Quadratische Gleichungen lösen – Faktorisierung durch Zerlegung und Ausklammern

Quadratische Gleichungen lösen – Faktorisierung durch Zerlegung und Ausklammern Übung

• Schildere die verschiedenen Schritte beim Faktorisieren einer quadratischen Gleichung.

  Tipps

  Gleichartige Terme sind hier diejenigen Terme, in denen die Unbekannte $x$ denselben Grad besitzt. Sieh dir dazu folgende Beispiele an:

  • $-4$ und $3$ sind gleichartig, da $x$ den Grad $0$ hat.
  • $x^2$ und $-4x^2$ sind gleichartig, da $x$ den Grad $2$ hat.

  Ausmultiplizieren funktioniert so:

  $(s+t)\cdot (u+v)=s\cdot u+s\cdot v+t \cdot u+t \cdot v$

  Lösung

  Gegeben ist die folgende quadratische Gleichung:

  $(x+2)(2x+3)=45$

  Um die Unbekannte $x$ zu berechnen, möchtest du diese Gleichung faktorisieren. Hierzu kannst du die Klammern zunächst ausmultiplizieren. Es folgt dann:

  $x\cdot 2x+x\cdot 3+2\cdot 2x+2\cdot 3=2x^2+3x+4x+6=45$

  Danach kannst du gleichartige Terme zusammenfassen. Gleichartige Termine sind in diesem Fall die beiden Terme $3x$ und $4x$. Es ergibt sich:

  $2x^2+7x+6=45$

  Nun musst du die Gleichung so verändern, dass auf der rechten Seite eine Null steht. Dafür kannst du $45$ auf beiden Seiten subtrahieren und erhältst $2x^2+7x-39=0$, da $6-45=-39$ ergibt.

  Diese Gleichung kannst du jetzt faktorisieren. Dafür kannst du dir die allgemeine Form $ax^2+bx+c=0$ anschauen. Du weißt, dass $a \cdot c=-78$ sein muss, da $2 \cdot -39=-78$ ist. Suche die Faktoren $a$ und $c$ so, dass $a+c=b=7$ ergibt. Schaue dir dafür die verschiedenen Teiler von $-78$ an und schreibe sie in eine Tabelle:

  $\begin{array}{r|r} \text{Faktoren} & \text{Summe} \\ \hline -1 ~\text{und}~ 78 & 77\\ 1 ~\text{und}~ {-}78 & -77\\ -2 ~\text{und}~ 39 & 37\\ 2 ~\text{und}~ {-}39 & -37\\ -3 ~\text{und}~ 26 & 23\\ 3 ~\text{und}~ {-}26 & -23\\ -6 ~\text{und}~ 13 & 7\\ \end{array}$

  Die Faktoren sind gegeben durch $a=-6$ und $c=13$.

  Als Nächstes kannst du den mittleren Term der rechten Seite der Gleichung in der Form $2x^2-6x+13x-39$ zerlegen, weil $-6x+13x=7x$ ergibt.

  Setze im Anschluss Klammern um die einzelnen Terme und du erhältst:

  $(2x^2-6x)+(13x-39)$

  Nun klammere den größten gemeinsamen Teiler in beiden Termen aus. Für das erste Binom ist der größte gemeinsame Teiler gegeben durch $2x$ und für das zweite durch $13$. Du erhältst:

  $2x(x-3)+13(x-3)=0$

  Als letzten Schritt musst du noch $(x-3)$ ausklammern und du erhältst das faktorisierte Produkt:

  $(2x+13)(x-3)=0$

• Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichung.

  Tipps

  Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt genau dann $0$ ist, wenn einer der Faktoren $0$ ist.

  Für die Seitenlänge eines Gemäldes sind nur positive Werte sinnvoll.

  Lösung

  Vincent hat folgende quadratische Gleichung in faktorisierter Form gegeben:

  $(2x+13)(x-3)=0$

  Nun wendet er den Satz vom Nullprodukt an, um diejenigen $x$-Werte zu bestimmen, welche diese Gleichung erfüllen. Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt genau dann $0$ ist, wenn einer der Faktoren $0$ ist. Daher schaut sich Vincent die beiden Faktoren an, die durch die beiden Klammern gegeben sind.

  Für die linke Klammer geht Vincent wie folgt vor:

  $\begin{array}{llll} 2x+13 &=& 0 & \vert -13 \\ 2x &=& -13 & \vert :2 \\ x=-6,5 \end{array}$

  Für die zweite Klammer sieht seine Rechnung so aus:

  $\begin{array}{llll} x-3 &=& 0 & \vert +3 \\ x &=& 3 & \end{array}$

  Für die Seitenlänge des Gemäldes kommt nur die Lösung $x=3$ infrage, da sie die einzige positive Lösung ist.

• Bestimme die richtigen Koeffizienten $a$ und $c$.

  Tipps

  Erstelle dir eine Tabelle, um die verschiedenen Faktoren des Produktes aufzuschreiben, und wähle das Paar aus, für das die Summe stimmt.

  Wundere dich nicht, wenn in deinem Ergebnis die Zahlen gegenüber den Lösungsvorschlägen vertauschte Vorzeichen haben. Das liegt daran, dass Summen und Produkte kommutativ sind.

  Lösung

  1. Beispiel

  $a+c=5$ und $a \cdot c=6$

  Wir legen folgende Tabelle der Faktoren von dem Produkt $6$ an:

  $\begin{array}{r|r} \textrm{Faktoren} & \textrm{Summe}\\ \hline 1 ~\text{und}~ 6 & 7\\ -1 ~\text{und}~ {-}6 & -7\\ 2 ~\text{und}~ 3 & 5\\ -2 ~\text{und}~ {-}3 & -5\\ \end{array}$

  Wenn du die einzelnen Reihen der Tabelle durchgehst, stellst du fest, dass $a=3$ und $c=2$ die richtige Lösung sind.

  2. Beispiel

  $a+c=6$ und $a \cdot c=8$

  Wieder legen wir eine Tabelle an. Diesmal betrachten wir die Faktoren von dem Produkt $8$:

  $\begin{array}{r|r} \textrm{Faktoren} & \textrm{Summe}\\ \hline 1 ~\text{und}~ 8 & 9\\ -1 ~\text{und}~ {-}8 & -9\\ 2 ~\text{und}~ 4 & 6\\ -2 ~\text{und}~ {-}4 & -6\\ \end{array}$

  Erneut überprüfst du die Faktoren in den einzelnen Reihen der Tabelle daraufhin, ob sie die Bedingungen $a+c=6$ und $a \cdot c=8$ erfüllen. So stellst du fest, dass $a=2$ und $c=4$ diese Bedingungen erfüllen.

  3. Beispiel

  $a+c=1$ und $a \cdot c=-2$

  Du kannst wieder eine Tabelle anlegen, und zwar für die Faktoren von dem Produkt $-2$:

  $\begin{array}{r|r} \textrm{Faktoren} & \textrm{Summe}\\ \hline 1 ~\text{und}~ {-}2 & -1\\ -1 ~\text{und}~ 2 & 1\\ \end{array}$

  Dies sind die einzigen möglichen Faktoren vom Produkt $-2$. Wenn du die beiden Reihen der Tabelle durchgehst, stellst du fest, dass $a=-1$ und $c=2$ die richtige Lösung sind.

  4. Beispiel

  $a+c=4$ und $a \cdot c=3$

  Du kannst jetzt eine Tabelle für die Faktoren von $3$ erstellen:

  $\begin{array}{r|r} \textrm{Faktoren} & \textrm{Summe}\\ \hline 1 ~\text{und}~ 3 & 4\\ -1 ~\text{und}~ {-}3 & -4\\ \end{array}$

  Die Tabelle enthält die einzigen Faktoren vom Produkt $3$. Wenn du die beiden Reihen der Tabelle durchgehst, stellst du fest, dass die Lösung gegeben ist durch $a=1$ und $c=3$.

• Leite aus zerlegten quadratischen Gleichungen die faktorisierten Formen ab.

  Tipps

  Um die Gleichung in faktorisierter Form zu erhalten, kannst du die Terme zunächst gruppieren und jeweils den größten gemeinsamen Teiler ausklammern.

  Der größte gemeinsame Teiler von $6x^2$ und $3x$ ist gegeben durch $3x$.

  Beispiel:

  $2x^2-4x+2x-4=0$

  Als Erstes kannst du die vier Terme mithilfe von Klammern gruppieren:

  $(2x^2-4x)+(2x-4)=0$

  Dann kannst du jeweils den größten gemeinsamen Teiler ausklammern:

  $2x(x-2)+2(x-2)=0$

  Nun kannst du noch $(x-2)$ ausklammern und erhältst die faktorisierte Form:

  $(2x+2)(x-2)=0$

  Lösung

  1. Beispiel

  $4x^2-8x+6x-12=0$

  Als Erstes kannst du die vier Terme mithilfe von Klammern gruppieren:

  $(4x^2-8x)+(6x-12)=0$

  Dann kannst du jeweils den größten gemeinsamen Teiler ausklammern. Der größte gemeinsame Teiler von $4x^2$ und $-8x$ ist gegeben durch $4x$ und der größte gemeinsame Teiler von $6x$ und $-12$ ist gegeben durch $6$. Daraus folgt:

  $4x(x-2)+6(x-2)=0$

  Nun kannst du noch $(x-2)$ ausklammern und erhältst die faktorisierte Form:

  $(4x+6)(x-2)=0$

  2. Beispiel

  $3x^2+3x-4x-4=0$

  Zunächst kannst du die vier Terme mithilfe von Klammern gruppieren – hier musst du besonders auf das Vorzeichen in der zweiten Klammer achten:

  $(3x^2+3x)-(4x+4)=0$

  Dann kannst du jeweils den größten gemeinsamen Teiler ausklammern. Der größte gemeinsame Teiler von $3x^2$ und $3x$ ist gegeben durch $3x$ und der größte gemeinsame Teiler von $4x$ und $4$ ist gegeben durch $4$. Daher ergibt sich:

  $3x(x+1)-4(x+1)=0$

  Jetzt kannst du noch $(x+1)$ ausklammern und erhältst die faktorisierte Form:

  $(3x-4)(x+1)=0$

  3. Beispiel

  $2x^2-8x-2x+8=0$

  Als Erstes kannst du die vier Terme mithilfe von Klammern gruppieren – auch hier musst du besonders auf das Vorzeichen in der zweiten Klammer achten:

  $(2x^2-8x)-(2x-8)=0$

  Danach kannst du jeweils den größten gemeinsamen Teiler ausklammern. Der größte gemeinsame Teiler von $2x^2$ und $8x$ ist gegeben durch $2x$ und der größte gemeinsame Teiler von $2x$ und $-8$ ist gegeben durch $2$. Daraus folgt:

  $2x(x-4)-2(x-4)=0$

  Nun kannst du noch $(x-4)$ ausklammern und erhältst die faktorisierte Form:

  $(2x-2)(x-4)=0$

• Bestimme die richtigen Aussagen zu quadratischen Gleichungen.

  Tipps

  Der größte gemeinsame Teiler von $3x^3$ und $6x^2$ ist gegeben durch $3x^2$.

  Gleichartige Terme enthalten Monome vom gleichen Grad. So sind zum Beispiel die Terme $4x^2$ und $-3x^2$ vom Grad $2$ und damit gleichartig.

  Lösung

  1. Aussage

  • In der Gleichung $2x^2+3x+4x+6=45$ gibt es drei gleichartige Terme.

  Diese Aussage ist falsch: Gleichartige Terme enthalten Monome vom gleichen Grad. Daher sind die einzigen gleichartigen Terme gegeben durch $3x$ und $4x$ sowie durch $6$ und $45$. Das sind aber jeweils nur zwei.

  2. Aussage

  • Bei dem Term $2x^2-6x$ handelt es sich um ein Binom.

  Diese Aussage ist richtig. Denn ein Binom ist ein Term, der aus zwei Gliedern besteht.

  3. Aussage

  • Der größte gemeinsame Teiler von $2x^2$ und $-6x$ ist $2$.

  Diese Aussage ist falsch: Variablen können auch Teil des größten gemeinsamen Teilers sein. Beide Terme sind durch $x$ teilbar. Daher ist der größte gemeinsame Teiler gegeben durch $2x$.

  4. Aussage

  • Der größte gemeinsame Teiler von $13x$ und $39$ ist $13$.

  Diese Aussage ist richtig. Denn nur im ersten Term ist ein $x$ enthalten, daher muss der größte gemeinsame Teiler eine natürliche Zahl sein. Der größte gemeinsame Teiler der beiden Terme ist daher gegeben durch den größten gemeinsamen Teiler von $13$ und $39$, nämlich $13$.

  5. Aussage

  • Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt aus zwei Faktoren genau dann $0$ ist, wenn beide Faktoren $0$ sind.

  Diese Aussage ist falsch. Der Satz vom Nullprodukt besagt nämlich, dass ein Produkt aus zwei Faktoren genau dann $0$ ist, wenn einer der Faktoren $0$ ist. Es genügt also, dass einer der beiden Faktoren $0$ und der andere von $0$ verschieden ist. Das kannst du dir am Beispiel des Produktes $x(x-2)$ verdeutlichen. Dieses Produkt ist $0$, wenn der erste Faktor $0$ wird, also $x=0$ ist, oder wenn der zweite Faktor $0$ wird, das heißt, wenn $x=2$ ist.

• Bestimme die sinnvolle Lösung für $x$ durch Faktorisierung.

  Tipps

  Gleichartige Terme sind hier diejenigen Terme, die eine gleiche Potenz der Variable $x$ enthalten, zum Beispiel $4x$ und $-3x$. Denn beide enthalten ein $x$ vom Grad $1$.

  Bei der Variablen $x$ handelt es sich um eine Abmessung der Häuserfront aus dem Sachzusammenhang. Daher ist hier nur eine positive Lösung sinnvoll.

  Lösung

  Ausgehend von der Gleichung $7x^2-17x+1-3x^2=16$ kannst du zunächst gleichartige Terme auf der linken Seite zusammenfassen. Die gleichartigen Terme sind hier gegeben durch $7x^2$ und $-3x^2$. Es ergibt sich:

  $4x^2-17x+1=16$

  Nun kannst du die Gleichung so verändern, dass auf der rechten Seite eine $0$ steht. Dafür musst du auf beiden Seiten $16$ abziehen:

  $4x^2-17x-15=0$

  Danach kannst du diese Gleichung faktorisieren. Dafür musst du die Faktoren $a$ und $b$ so bestimmen, dass $a+b=-17$, also der Vorfaktor des mittleren Terms, und $a \cdot b=4 \cdot (-15)=-60$ ergibt, was genau dem Produkt der beiden äußeren Terme entspricht.

  Anschließend kannst du folgende Tabelle erstellen, die die Teiler von $-60$ und deren Summe zeigt:

  $\begin{array}{r|r} \textrm{Faktoren} & \textrm{Summe}\\ \hline 1 ~\text{und}~ {-}60 & -59\\ -1 ~\text{und}~ 60 & 59\\ 2 ~\text{und}~ {-}30 & -28\\ -2 ~\text{und}~ 30 & 28\\ 3 ~\text{und}~ {-}20 & -17\\ -3 ~\text{und}~ 20 & 17\\ 4 ~\text{und}~ {-}15 & -11\\ -4 ~\text{und}~ 15 & 11\\ 5 ~\text{und}~ {-}12 & -7\\ -5 ~\text{und}~ 12 & 7\\ 6 ~\text{und}~ {-}10 & -4\\ -6 ~\text{und}~ 10 & 4\\ \end{array}$

  Daher handelt es sich um die Lösung $a=-20$ und $b=3$.

  Jetzt kannst du den mittleren Term der rechten Seite in folgende Form zerlegen:

  $4x^2-20x+3x-15=0$

  Als Nächstes kannst du Klammern um die einzelnen Terme setzen:

  $(4x^2-20x)+(3x-15)=0$

  Der größte gemeinsame Teiler von $4x^2$ und $-20x$ ist gegeben durch $4x$ und der größte gemeinsame Teiler von $3x$ und $15$ lautet $3$. Wenn wir diese jeweils ausklammern, ergibt sich:

  $4x(x-5)+3(x-5)=0$

  Nun kannst du noch $(x-5)$ ausklammern:

  $(4x+3)(x-5)=0$

  Abschließend kannst du den Satz vom Nullprodukt anwenden. Dieser besagt, dass ein Produkt genau dann $0$ ist, wenn einer der Faktoren $0$ ist. Daher folgt, dass das obige Produkt gleich $0$ ist, wenn entweder der Faktor $4x+3=0$ ist, also $x=-\frac{3}{4}$ ist, oder wenn der Faktor $x-5=0$ ist, also $x=5$ ist.

  Im Sachzusammenhang ist alleinig die positive Lösung sinnvoll. Daher ist $x=5$ die Lösung, die Vincent braucht.