Reinquadratische Gleichungen faktorisieren

Reinquadratische Gleichungen faktorisieren Übung

• Vervollständige die Terme.

  Tipps

  Multiplizierst du die Klammern aus, so ergibt sich wieder die obere Gleichung.

  Die Gleichung

  $x^2 - 49=0$

  kannst du wie folgt ausklammern:

  $(x+7)\cdot (x-7)$

  Bei einer Summe kannst du die Summanden beliebig vertauschen, bei einer Differenz ist die Reihenfolge wichtig.

  Lösung

  Um eine Differenz von Quadraten auszuklammern, brauchst du zwei Klammern. In der ersten Klammer steht eine Summe zweier Terme, in der zweiten die Differenz derselben Terme. Die Summanden erhältst du, indem du aus den beiden Quadraten jeweils die Wurzel ziehst. Die Reihenfolge der Summanden ist egal. Bei der Differenz ist die Reihenfolge nicht egal. Der Minuend ist die Wurzel des Minuenden aus der Differenz der Quadrate, der Subtrahend ist die Wurzel des Subtrahenden.

  Mit den konkreten Werten dieser Aufgabe erhältst du also:

  $ \begin{array}{rcl} x^2-64 &=& 0 \\ (\sqrt{x^2}+\sqrt{64}) \cdot (\sqrt{x^2}-\sqrt{64}) &=& 0 \\ (x+8) \cdot (x-8) &=& 0 \end{array} $

• Beschreibe das Ausklammern.

  Tipps

  Den Term $x^2 +1$ kannst du nicht als Produkt linearer Terme schreiben.

  Der Term $x^2 +2x - 1$ ist nicht die Differenz zweier Quadrate.

  Die Gleichung

  $9x^4 - 25$

  kannst du ausklammern zu:

  $(3x^2 +5)\cdot(3x^2 - 5)$

  Lösung

  Um eine quadratische Gleichung zu lösen, ist es nützlich, den Term der linken Seite als Produkt linearer Terme zu schreiben. Das geht am einfachsten, wenn der Term eine Differenz zweier Quadrate ist. In diesem Fall sind die Faktoren des Produkts die Summe und die Differenz derselben Terme. Die quadratische Gleichung in allgemeiner Form

  $ax^2+bx+c=0$

  ist die Differenz zweier Quadrate, wenn folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:

  • Die linke Seite der quadratischen Gleichung darf keinen linearen Term enthalten, d. h., der Koeffizient des linearen Terms muss $0$ sein. In der allgemeinen Form ist dies der Koeffizient $b$.

  • Damit die beiden verbleibenden Terme eine Differenz von Quadraten und nicht eine Summe sind, müssen die Vorzeichen der beiden verbleibenden Koeffizienten ungleich sein. Dazu kann entweder $a$ positiv und $c$ negativ sein oder umgekehrt.

  Den verbleibenden Term auf der linken Seite der Gleichung kannst du dann zu $ax^2-c$ umformen. Damit erhältst du:

  $ax^2-c=0$

  Die Koeffizienten $a$ und $c$ haben dann das gleiche Vorzeichen. Wenn es nicht sowieso schon positiv ist, kannst du die ganze Gleichung mit ${-1}$ multiplizieren. Dann ist es möglich, die Gleichung $ax^2-c=0$ als Produkt zweier linearer Terme zu schreiben. Die Faktoren dieses Produkts ist die Summe bzw. die Differenz der Wurzeln von $ax^2$ und $c$. Die Faktorisierung sieht dann so aus:

  $ax^2 -c = (\sqrt{ax^2}+ \sqrt{c}) \cdot (\sqrt{ax^2}-\sqrt{c}) = (\sqrt{a} \cdot x + \sqrt{c}) \cdot (\sqrt{a} \cdot x - \sqrt{c})$

  Der Satz vom Nullprodukt besagt: Ein Produkt ist genau dann $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist. Du kannst den Satz benutzen, um zu schließen, dass aus der Gleichung $ax^2-c=0$ folgt, dass einer der Faktoren $(\sqrt{a} \cdot x + \sqrt{c})$ und $(\sqrt{a} \cdot x - \sqrt{c})$ null ist.

  Aus der ausgeklammerten Gleichung folgt daher:

  $(\sqrt{ax^2} +\sqrt{c}) =0$ oder $(\sqrt{ax^2} -\sqrt{c})=0$

  Äquivalent kannst du auch schreiben:

  $(\sqrt{a} \cdot x +\sqrt{c}) =0$ oder $(\sqrt{a} \cdot x -\sqrt{c})=0$

  Die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung sind also:

  $x_1 = - \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}}$ und $x_2 = \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}}$

• Bestimme die Faktorisierung.

  Tipps

  Multipliziere die Terme aus, um deine Zuordnung zu überprüfen.

  Verwende das Potenzgesetz $x^{m+n} =x^m \cdot x^n$, um die Wurzel aus einer Potenz von $x$ zu ziehen.

  Die Gleichung

  $16x^8 - 64=0$

  kannst du faktorisieren zu:

  $(4x^4+8)\cdot (4x^4-8)$

  Lösung

  Einen Term der Form $ax^2+bx+c=0$ kannst du als Produkt schreiben, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

  • Es darf kein linearer Term vorhanden sein, d. h., es muss $b=0$ gelten.
  • Die Koeffizienten $a$ und $b$ müssen unterschiedliche Vorzeichen haben.

  Analog kannst du auch eine Gleichung der Form $ax^n-c=0$ (mit $a,c>0$ oder $a,c<0$) als Produkt schreiben, wenn gilt:

  • Der Exponent $n$ ist gerade.

  Die Faktoren des Produkts sind die Summe bzw. die Differenz der Wurzeln der Terme in der Gleichung $ax^n-c=0$. Das negative Vorzeichen steht vor der Wurzel desjenigen Terms, der auch in der Gleichung $ax^n-c=0$ das negative Vorzeichen trägt. Im Allgemeinen gilt also für positive Vorzeichen die Faktorisierung:

  $ax^n-c=(\sqrt{ax^n}+\sqrt{c}) \cdot (\sqrt{ax^n}-\sqrt{c})=0$

  Analog kannst du die Gleichung $ax^2-c=0$ mit negativen Koeffizienten $ax^n-c=0$ faktorisieren.

  So erhältst du folgende Zuordnung:

  • $x^2-36 = (-x-6) \cdot (-x+6)$
  • $36-x^6 = (6+x^3) \cdot (6-x^3)$
  • $x^{10}-25 = (x^5-5) \cdot (x^5+5)$
  • $25-x^{10} = (5-x^5) \cdot (5+x^5)$
  • $x^6-64 = (x^3-8) \cdot (x^3+8)$

• Erschließe die Faktoren.

  Tipps

  Die Wurzel einer Potenz mit geradem Exponenten ist die Potenz mit dem halben Exponenten.

  Hier ist ein Beispiel:

  $16x^8-64 = (\sqrt{16x^8}+\sqrt{64}) \cdot (\sqrt{16x^8}-\sqrt{64}) = (4x^4+8) \cdot (4x^4-8)$

  Lösung

  Eine Differenz von Quadraten kannst du als Produkt einer Summe und einer Differenz faktorisieren. Auch eine höhere Potenz von $x$ kannst du als Quadrat auffassen, wenn der Exponent gerade ist. Für den Exponenten $n=2m$ kannst du die Potenz $x^n = x^{2m}$ als Quadrat von $x^m$ schreiben, denn nach dem Potenzgesetz ist:

  $x^m \cdot x^m = x^{m+m} = x^{2m} = x^n$

  Für den Term $49x^6-36$ findest du z. B. eine Faktorisierung, indem du aus $49x^6$ einerseits und $36$ anderseits jeweils die Wurzeln ziehst. Die Faktoren sind dann die Summe und die Differenz dieser Wurzeln, also:

  $49x^6-36 = (\sqrt{49x^6}+\sqrt{36}) \cdot (\sqrt{49x^6}-\sqrt{36}) = (7x^3+6) \cdot (7x^3-6)$

  So erhältst du folgende Zuordnung der Faktoren:

  $49x^6-36$:

  • $(7x^3+6)\cdot (7x^3-6)$

  $49-16x^8$:

  • $(7-4x^4)\cdot (7+4x^4)$

  $49-36x^6$:

  • $(7-6x^3)\cdot (7+6x^3)$

  $36x^6-9$:

  • $(6x^3-3)\cdot (6x^3+3)$

• Berechne die Terme mithilfe der binomischen Formeln.

  Tipps

  Multipliziere die Klammern aus, um die passenden Terme zu finden.

  In dem Produkt zweier gleicher Klammern hat kein quadratischer Term ein negatives Vorzeichen.

  Hier ist ein Beispiel:

  $(c+d) \cdot (c-d) = c^2 - cd + dc - d^2 = c^2 - d^2$

  Lösung

  Die binomischen Formeln zeigen, wie man Summen und Differenzen derselben Terme ausmultipliziert. Dabei gibt es zunächst drei verschiedene Möglichkeiten: das Quadrat einer Summe, das Quadrat einer Differenz sowie das Produkt einer Summe und einer Differenz. Zusätzlich kann das Produkt ein negatives Vorzeichen tragen.

  Du erhältst die Terme der rechten Seite, indem du das Produkt ausmultiplizierst. Dabei musst du immer die Regel

  Minus mal minus ergibt plus

  beachten.

  Hier sind die korrekten Zuordnungen:

  • $(a+b) \cdot (a+b) = a^2+ab+ba+b^2 = a^2+2ab+b^2$
  • $(a-b) \cdot (a-b) = a^2-ab-ba+b^2 = a^2-2ab+b^2$
  • $(a+b) \cdot (a-b) = a^2-ab+ba+b^2 = a^2-b^2$
  • $-(a-b) \cdot (a-b) = -(a^2-ab-ba+b^2) = -a^2+2ab-b^2$
  • $(b+a) \cdot (b-a) = b^2-ba+ab-a^2 = b^2-a^2$

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  Benutze die Mitternachtsformel, um die Lösungen einer quadratischen Gleichung darzustellen.

  Lässt sich $-5^2-12^2$ in ein Produkt von Quadraten zerlegen?

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Ist das Absolutglied einer quadratischen Gleichung der Form $ax^2+c=0$ negativ und ungleich null, so besitzt die Gleichung immer zwei Lösungen.“ In so einem Fall können wir die Gleichung als Produkt zweier linearer Terme darstellen. Hierzu ein Beispiel: $x^2-9=(x+3)(x-3)$. Andernfalls kann man aber auch die Gleichung einfach nach $x$ umstellen.

  • „Die Lösungen der Gleichung $x^6-36=0$ sind $\pm\sqrt[3]{6}$.“ Durch die Faktorisierung erhältst du $x^6-36 = (x^3+6) \cdot (x^3-6)$. Nach dem Satz vom Nullprodukt ist das Produkt genau dann $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist. Aus der Gleichung $x^3+6=0$ erhältst du die Lösung $x_1 = -\sqrt[3]{6}$, aus der Gleichung $x^3-6=0$ die Lösung $x_2 = +\sqrt[3]{6}$.

  • „Jede Differenz von Quadraten mit positivem Vorzeichen lässt sich in ein Produkt zerlegen.“ Die Differenz $a^2-b^2$ kannst du mit der dritten binomischen Formel ausklammern: $a^2-b^2 = (a+b) \cdot (a-b)$.

  • „Unterscheiden sich die beiden Lösungen einer quadratischen Gleichung nur durch das Vorzeichen, so ist die Gleichung eine Differenz zweier Quadrate.“ Denn du kannst die linearen Terme mit den Lösungen wieder ausmultiplizieren. Sind die Lösungen der quadratischen Gleichung $x_1=5$ und $x_2=-5$, so schreibst du $(x-5) \cdot (x+5)=0$. Ausmultipliziert ergibt dies die quadratische Gleichung mit diesen beiden Lösungen: $x^2-5x+5x-25=x^2-25=x^2-5^2$. Dabei handelt es sich um die Differenz zweier Quadrate. Alternativ kannst du auch die Mitternachtsformel oder die $pq$-Formel zur Darstellung der Lösungen verwenden. An beiden Formeln kannst du ablesen, dass genau dann zwei betragsgleiche Lösungen mit unterschiedlichem Vorzeichen existieren, wenn der Koeffizient des linearen Glieds $0$ ist und die beiden anderen Koeffizienten verschiedene Vorzeichen haben.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „In der Gleichung $x^4-64= (x^2+8) \cdot (x^2-8)=0$ repräsentiert die linke Klammer die Lösung $x=8$.“ Nach dem Satz vom Nullprodukt ist das Produkt genau dann $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist. Ist der linke Faktor $0$, so erhältst du die Gleichung $x^2+8=0$. Diese Gleichung hat keine reellen Lösungen.

  • „Es existieren quadratische Gleichungen der Form $ax^2+c=0$ mit $a$ und $c$ ungleich null, die genau eine Lösung besitzen.“ Eine quadratische Gleichung ohne lineares Glied, aber mit Absolutglied kann keine oder zwei Lösungen besitzen. Es ist aber nicht möglich, dass sie genau eine Lösung ($x=0$) besitzt, da die Gleichung $ax^2+c=0$ für $x=0$ immer einen Widerspruch liefert.

  • „Lässt sich eine quadratische Gleichung in das Produkt zweier linearer Terme zerlegen, so hat sie zwei verschiedene Lösungen.“ Die Gleichung $x^2-2x+1=0$ kannst du ausklammern zu $(x-1) \cdot (x-1) =0$. Die Gleichung hat nur die Lösung $x=1$.