Satz des Nullprodukts – Quadratische Gleichungen lösen

Satz des Nullprodukts – Quadratische Gleichungen lösen Übung

• Bestimme die Lösungen $x_1$ und $x_2$ der gegebenen Gleichung.

  Tipps

  Klammere das $x$ aus.

  Was kannst du aussagen, wenn das Produkt zweier Terme Null ist?

  Lösung

  Die Gleichung besitzt die Form $a \cdot x^2 + b \cdot x = 0$. Dabei ist speziell $a = 1$ und $b = 4$.

  Im ersten Lösungsschritt musst du nun das $x$ ausklammern. Wenn du das machst, dann erhältst die Gleichung $x \cdot (x+4) = 0$. Mit der Anwendung des Satzes vom Nullprodukt auf quadratische Gleichungen sind die Lösungen damit

  $x_1 = 0$ oder $x_2 + 4 = 0$, also

  $x_1 = 0$ oder $x_2 = - 4$

  Wenn du die Probe machst, stellst du fest, dass du zwei wahre Aussagen erhältst bei der Gleichung $x^2 + 4 \cdot x = 0$

  • für $x_1 = 0$ lautet die Gleichung $0^2 + 4\cdot 0 = 0 + 0 = 0$ (wahre Aussage) und
  • für $x_2 = - 4$ lautet die Gleichung $(-4)² + 4\cdot(-4) = 16 - 16 = 0$ (wahre Aussage).

• Bestimme die Lösungen der angegebenen Gleichung.

  Tipps

  Die Variablen a und b musst du als Platzhalter immer mitführen.

  Klammere das x aus.

  Was besagt der Satz vom Nullprodukt?

  Lösung

  Die Gleichung a $\cdot$ x$^2$ + b $\cdot$ x =0 mit a, b $\in\mathbb{R}$ und a $\neq$ 0 ist gegeben und wir wollen die Lösungen für x bestimmen. Hierfür klammern wir zunächst das x aus und erhalten x $\cdot$ (a $\cdot$ x + b ) = 0.

  Nun wenden wir den Satz vom Nullprodukt an, d.h. es ist x = 0 oder a $\cdot$ x + b = 0. Damit ist eine Lösung der Gleichung bereits x = 0.

  Die andere Lösung erhalten wir, indem wir a $\cdot$ x + b = 0 äquivalent nach x umformen. Hierfür bringen wir das b auf die rechte Seite, subtrahieren also b, und teilen im Anschluss durch a.

  Folglich ist x = -$\frac{b}{a}$ eine weitere Lösung. Diese Lösung ist auch für alle Variablen a definiert, da a verschieden von 0 ist.

• Berechne die Lösungen der Gleichung mithilfe des Satzes vom Nullprodukt.

  Tipps

  Was kannst du bei $2 \cdot x^2 + 4 \cdot x$ ausklammern?

  Wenn das Produkt zweier Terme gleich Null ist, dann ist einer der beiden Terme gleich Null.

  Lösung

  Die Gleichung besitzt die Form $a \cdot x^2 + b \cdot x = 0$. Dabei sind speziell $a = 2$ und $b = 4$.

  Im ersten Lösungsschritt musst du nun das $x$ ausklammern. Das heißt, du erhältst die Gleichung

  $\begin{align} x \cdot (2\cdot x + 4) = 0.\end{align}$

  Mit der Anwendung vom Satz vom Nullprodukt auf quadratische Gleichungen sind die Lösungen damit

  $\begin{align} x_1=0 ~~\text{oder}~~ x_2=-\frac{4}{2}=-2.\end{align}$

  Beide Ergebnisse wollen wir noch durch eine Probe bestätigen. Wir setzen zuerst $x_1 = 0$ ein. Es ist dann $2 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 = 0 + 0 = 0$, womit $x_1 = 0$ eine korrekte Lösung ist.

  Jetzt setzen wir $x_2 = -2$ ein. Wir erhalten $2 \cdot (-2)^2 + 4 \cdot (-2) = 8 - 8 = 0$. Folglich ist auch $x_2 = -2$ eine korrekte Lösung der quadratischen Gleichung.

• Berechne die Lösungen der angegebenen Gleichung.

  Tipps

  Forme die Gleichung zunächst so um, dass auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen die Null steht.

  Klammere das $x$ aus.

  Was musst du mit dem Kehrwert eines Bruches machen, wenn du mit einem Bruch dividieren willst?

  Alle Lösungen sind ganze Zahlen.

  Lösung

  Im ersten Lösungsschritt bringen wir die Gleichung auf die Form $a \cdot x^2 + b \cdot x = 0$. Dazu subtrahieren wir auf beiden Seiten der Gleichung die $4$. Damit erhalten wir

  $\frac{1}{3}\cdot x^2 + 9\cdot x=0$.

  Jetzt ist speziell $a = \frac{1}{3}$ und $b = 9$. Nun musst du das $x$ ausklammern. Somit erhältst du die Gleichung $x \cdot\left(\frac{1}{3}\cdot x+9\right) = 0$. Mit der Anwendung vom Satz vom Nullprodukt auf quadratische Gleichungen sind die Lösungen damit

  $x_1=0 ~~\mbox{oder}~~ x_2 = -\frac{9}{\frac{1}{3}} = -9 \cdot 3=-27$.

  Durch eine Probe können wir bestätigen, dass wir die richtigen Lösungen bestimmt haben:

  • $\frac{1}{3}\cdot 0^2 + 9 \cdot 0 + 4 = 0 + 0 + 4 = 4$ (wahre Aussage)

  • $\frac{1}{3}\cdot (-27)^2 + 9 \cdot (-27) + 4 = 243 - 243 + 4 = 4$ (wahre Aussage)

• Stelle dar, wie du die quadratische Gleichung $a \cdot x^2 + b \cdot x = 0$ lösen kannst.

  Tipps

  Die Subtraktion ist die Umkehroperation zur Addition.

  Durch welche Zahl kann nicht dividiert werden?

  Auf welches Produkt zweier Terme kannst du den Satz vom Nullprodukt anwenden?

  Lösung

  Zu bestimmen sind die Lösungen der quadratischen Gleichung $a\cdot x^2 + b\cdot x = 0$.

  Hierbei können wir das Distributivgesetz (rückwärts) anwenden. Wir klammern also das $x$ aus und erhalten damit $x \cdot (a\cdot x + b) = 0$.

  Der Satz vom Nullprodukt besagt nun Folgendes: Ist ein Produkt Null, dann muss einer der beiden Faktoren Null sein. Also ist $x_1 = 0$ oder $a \cdot x_2 + b = 0$. Somit haben wir mit $x_1 = 0$ schon eine Lösung.

  Die zweite Lösung erhalten wir, indem wir die zweite Gleichung nach $x_2$ umstellen. Dafür subtrahieren wir $b$ und dividieren durch $a$, womit $x_2 = -\frac{b}{a}$ ist. Dieser Ausdruck ist auch definiert, da $a\neq 0$ ist.

• Ermittle die Schnittpunkte der quadratischen Funktion mit der x-Achse.

  Tipps

  Wie stehen Schnittpunkte einer Funktion mit der $x$-Achse mit deren Nullstellen in Verbindung?

  Die Nullstellen einer Funktion berechnet man, indem man $f(x) = 0$ setzt.

  Wende den Satz vom Nullprodukt an.

  Lösung

  Wenn du dir die Schnittpunkte des Graphen mit der $x$-Achse anschaust, erkennst du vielleicht, dass der dazugehörige Funktionswert gleich Null ist. Das können wir über die Gleichung $f(x) = 0$ beschreiben. Folglich betrachten wir

  $-\frac{1}{8}\cdot x^2 + \frac{1}{4}\cdot x=0$.

  Jetzt ist speziell $a = -\frac{1}{8}$ und $b = \frac{1}{4}$. Nun musst du das $x$ ausklammern. Somit erhältst du die Gleichung $x \cdot\left(-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{1}{4}\right) = 0$.

  Mit der Anwendung vom Satz vom Nullprodukt auf quadratische Gleichungen sind die Lösungen damit

  $x_1=0 ~~\mbox{oder}~~ x_2=-\frac{\frac{1}{4}}{-\frac{1}{8}}=\frac{1}{4}\cdot 8=2$.

  Als Schnittpunkte mit der $x$-Achse ergeben sich also die beiden Punkte $S_1(0 | 0)$ und $S_2(2 | 0)$.