Quotientenregel – Beispiele mit Wurzelausdrücken

Quotientenregel – Beispiele mit Wurzelausdrücken Übung

• Bestimme die erste Ableitung der Funktion.

  Tipps

  Verwende die Quotientenregel:

  $\left(\frac uv\right)'=\frac{u\cdot v-u\cdot v'}{u^2}$.

  Zur Ableitung der Wurzelfunktion kannst du diese wie folgt schreiben:

  $\sqrt x=x^{\frac12}$.

  Lösung

  Es soll die Funktion

  $f(x)=\frac{2x+2}{\sqrt x}$

  mit dem Definitionsbereich $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}^+$ unter Verwendung der Quotientenregel abgeleitet werden.

  $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}$

  Hier ist

  • $u(x)=2x+2$ und $u'(x)=2$ sowie
  • $v(x)=\sqrt x=x^{\frac12}$. Damit ist $v'(x)=\frac12 x^{-\frac12}$.

  Also ist

  $\begin{align*} f'(x)&=\frac{2x^{\frac12}-(2x+2)\cdot \frac12\cdot x^{-\frac12}}{(\sqrt x)^2}\\ &=\frac{2x^{\frac12}-x^{\frac12}-x^{-\frac12}}{x}\\ &=\frac{x^{\frac12}-x^{-\frac12}}{x}&|&\cdot \frac{x^{\frac12}}{x^{\frac12}}\\ &=\frac{x-1}{x^{\frac32}}\\ &=\frac{x-1}{\sqrt{x^3}}. \end{align*}$

• Beschreibe, wie die erste Ableitung der Funktion bestimmt werden kann.

  Tipps

  Verwende die Quotientenregel:

  $\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$.

  Schreibe die Wurzel als Potenz:

  $\sqrt x=x^{\frac12}$.

  Erweitere bei der Ableitung mit $(2-2x)^{\frac12}$.

  Lösung

  Um die Funktion

  $f(x)=\frac{\sqrt{(2-2x)}}{x^2}$

  mit dem Definitionsbereich $\mathbb{D}_f=\{x\in\mathbb{R}|x\le1,~x\neq 0\}$ abzuleiten, werden zunächst die Ableitungen des Zählers sowie des Nenners benötigt:

  • $\left(\sqrt{(2-2x)}\right)'=\left((2-2x)^{\frac12}\right)'=-(2-2x)^{-\frac12}$ sowie
  • $(x^2)'=2x$.

  Nun kann die Quotientenregel angewendet werden:

  $\begin{align*} f'(x)& =\frac{-(2-2x)^{-\frac12}\cdot x^2-(2-2x)^{\frac12}\cdot 2x}{x^4} \\ & = \frac{-(2-2x)^{-\frac12}\cdot x-2(2-2x)^{\frac12}}{x^3} \end{align*}$

  Nun wird mit $(2-2x)^{\frac12}$ erweitert:

  $\begin{align*} f'(x)& = \frac{-(2-2x)^{-\frac12}\cdot x-2(2-2x)^{\frac12}}{x^3} &|&\cdot\frac{(2-2x)^{\frac12}}{(2-2x)^{\frac12}} \\ & = \frac{-x-2(2-2x)}{x^3\cdot (2-2x)^{\frac12}}\\ &=\frac{3x-4}{x^3\cdot \sqrt{(2-2x)}}. \end{align*}$

• Untersuche den Definitionsbereich der Funktion.

  Tipps

  Die Wurzel ist nur für nicht-negative Radikanden definiert.

  Der Nenner muss ungleich $0$ sein.

  Löse die entsprechende Gleichung und schließt die Nennernullstelle aus.

  Lösung

  Der Definitionsbereich der Funktion

  $f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}}{(x+1)^2}$

  soll bestimmt werden.

  • Zum einen darf der Term unter der Wurzel nicht negativ sein. Da $x^2+1$ immer größer ist als $1$, liegt im Zähler keine Einschränkung vor.
  • Zum anderen ist das Teilen durch $0$ nicht möglich. Also muss $(x+1)^2\neq 0$ sein. Dies ist äquivalent zu $x\neq -1$.

  Der Definitionsbereich ist gegeben durch $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.

• Bestimme die erste Ableitung der Funktion.

  Tipps

  Die erste Ableitung der Wurzel ist gegeben durch

  $(\sqrt x)'=\frac1{2\sqrt x}$.

  Um $\sqrt{x^2+1}$ abzuleiten, musst du zusätzlich die Kettenregel

  $(g(h(x)))'=g'(h(x))\cdot h(x)$

  verwenden.

  Die Ableitung des Nenners ist gegeben durch

  $((x+1)^2)'=2(x+1)$.

  Lösung

  Zunächst können von der Funktion

  $f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}}{(x+1)^2}$

  sowohl die Ableitung des Zählers als auch die des Nenners berechnet werden. Diese sind:

  • $(\sqrt{x^2+1})'=\frac1{2\sqrt{x^2+1}}$ sowie
  • $((x+1)^2)'=2(x+1)$.

  Somit lässt sich die Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel berechnen:

  $\begin{align*} f'(x)& =\frac{\frac x{\sqrt{x^2+1}}\cdot (x+1)^2-\sqrt{x^2+1}\cdot2\cdot(x+1)}{(x+1)^4} \\ & = \frac{\frac x{\sqrt{x^2+1}}\cdot (x+1)-\sqrt{x^2+1}\cdot2}{(x+1)^3} &|&\cdot\frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}} \\ &=\frac{x\cdot (x+1)-2(x^2+1)}{(x+1)^3\cdot\sqrt{x^2+1} } \\ &=\frac{-x^2+x-2}{(x+1)^3\cdot\sqrt{x^2+1} }. \end{align*}$

• Gib die Quotienten- und Kettenregel an.

  Tipps

  Du kannst dir die Quotientenregel in Worten merken:

  „... Ableitung des Zählers mal den Nenner minus Zähler mal Ableitung des Nenners durch den Nenner im Quadrat.“

  Du kannst dir die Kettenregel in Worten merken:

  „... die Ableitung der äußeren Funktion an der inneren Funktion mal die Ableitung der inneren Funktion.“

  Lösung

  Die Quotientenregel zur Ableitung der Funktion

  $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$,

  wobei $u$ und $v$ differenzierbare Funktionen sind und $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{x|v(x)=0\}$, lautet:

  $f'(x)=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$.

  Die Kurzschreibweise lautet:

  $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}$.

  Die Kettenregel zur Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

  $(g(h(x)))'=g'(h(x))\cdot h'(x)$.

• Werte die erste Ableitung der Funktion an der Stelle $x_0=1$ aus.

  Tipps

  Bestimme die erste Ableitung dieser Funktion.

  Du kannst $f$ auch wie folgt umformen:

  $f(x)=\frac1{\sqrt x}$.

  Es gilt

  $(\sqrt x)'=\frac1{2\sqrt x}$.

  Lösung

  Die Funktion

  $f(x)=\sqrt{\frac1x}$

  kann wie folgt mit der Quotientenregel abgeleitet werden:

  $\begin{align*} f'(x)&=\frac1{2\sqrt{\frac1x}}\cdot \left( \frac 1x \right)'\\ &=\frac1{2\sqrt{\frac1x}}\cdot \left(-\frac1{x^2}\right)\\ &=-\frac1{2\sqrt{\frac1x}\cdot x^2}\\ &=-\frac1{2\sqrt{x^3}}. \end{align*}$

  In dieser Ableitung kann $x_0=1$ eingesetzt werden:

  $f'(1)=-\frac1{2\sqrt{1^3}}=-\frac12=-0,5$.