Quotientenregel – Herleitung

Hallo, mein Name ist Michael. Ich möchte in diesem Video mit dir zusammen die Quotientenregel herleiten. Für die Herleitung solltest du bereits Ableitungen mit der Produkt- und Kettenregel bilden können. Anfangs werde ich dir zeigen, warum wir die Quotientenregel eigentlich brauchen. Im zweiten Abschnitt werden wir uns noch einmal erinnern, wie genau die Produktregel lautet um dann im dritten Abschnitt die Herleitung der Quotientenregel aus der Produktregel nachvollziehen. Dann werde ich mit dir an einem Beispiel die Quotientenregel anwenden. Nach dem Beispiel werden wir die Quotientenregel allgemein aufstellen. Am Ende fasse ich das Gelernte einmal zusammen. Warum brauchen wir die Quotientenregel? Als Beispiel betrachten wie den Quotienten aus den Funktionen 2x² und 3x-1. Bevor wir f’, also die Ableitung der Funktion angeben können, betrachten wir die Funktion als ein Produkt aus 2x² und 1 durch 3x-1 . Nun könnten wir die Ableitung f'(x) mit Hilfe der Produktregel bestimmen, was aber aufgrund des Faktors 1/3x-1 nicht einfach ist. Deswegen zeige ich dir in den nächsten Minuten, wie du solche Funktionen mit der Quotientenregel ableiten kannst. Im Allgemeinen kann man unser Beispiel auch als Quotienten von 2 beliebigen Funktionen u(x) und v(x) beschreiben, welcher in der Regel als Bruch dargestellt wird. Nun kommen wir zu zweitens: Erinnerung an die Produktregel. Um die Quotientenregel nun herzuleiten betrachten wir diese Funktion wieder als Produkt, nämlich aus u(x) und 1/v(x). Nun versuchen wir die Produktregel auf unsere Funktion anzuwenden. Zuvor noch einmal zur Erinnerung: die Produktregel für eine Funktion der Form g(x)= Groß U(x)*Groß V(x) lautet folgendermaßen: g’(x) ist gleich der Ableitung von groß U(x), also groß U’(x) mal groß V(x) plus groß U(x) mal der Ableitung von groß V(x), also groß V’(x).

Groß U(x) und Groß V(x) entsprechen also unseren Faktoren: Es gilt: groß U(x)= klein u(x) und groß V(x)= 1/ klein v(x). Leiten wir unsere Funktion nun mit Hilfe der Produktregel ab, erhalten wir folgenden Ausdruck: die Ableiteung von u(x), also u’(x) mal 1/v(x) addiert mit u(x) mal der Ableitung unseres zweiten Faktors, also (1/v(x))’. Kommen wir zur Herleitung der Quotientenregel. Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, betrachten wir den Term (1/v(x))’ erst einmal separat. Zuerst wenden wir ein Potenzgesetz an, welches uns erlaubt den Term mit v(x) hoch minus 1 zu schreiben. Nun leiten wir diesen Term mit Hilfe der Kettenregel ab. Zuerst wird die Potenz minus eins vor das v geschrieben, dann wird die Potenz um 1 verkleinert, wir erhalten also v(x) hoch minus 2. Zuletzt müssen wir das Ganze nun noch mit der inneren Ableitung, also v’(x) multiplizieren. Wir erhalten den Ausruck -1v(x)^-2v'(x) Setzen wir den gerade berechneten Term nun in unsere obere Gleichung ein, dann erhalten wir für die Ableitung f'(x) = u'(x)(1/v(x))+ u(x) (-1)v(x)^-2v'(x). Die -1 macht aus dem Plus ein Minus und aus dem v(x)-2 wird wieder ein Bruch. Nun erweitern wir den linken Summanden mit v(x) um auf beiden Seiten der Gleichung den gleichen Nenner zu erhalten. Wir erhalten wieder einen Term in der Bruchschreibweise: f'(x)= ((u'(x)v(x))/ v(x)2) - (u(x)v'(x))/ v(x)2 Nach der Subtraktion von Brüchen sieht unsere Gleichung für die Quotientenregel folgerndermaßen aus:

f'(x)= (u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/ v(x)² Wenn wir die Variable x der Einfachheit halber weglassen ergibt sich folgende Merkregel: f'(x) bzw (u/v)'= (u'v-uv')/ v²

Versuchen wir gleich die Quotientenregel an unserem Beispiel anzuwenden: Links unser Beispiel und rechts daneben die allgemeine Form. Das u(x) entspricht 2x² und das v(x) 3x-1. Nun wenden wir Schritt für Schritt die Quotientenregel an: Also statt u’ schreiben wir (2x²)’ und statt v´schreiben wir (3x-1)´. Die Ableitung von ( 2x²)’ und (3x-1)’ sind bekannt: (2x²)’= 4x und (3x-1)’ ist gleich 3. Setzen wir das nun ein, erhalten wir als Ergebnis: f'(x)= (4x(3x-1) - 2x² 3)/ (3x-1)² , Vereinfacht erhalten wir dann (6x²-4x)/ (3x-1)² Es muss noch erwähnt werden, dass die Funktion f(x) und die Ableitung f´(x) an der Stelle x=⅓ nicht definiert ist, da der Nenner nicht 0 werden darf. Die Funktion hat an der Stelle eine Definitionslücke und kann dort nicht mit der Quotientenregel abgeleitet werden. Ganz allgemein gilt also immer die Bedingung, dass u und v differenzierbare Funktionen sein müssen und an der Stelle x0 muss v(x0) ungleich 0 sein. Genau dann gilt, dass f(x) =u(x)/ v(x) die folgende Ableitung hat.

Also als kurze Merkfomel: f'=(u´v-uv´)/v2

Damit wäre es für heute auch geschafft. Die Quotientenregel kann man also mit Hilfe der Produktregel und der Kettenregel herleiten. Sie lautet in der Kurform: (u/v)´=(u´v-uv´)/ v². Statt dem Beispiel, welches ich dir vorgerechnet habe, kannst du dir eigene Beispiele ausdenken oder auch in deinem Mathebuch nachschauen. Viel Erfolg beim Ableiten.