen, mit welcher Zahl du Nenner und Zähler multiplizieren kannst, dass du als Ergebnis einen der Brüche in der Mitte (zu denen zugeordnet werden soll) erhältst. Zum Beispiel:
$\frac{2 }{3}=\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}=\frac{10}{15}$
Damit ergibt sich:
- $\frac{6:2}{10:2}=\frac{15:5}{25:5}=\frac{30:10}{50:10}=\frac{24:8}{40:8}=\frac{3}{5}$
- $\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}=\frac{20:2}{30:2}=\frac{50:5}{75:5}=\frac{10}{15}$
- $\frac{8 \cdot 2}{3 \cdot 2}=\frac{32:2}{12:2}=\frac{48:3}{18:3}=\frac{16}{6}$
-
Gib den gekürzten Bruch an.
TippsUm einen Bruch zu kürzen, benötigst du zunächst eine Zahl, die der größte gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner ist. Zum Beispiel erhältst du für die Zahlen $10$ und $15$ den größten gemeinsamen Teiler $5$.
Nachdem du den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner ermittelt hast, kannst du den Bruch vollständig kürzen, indem du den Zähler und den Nenner jeweils durch den Teiler teilst.
Lösung$\frac{3}{12}$ kannst du so kürzen:
„Willst du einen Bruch kürzen, musst du dir zuerst überlegen, durch welche Zahl du den Nenner und den Zähler ohne Rest teilen kannst.“
- Da beim Kürzen Nenner und Zähler durch dieselbe Zahl geteilt werden, musst du dir vor dem Kürzen überlegen, welche Zahl das sein könnte.
„Denn $3:3=1$ und $12:3=4$.“
- Diese Zahl kannst du durch Ausprobieren bestimmen. Teile nacheinander Nenner und Zähler durch verschiedene Zahlen, bis du eine Zahl gefunden hast, durch die beide ohne Rest teilbar sind.
„Es folgt dann der vollständig gekürzte Bruch $\frac{1}{4}$.“
-
Entscheide, welche Anteile die Brüche darstellen.
TippsDu kannst einen Bruch auch zuerst kürzen und anschließend erweitern. Zum Beispiel gilt:
$\frac{3}{12}=\frac{3:3}{12:3}=\frac{1}{4}=\frac{1 \cdot 2 }{4 \cdot 2}=\frac{2}{8}$.
LösungDie Anteile an den Figuren kannst du ablesen. Durch Erweitern und Kürzen kannst du anschließend die verschiedenen Brüche den Anteilen in den geometrischen Figuren zuordnen. Dann erhältst du:
- Zum Dreieck gehören: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{5}{10}$.
- Den Anteil des Quadrats kannst du beschreiben als: $\frac{3}{4}=\frac{6}{8}=\frac{9}{12}$.
- Zum Kreis gehören: $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$.
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ALSO MIR HAT ES GEHOLFEN
ich finde sie hat nicht schnell geredet. das video wart cool und lustig wo die piraten immer dazwischen gesprochen haben :)
finde ich auch
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Es hat mir weiter geholfen