Rekonstruktion von Beständen – Beispiel Wasserstand

Rekonstruktion von Beständen – Beispiel Wasserstand Übung

• Berechne den Wasserstand nach einer sowie nach drei Stunden.

  Tipps

  Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$,

  wobei $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist.

  Zur Bestimmung der Stammfunktion einer ganzrationalen Funktion verwendest du die Potenzregel der Integration

  $\int~x^n~dx=\frac1{n+1}x^{n+1}+c$ für $n\neq -1$.

  Beim bestimmten Integrieren kannst du die Integrationskonstante weglassen.

  Eine Stammfunktion von $f(x)$ ist gegeben durch

  $F(x)=-\frac1{12}x^4+\frac23x^3-\frac56x^2$.

  Lösung

  Um von einer gegebenen Änderungsrate zu einem Bestand zu gelangen, muss man integrieren.

  Die Füllhöhe nach einer gegebenen Zahl von Stunden zwischen $0$ und $5$ lässt sich nun mit Hilfe des bestimmten Integrals berechnen. Das bedeutet, die kubische Funktion, die die Änderungsrate beschreibt, muss integriert werden.

  Eine Stammfunktion dieser Funktion ist gegeben durch

  $F(x)=-\frac1{12}x^4+\frac23x^3-\frac56x^2$.

  Zur Berechnung des bestimmten Integrals wird der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verwendet:

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$

  Nach einer Stunde ist die Füllhöhe gegeben durch

  $\begin{array}{rcl} H(1)&=&10+\int\limits_0^1~\left(-\frac1{3}x^3+2x^2-\frac53x\right)~dx\\ &=&10+\left[-\frac1{12}x^4+\frac23x^3-\frac56x^2\right]_0^1\\ &=&10+\left(-\frac1{12}1^4+\frac231^3-\frac561^2\right)\\ &=&9,75 \end{array}$

  Die Füllhöhe nach einer Stunde beträgt somit $9,75~m$. Das bedeutet, die Wassermenge ist kleiner geworden.

  Ebenso kann die Füllhöhe nach drei Stunden berechnet werden:

  $\begin{array}{rcl} H(3)&=&10+\int\limits_0^3~\left(-\frac1{3}x^3+2x^2-\frac53x\right)~dx\\ &=&10+\left[-\frac1{12}x^4+\frac23x^3-\frac56x^2\right]_0^3\\ &=&10+\left(-\frac1{12}3^4+\frac233^3-\frac563^2\right)\\ &=&13,75 \end{array}$

  Nach drei Stunden ist der Wasserstand wieder angestiegen. Er beträgt nun $13,75~m$.

• Gib die Bestandsfunktion für den Wasserstand an.

  Tipps

  Die Füllhöhe nach einer Stunde kann wie folgt berechnet werden

  $\begin{array}{rcl} H(1)&=&10+\int\limits_0^1~\left(-\frac1{3}x^3+2x^2-\frac53x\right)~dx\\ &=&10+\left[-\frac1{12}x^4+\frac23x^3-\frac56x^2\right]_0^1\\ &=&10+\left(-\frac1{12}1^4+\frac231^3-\frac561^2\right)\\ &=&9,75 \end{array}$

  Du kannst ebenso die Füllhöhe nach einer beliebigen Zahl von Stunden berechnen.

  Prüfe die gegebene Funktion mit den Füllhöhen

  • $H(1)=9,75$ sowie
  • $H(3)=13,75$.

  Lösung

  Die hier abgebildete Änderungsrate ist gegeben. Um zu dem entsprechenden Bestand, der Füllhöhe, zu gelangen, muss diese Funktion integriert werden.

  Das bedeutet: Für ein $t\in[0;5]$ kann die Funktion $H(t)$ für die Füllhöhe nach $t$ Stunden mit Hilfe des bestimmten Integrals berechnet werden.

  Eine Stammfunktion der kubischen Funktion ist

  $F(x)=-\frac1{12}x^4+\frac23x^3-\frac56x^2$.

  Zur Berechnung des bestimmten Integrals wird der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$

  verwendet.

  Nach $t$ Stunden beträgt die Füllhöhe

  $\begin{array}{rcl} H(t)&=&10+\int\limits_0^t~\left(-\frac1{3}x^3+2x^2-\frac53x\right)~dx\\ &=&10+\left[-\frac1{12}x^4+\frac23x^3-\frac56x^2\right]_0^t\\ &=&10+\left(-\frac1{12}t^4+\frac23t^3-\frac56t^2\right)\\ &=&10-\frac1{12}t^4+\frac23t^3-\frac56t^2 \end{array}$

  Beachte, dass die Füllhöhe am Anfang $10$ Meter beträgt. Daher muss $10$ auch im gesuchten Term vorkommen.

• Bestimme Schritt für Schritt die Funktion, mit welcher die Höhe der Pflanze bestimmt werden kann.

  Tipps

  Wir wollen die Bestandsfunktion ermitteln und müssen daher integrieren. Verwende zur Integration von Potenzen die Potenzregel der Integration

  $\int~x^n~dx=\frac1{n+1}x^{n+1}+c$ für $n\neq -1$.

  Eine Stammfunktion der Summe oder Differenz zweier Funktionen ist die Summe oder Differenz der Stammfunktionen dieser Funktionen.

  Du kannst beim Integrieren einen Faktor aus der Integration herausziehen. Schaue dir hierfür ein Beispiel an:

  $\int~(2x^3)~dx=2\int~x^3~dx=2\cdot\frac14x^4=\frac12x^4$.

  Lösung

  Um von einer gegebenen Änderungsrate zu einer Bestandsfunktion zu kommen, muss man integrieren. Das bedeutet, man muss eine Stammfunktion zu der Funktion bestimmen, die die Änderungsrate beschreibt.

  Hierfür werden bei ganzrationalen Funktionen die folgenden Regeln verwendet:

  • die Potenzregel: $\int~x^n~dx=\frac1{n+1}x^{n+1}+c$ für $n\neq -1$
  • die Faktorregel: $\int~(k\cdot f(x))~dx=k\cdot \int~f(x)~dx$
  • die Summenregel: $\int~(f(x)\pm g(x))~dx=\int~f(x)~dx\pm \int~g(x)~dx$

  Das bedeutet, man kann jeden einzelnen Term einzeln betrachten:

  $\begin{array}{rcl} \int~\left(-\frac{3}{50}x^2+\frac35 x\right)~dx&=&-\frac3{50}\cdot\frac13x^3+\frac35\cdot\frac12x^2\\ &=&-\frac1{50}x^3+\frac3{10}x^2 \end{array}$

• Leite die Bestandsfunktion her und berechne damit die Höhe der Pflanze nach fünf sowie zehn Tagen.

  Tipps

  Die Bestandsfunktion ist gegeben durch Addition des bestimmten Integrals

  $\int\limits_0^t~f(x)~dx$

  zu dem Anfangswert.

  Eine Stammfunktion der Änderungsrate ist gegeben durch

  $F(x)=-\frac1{50}x^3+\frac3{10}x^2$.

  Zur Berechnung des bestimmten Integrals kannst du den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verwenden:

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$

  Beachte, dass $F(0)=0$ ist in dem obigen Beispiel.

  Lösung

  Zu dieser Änderungsrate soll die Bestandsfunktion bestimmt werden.

  Die Bestandsfunktion gibt für ein $t\in[0;10]$ die Höhe $H(t)$ in Zentimeter an.

  Eine Stammfunktion der Änderungsrate ist gegeben durch

  $F(x)=-\frac1{30}x^3+\frac3{10}x^2$.

  Mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$

  kann das bestimmte Integral berechnet werden.

  Nach $t$ Tagen beträgt die Höhe der Pflanze

  $\begin{array}{rcl} H(t)&=&10+\int\limits_0^t~\left(-\frac{3}{50}x^2+\frac35 x\right)~dx\\ &=&10+\left[-\frac1{50}x^3+\frac3{10}x^2\right]_0^t\\ &=&10-\frac1{50}t^3+\frac3{10}t^2 \end{array}$

  Nun kann die Höhe der Pflanze nach fünf beziehungsweise zehn Tagen berechnet werden. Hierfür werden $t=5$ sowie $t=10$ in die Funktion $H(t)$ eingesetzt:

  • $H(5)=10-\frac1{50}5^3+\frac3{10}5^2=10-\frac52+\frac{15}2=15$. Die Pflanze ist also nach fünf Tagen $15~cm$ hoch.
  • $H(10)=10-\frac1{50}10^3+\frac3{10}10^2=10-20+30=20$. Nach zehn Tagen ist die Pflanze $20~cm$ hoch.

• Beschreibe, wie du vom Bestand zur Änderungsrate kommst und umgekehrt.

  Tipps

  Kennst du noch die Begriffe der mittleren Änderungsrate sowie der lokalen Änderungsrate?

  Die Veränderung entspricht der lokalen Änderungsrate.

  Die lokale Änderungsrate ist die Ableitung einer Funktion.

  Wenn du von einer Ableitung zurück zur Funktion kommen willst, musst du integrieren.

  Lösung

  Wenn du eine Bestandsfunktion kennst und wissen möchtest, wie der Bestand sich ändert, musst du differenzieren.

  Die Ableitung gibt die Änderung des Bestandes in Abhängigkeit der Variablen an.

  Umgekehrt, wenn du die Änderungsrate kennst, kommst du zu der Bestandsfunktion durch Integrieren.

• Gib an, wie hoch die Pflanze nach acht Wochen ist und wann die Pflanze $22,5~cm$ hoch ist.

  Tipps

  Kontrolliere, ob die von dir gefundenen Zeiten in dem gegebenen Zeitraum liegen.

  Beide einzutragenden Werte sind natürliche Zahlen.

  Die Bestandsfunktion lautet

  $H(t)=15-\frac1{8}t^2+2t$.

  Löse zur Bestimmung der Anzahl der Wochen die Gleichung $22,5=H(t)$ bei unbekanntem $t$. Diese Gleichung ist quadratisch. Wende die p-q-Formel an.

  Lösung

  Zunächst wird zu dieser Änderungsrate die Bestandsfunktion ermittelt.

  Die Bestandsfunktion gibt für ein $t\in[0;8]$ die Höhe $H(t)$ der Pflanze in Zentimeter an.

  Eine Stammfunktion der Änderungsrate ist gegeben durch

  $F(x)=-\frac1{8}x^2+2x$.

  Nun kann der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$

  angewendet werden. Nach $t$ Wochen beträgt die Höhe der Pflanze

  $\begin{array}{rcl} H(t)&=&15+\int\limits_0^t~\left(-\frac1{4}x+2\right)~dx\\ &=&15+\left[-\frac1{8}x^2+2x\right]_0^t\\ &=&15-\frac1{8}t^2+2t \end{array}$

  Nun kann die Höhe der Pflanze nach acht Wochen berechnet werden

  $H(8)=15-\frac1{8}8^2+2\cdot 8=15-8+16=23$. Die Pflanze ist also nach acht Wochen $23~cm$ hoch.

  Um die Zeit zu berechnen, nach der die Pflanze $22,5~cm$ hoch ist, muss eine Gleichung gelöst werden:

  $22,5=15-\frac18 t^2+2t$.

  Diese ist äquivalent zu $\frac18t^2-2t+7,5=0$. Multiplikation mit $8$ führt zu $t^2-16t+60=0$. Hier kann die p-q-Formel angewendet werden:

  $\begin{array}{rcl} t_{1,2}&=&-\frac{-16}2\pm\sqrt{\left(\frac{-16}2\right)^2-60}\\ &=&8\pm\sqrt4\\ x_1&=&8+2=10\\ x_2&=&8-2=6 \end{array}$

  Da das Wachstum der Pflanze nur in den ersten acht Wochen betrachtet wird, ist die gesuchte Lösung die $6$. Das heißt: Nach sechs Wochen ist die Pflanze $22,5~cm$ hoch.