Quadratische Ungleichungen rechnerisch lösen

Quadratische Ungleichungen rechnerisch lösen Übung

• Bestimme die Lösungsmenge der gegebenen Ungleichung.

  Tipps

  Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet wie folgt:

  $0=ax^ {2} + bx + c$

  Bei einer Ungleichung steht anstelle des Gleichheitszeichens ein $\gt$, $\geq$, $\lt$ oder $\leq$.

  Bei der Normalform einer quadratischen Gleichung ist der Parameter $a$ gleich $1$. Ist der Koeffizient $a$ einer Gleichung ungleich $1$, so wird die gesamte Gleichung durch diesen Koeffizienten geteilt, damit vor dem $x^2$ eine $1$ bzw. nichts steht:

  $0=x^{2}+px+q$

  Die Größen $p$ und $q$ kannst du dann in die $pq$-Gleichung einsetzen.

  Achte bei der Aufstellung der Lösungsmengen auf die Relationszeichen ($\lt$; $\gt$; $\geq$; $\leq$).

  Lösung

  Um die quadratische Ungleichung $y_1\lt -2x^{2}+32x-121$ lösen zu können, bedarf es einiger Zwischenschritte. Als Erstes überlegen wir uns eine Zahl, die wir überprüfen wollen. Hier wurde $y_1=5$ gewählt. Dieser Wert wird in die Ungleichung eingesetzt. Wir erhalten:

  $5\lt -2x^{2}+32x-121$

  Als Nächstes muss die quadratische Ungleichung in die allgemeine Form $0\lt ax^{2}+bx+c$ umgestellt werden. Das wird durch Umformungen auf beiden Seiten erreicht. Hier subtrahieren wir auf beiden Seiten $5$:

  $\begin{array}{llll} 5 &\lt& -2x^{2}+32x-121 & | - 5 \\ 0 &\lt& -2x^ {2}+32x-126 & \end{array}$

  Um die Lösungen der umgeformten quadratischen Ungleichung bestimmen zu können, wandelt man diese in eine quadratische Gleichung um, indem man das Relationszeichen austauscht. Aus $\lt$ wird jetzt $=$:

  $0= -2x^ {2}+32x-126$

  Um die $pq$-Formel anwenden zu können, wird die quadratische Gleichung aus der allgemeinen in die Normalform $0=x^ {2}+px+q$ umgewandelt. Man dividiert hierzu beide Seiten der Gleichung durch den Faktor $a$ (hier $-2$) vor dem $x^2$ und erhält die Normalform:

  $\begin{array}{llll} 0 &=& -2x^{2}+32x-126 & \vert :(-2) \\ 0 &=& x^ {2}-16x+63 & \end{array}$

  Nun können wir die $pq$-Formel anwenden und die beiden möglichen Lösungen bestimmen. Die $pq$-Formel lautet:

  $x_{1|2}=-\frac {p}{2}\pm \sqrt {\left(\frac {p}{2}\right)^2 -q}$

  Das $p$ steht dabei in der Normalform vor dem linearen Glied $x$ und das $q$ entspricht dem absoluten Glied:

  $0=x^{2}+px+q=x^ {2}-16x+63$

  Für diese Gleichung folgt mit $p=16$ und $q=63$ folgende Rechnung:

  $\begin{array}{lll} x_{1|2} &=& -\frac {-16}{2}\pm \sqrt {\frac {(-16)^{2}}{4} -63} \\ x_{1|2} &=& 8\pm \sqrt {\frac {256}{4} -63} \\ x_{1|2} &=& 8\pm \sqrt {64-63} \\ x_{1|2} &=& 8\pm \sqrt {1} \\ x_{1|2} &=& 8\pm 1 \\ && \\ x_1 &=& 9 \\ x_2 &=& 7 \end{array}$

  Jetzt haben wir $2$ Zahlen erhalten, die mögliche Lösungsmengen eingrenzen. Dabei ist darauf zu achten, dass unsere Relationszeichen kein „kleiner gleich“ enthalten, also müssen wir das auch bei der Angabe der Mengen berücksichtigen. Es ergeben sich folgende mögliche Lösungsmengen:

  $\mathbb{M}_1=\{x\in \mathbb {R} \mid 7 \lt x \lt 9\}$

  $\mathbb{M}_2=\{x\in \mathbb {R} \mid x \gt 9 \lor x \lt 7\}$

  $\mathbb{M}_1$ enthält dabei alle reellen Zahlen zwischen $7$ und $9$, die größer als $7$ und kleiner als $9$ sind. $\mathbb{M}_2$ enthält die Zahlen, die größer als $9$ oder kleiner als $7$ sind.

  Um nun herausfinden zu können, welche Menge die richtige ist, setzen wir eine mögliche Lösung aus einer Menge ein. In diesem Fall wird $x_1=8$ aus der Menge $\mathbb{M}_1$ eingesetzt. Erhalten wir eine wahre Aussage, so wissen wir, dass $\mathbb{M}_1$ die gesuchte Lösungsmenge ist:

  $\begin{array}{lll} 0 &\lt& -2x^ {2}+32x-126 \\ 0 &\lt& -2\cdot 8^{2}+32\cdot 8-126 \\ 0 &\lt& -2\cdot 64+256-126 \\ 0 &\lt& -128+256-126 \\ 0 &\lt& 2 \end{array}$

  Die Aussage $0\lt 2$ ist eine wahre Aussage und zeigt uns, dass $\mathbb{M}_1$ die Lösungsmenge der Ungleichung ist. Die gesuchte Lösungsmenge lautet also:

  $\mathbb {L}= \{x \in \mathbb {R} \mid 7 \lt x \lt 9\}$

• Ergänze die Rechenschritte bei der Bestimmung der Lösungsmenge.

  Tipps

  Um eine quadratische Gleichung von allgemeiner Form $0=ax^{2}+bx+c$ in Normalform umzuwandeln, musst du durch $a$ teilen. Sieh dir hierzu folgendes Beispiel an:

  $\begin{array}{llll} 2x^{2} +4x+6 &=& 0 & \vert:2 \\ x^{2}+2x+3 &=& 0 & \end{array}$

  Betrachtet man zur Ungleichung $0\gt x^{2}+4x+4$ die entsprechende quadratische Gleichung $0= x^{2}+4x+4$, so liefert die $pq$-Formel die Lösung $x_{1|2}=-2$. Mögliche Lösungsmengen sind dann:

  $\mathbb{M}_1= \emptyset$

  $\mathbb{M}_2=\mathbb {R} \setminus \{-2\}$

  Lösung

  Wir betrachten im Folgenden die quadratische Ungleichung $y_2 \gt 0,25x^{2}-2,5x+14,25$. Wir möchten für $y_2=8$ diese Ungleichung lösen. Dafür setzen wir $y_2=8$ in die Ungleichung ein und erhalten:

  $8 \gt 0,25x^{2}-2,5x+14,25$

  Wir wandeln die Ungleichung zunächst in die allgemeine Form um, indem man auf der linken Seite eine $0$ erzeugt. Dazu subtrahieren wir auf beiden Seiten $8$:

  $\begin{array}{llll} 8 &\gt& 0,25x^{2}-2,5x+14,25 & \vert -8 \\ 0 &\gt& 0,25x^ {2}-2,5x+6,25 & \end{array}$

  Im nächsten Schritt betrachten wir die entsprechende quadratische Gleichung und bringen diese in die Normalform. Das heißt, dass vor dem quadratischen Glied $x^{2}$ der Faktor $1$ stehen muss. Wir dividieren also durch $0,25$:

  $\begin{array}{llll} 0 &=& 0,25x^ {2}-2,5x+6,25 & \vert :0,25 \\ 0 &=& x^{2}-10x+25 & \end{array}$

  Nun bestimmen wir die Lösungen dieser quadratischen Gleichung mithilfe der $pq$-Formel. Dies ist erst in der Normalform der quadratischen Gleichung möglich. Die $pq$-Formel lautet:

  $x_{1|2}=-\frac {p}{2}\pm \sqrt {\left(\frac {p}{2}\right)^2 -q}$

  Durch Einsetzen von $p=-10$ und $q=25$ erhalten wir folgende Rechnung:

  $\begin{array}{lll} x_{1|2} &=& -\frac {-10}{2}\pm \sqrt {\frac {(-10)^{2}}{4} -25} \\ x_{1|2} &=& 5\pm \sqrt {\frac {100}{4} -25} \\ x_{1|2} &=& 5\pm \sqrt {25-25} \\ x_{1|2} &=& 5\pm \sqrt {0} \\ x_{1|2} &=& 5 \end{array}$

  $x=5$ ist unsere einzige Lösung der Gleichung. Da unsere Ungleichung ein $\gt$-Zeichen, also „echt größer als“ erhält, ist die Lösungsmenge entweder die leere Menge $\emptyset$ oder die Menge der reellen Zahlen ohne die $5$. Wir schreiben die möglichen Lösungsmengen wie folgt:

  $\mathbb{M}_1=\{\emptyset \}$

  $\mathbb{M}_2=\mathbb {R}\setminus \{5\}$

  Man überprüft eine der beiden möglichen Lösungsmengen durch Einsetzen einer Zahl aus dem angegebenen Bereich. Um es möglichst einfach zu haben, überprüfen wir $\mathbb{M}_2$ durch Einsetzen von $x=0$ in die Ungleichung:

  $\begin{array}{lll} 0 &\gt& 0,25\cdot 0^{2}-2,5\cdot 0+6,25 \\ 0 &\gt& 6,25 \end{array}$

  $0\gt 6,25$ ist eine falsche Aussage. Demnach muss $\mathbb{M}_1$ die richtige Lösungsmenge sein.

• Ordne den Erklärungen die passende mathematische Ausführung zu.

  Tipps

  Ergibt das Einsetzen einer möglichen Zahl aus der Lösungsmenge eine falsche Aussage, so ist diese Menge falsch.

  Normalform einer quadratischen Gleichung:

  $0=x^{2}+px+q$

  Lösung

  Im ersten Schritt wandelt man die Ungleichung in eine Gleichung um, indem man das $\lt$ durch ein $=$ ersetzt.

  Quadratische Gleichung aufstellen

  $0=3x^{2}+12x-15$

  Um die $pq$-Formel anwenden zu können, muss man die Gleichung in der Normalform haben. Dies ist unser zweiter Schritt. Dafür teilt man die Gleichung auf beiden Seiten durch $3$.

  Quadratische Gleichung in Normalform umwandeln

  $0=x^{2}+4x-5$

  Als Nächstes wendet man die $pq$-Formel an. Sie lautet:

  $x_1/x_2=-\frac{p}{2} \pm \sqrt {\frac {p^{2}}{2}-q}$

  Das bedeutet für uns $p=4$ und $q=-5$.

  Lösungen mittels $pq$-Formel ermitteln

  $\begin{array}{lll} x_{1|2} &=& -\frac {4}{2} \pm \sqrt { \frac {4^{2}}{2} -(-5)} \\ x_{1|2} &=& -2 \pm \sqrt {4+5} \\ x_{1|2} &=& -2 \pm \sqrt {9} \\ x_{1|2} &=& -2 \pm 3 \\ \\ x_1 &=& 1 \\ x_2 &=& -5 \end{array}$

  Danach verwendet man die erhaltenen Lösungen, um damit die möglichen Lösungsintervalle anzugeben.

  Mögliche Lösungsmengen angeben

  $\mathbb{M}_1=\{-5 \lt x \lt 1\}$

  $\mathbb{M}_2=\{x \lt -5 \lor x \gt 1\}$

  Nun setzt man eine Zahl aus einer der beiden möglichen Lösungsmengen in die Ungleichung ein und überprüft, ob die Zahl die Ungleichung erfüllt.

  Zahl in Ungleichung einsetzen

  Wir setzen hier $x=0$ ein:

  $\begin{array}{lll} 0 &\lt& 3\cdot {0^{2}}+12\cdot 0-15 \\ 0 &\lt& -15 \end{array}$

  Durch das Lösen der Ungleichung erhalten wir eine falsche Aussage. Diese wird im letzten Schritt bewertet und eine Schlussfolgerung gezogen.

  Lösung der Ungleichung gesondert betrachten

  $x=0$ ist in der Menge $\mathbb{M}_1$ enthalten. Das Einsetzen ergab eine falsche Aussage. Demnach ist die richtige Lösungsmenge $\mathbb{M}_2$.

• Ermittle die Lösungsmenge der gegebenen Ungleichung.

  Tipps

  Die $pq$-Formel darf nur in der Normalform der quadratischen Gleichung angewendet werden. Diese lautet:

  $0=x^2+px+q$

  Das mathematische Symbol $\lor$ bedeutet „und“.

  Lösung

  Um die quadratische Ungleichung $y\lt -2x^{2}+32x-121$ an der Stelle $y=2$ lösen zu können, bedarf es einiger Zwischenschritte. Zunächst setzen wir $y=2$ ein und erhalten:

  $2\lt 4x^{2}+16x-46$

  Als Nächstes muss die quadratische Ungleichung in die allgemeine Form einer quadratischen Ungleichung $0\lt ax^{2}+bx+c$ umgewandelt werden. Das wird durch Umformungen auf beiden Seiten erreicht. Hier subtrahieren wir auf beiden Seiten $2$:

  $\begin{array}{llll} 2 &\lt& 4x^{2}+16x-46 & \vert -2 \\ 0 &\lt& 4x^{2}+16x-48 & \end{array}$

  Um die Lösungen der umgeformten quadratischen Ungleichung bestimmen zu können, muss man sie in eine quadratische Gleichung umwandeln, indem man die Relationszeichen austauscht. Aus $\lt$ wird $=$:

  $0 \lt 4x^{2}+16x-48$

  Um nun die $pq$-Formel anwenden zu können, wird die quadratische Gleichung aus der allgemeinen in die Normalform $0=x^ {2}+px+q$ umgewandelt. Man dividiert durch den Faktor $a$ (hier 4) vor dem $x^2$ und erhält die Normalform:

  $\begin{array}{llll} 0 &\lt& 4x^{2}+16x-48 & \vert :4 \\ 0 &\lt& x^{2}+4x-12 & \end{array}$

  Jetzt können wir die $pq$-Formel anwenden und die beiden möglichen Lösungen bestimmen. Die $pq$-Formel lautet:

  $x_{1|2}=-\frac {p}{2}\pm \sqrt {\left(\frac {p}{2}\right)^2 -q}$

  Mit $p=4$ und $q=-12$ erhalten wir:

  $\begin{array}{lll} x_{1|2} &=& -\frac {4}{2}\pm \sqrt {\left(\frac {4}{2}\right)^2 +12} \\ x_{1|2} &=& -2\pm \sqrt {4 +12} \\ x_{1|2} &=& -2\pm \sqrt {16} \\ x_{1|2} &=& -2\pm 4 \\ \\ x_1 &=& 2 \\ x_2 &=& -6 \end{array}$

  Daraus ergeben sich dann die beiden Lösungen. Nun haben wir zwei Zahlen erhalten, die unsere Lösungsmengen beschreiben. Dabei ist darauf zu achten, dass unsere Relationszeichen kein „kleiner gleich“ enthalten, also müssen wir das auch bei der Angabe der Mengen berücksichtigen. Es ergeben sich die folgenden möglichen Lösungsmengen:

  $\mathbb {M}_1= \{\mathbb{R}\mid -6\lt x \lt 2\}$

  $\mathbb {M}_2= \{\mathbb{R}\mid x \lt -6 \lor x\gt 2\}$

  Um jetzt herausfinden zu können, welche Menge die richtige ist, setzen wir eine mögliche Lösung aus einer der beiden Mengen in die Ungleichung ein. In diesem Fall wird $x=0$ aus der Menge $\mathbb{M}_1$ eingesetzt. Erhalten wir eine wahre Aussage, so wissen wir, dass $\mathbb{M}_1$ die gesuchte Menge ist:

  $\begin{array}{lll} 2 &\lt& 4\cdot 0^{2}+16\cdot 0-46 \\ 2 &\lt& 0+0-46 \\ 2 &\lt& -46 \end{array}$

  Die Aussage $2 \lt -46$ ist eine falsche Aussage und zeigt uns, dass $\mathbb{M}_2$ die Lösungsmenge der Ungleichung sein muss. Die gesuchte Lösungsmenge lautet also:

  $\mathbb {M}_2= \{\mathbb{R}\mid x \lt -6 \lor x\gt 2\}$

• Gib die möglichen Lösungsmengen folgender Ungleichungen an.

  Tipps

  Bei zwei Ergebnissen bekommt man Lösungsmengen, die zwischen den beiden Ergebnissen liegen oder außerhalb davon.

  Ausgehend von dem Relationszeichen der Ungleichung stellt man dann mit den berechneten $x$-Werten mögliche Lösungsmengen der Ungleichung auf. Dabei gilt:

  • Für $\gt$ und $\lt$ sind die Grenzen, also die $x$-Werte, in den möglichen Lösungsmengen nicht enthalten.
  • Für $\geq$ und $\leq$ sind die Grenzen, also die $x$-Werte, in den möglichen Lösungsmengen enthalten.

  Die $pq$-Formel liefert für die Gleichung $0=x^2$ folgende Lösung:

  $x=0$

  Demnach erhält man folgende mögliche Lösungsmengen der Ungleichung $0\lt x^2$:

  $\mathbb{M}_1=\emptyset$

  $\mathbb{M}_2=\mathbb{R}\setminus\{0\}$

  Der Abbildung können wir entnehmen, dass diese Ungleichung die Lösungsmenge $\mathbb{M}_2$ hat, denn alle $y$-Werte auf dieser Parabel sind für $x\neq 0$ größer als $0$.

  Lösung

  Ungleichung 1: $0\lt -2x^{2}+32x-126$

  Die $pq$-Formel liefert für die zugehörige Gleichung diese Lösungen:

  $x_1=7$

  $x_2=9$

  Bei den beiden Ergebnissen der $pq$-Formel ergeben sich die folgenden möglichen Lösungsmengen:

  $\mathbb{M}_1=\{x\in \mathbb {R} \mid 7 \lt x \lt 9\}$

  $\mathbb{M}_2=\{x\in \mathbb {R} \mid x \gt 9 \lor x \lt 7\}$

  $\mathbb{M}_1$ enthält alle Lösungen, die zwischen $7$ und $9$ liegen. Das ergibt sich dadurch, dass die Ungleichung „echt kleiner“ $\lt$ sein soll. $\mathbb{M}_2$ enthält alle Lösungen, die größer als $9$ oder kleiner als $7$ sind. Hat man zwei Ergebnisse der $pq$-Formel, sind die Lösungsmengen innerhalb der beiden Zahlen oder außerhalb der beiden Zahlen.

  Ungleichung 2: $~ 0 \gt 0,25x^{2}-2,5x+6,25$

  Die $pq$-Formel liefert für die zugehörige Gleichung folgende Lösung:

  $x=5$

  Hat man nur eine Lösung der quadratischen Gleichung, so hat man wieder zwei mögliche Lösungsmengen. Die $5$ ist in beiden Lösungsmengen nicht enthalten, sodass entweder die leere Menge oder alle reellen Zahlen, außer der $5$, infrage kommen:

  $\mathbb{M}_1=\emptyset$

  $\mathbb{M}_2=\{\mathbb {R} \setminus 5\}$

• Vervollständige die Rechenschritte.

  Tipps

  Aus $x^{2} \lt 2x^{2}+bx+c$ wird durch Subtraktion von $x^2$ auf beiden Seiten der Gleichung:

  $0 \lt x^{2}+bx+c$

  Lösung

  Wir betrachten die Ungleichung $x^{2} \lt \frac {3}{2}x^{2} +4x-24$. Um diese Ungleichung zu lösen, bringen wir sie zunächst in die allgemeine Form:

  $0\lt\frac 12 x^ {2}+4x-24$

  Nun ersetzt man erst das $\lt$ durch $=$ und bringt die Gleichung anschließend in die Normalform:

  $\begin{array}{llll} 0 &=& \frac 12 x^ {2}+4x-24 & \vert :\frac 12 \\ 0 &=& x^ {2}+8x-48 & \end{array}$

  Erst jetzt kann man die $pq$-Formel anwenden:

  $\begin{array}{lll} x_{1|2} &=& -\frac {8}{2}\pm \sqrt {\left(\frac {8}{2}\right)^2 -(-48)} \\ x_{1|2} &=& -4\pm \sqrt {\left(4\right)^2 +48} \\ x_{1|2} &=& -4\pm \sqrt {16 +48} \\ x_{1|2} &=& -4\pm \sqrt {64} \\ x_{1|2} &=& -4\pm 8 \\ && \\ x_1 &=& 4 \\ x_2 &=& -12 \\ \end{array}$

  Nun stellen wir die möglichen Lösungsmengen auf:

  $\mathbb {M}_1= \{\mathbb{R}\mid -12\lt x \lt 4\}$

  $\mathbb {M}_2= \{\mathbb{R}\mid x \lt -12\lor x\gt 4\}$

  Wir überprüfen die Menge $\mathbb {M}_1$ durch Einsetzen von $x=0$ in $0\lt\frac 12 x^ {2}+4x-24$:

  $\begin{array}{lll} 0 &\lt& \frac 12 \cdot 0^ {2}+4\cdot 0-24 \\ 0 &\lt& -24 \end{array}$

  Das ist eine falsche Aussage, sodass $\mathbb {M}_2$ die gesuchte Lösungsmenge ist.