Lösungsmengen quadratischer Ungleichungen

Lösungsmengen quadratischer Ungleichungen Übung

• Bestimme die Lösungsmenge.

  Tipps

  Die Lösungsmenge einer quadratischen Ungleichung wird von den Lösungen der quadratischen Gleichung begrenzt.

  Die Lösungsmenge der Gleichung $x^2 + 4 < 0$ ist leer.

  Eine Gleichung der Form $x^2 + c > 0$ mit $c \neq 0$ hat entweder keine oder zwei Lösungen.

  Lösung

  Beispiel 1:

  Um die Lösungsmenge der Ungleichung $x^2 +1 \leq 0$ zu finden, bestimmt Graf Graph zuerst die Lösungsmenge der Gleichung $x^2 +1 = 0$. Die Lösungen dieser Gleichung sind die Nullstellen der Funktion

  $f(x) = x^2+1$.

  Da $1 > 0$ ist und $ x^2 \geq 0$ ist für alle $x \in \mathbb R$, ist auch $x^2 +1 > 0$. Die Funktion $f(x) = x^2+1$ hat also keine Nullstellen. Es gibt auch keine $x \in \mathbb R$ mit $f(x) \leq 0$, daher ist die Lösungsmenge der Ungleichung $x^2 + 1 \leq 0$ leer, also:

  $\mathbb L = \emptyset$.

  Da $f(x) \geq 1 > 0$ für alle $x \in \mathbb R$ gilt, ist die Lösungsmenge der Ungleichung $x^2 +1 > 0$:

  $\mathbb L = \mathbb R$.

  Beispiel 2:

  Die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung $x^2 - 1 \leq 0$ wird durch die Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung begrenzt. Die Lösungsmenge der Gleichung $x^2-1=0$ sind die Nullstellen der quadratischen Funktion:

  $f(x) =x^2-1$.

  Diese Funktion hat zwei Nullstellen, nämlich $x_1=-1$ und $x_2=1$. Um die Lösungsmenge der Ungleichung $x^2-1 \leq 0$ zu finden, sucht Graf Graph alle reellen Zahlen $x$, für die $x^2-1$ kleiner oder gleich $0$ ist. Dies sind alle $x \in \mathbb R$, für die $x^2 \leq 1$ gilt, also alle $x \in \mathbb R$ zwischen $x_1$ und $x_2$. Die Lösungsmenge ist demnach:

  $\mathbb L = \{x \in \mathbb R\,|\, -1 \leq x \leq 1\}$.

  Die Lösungsmenge der Ungleichung $x^2-1 > 0$ besteht aus allen reellen Zahlen $x$, für die $x^2 > 1$ gilt, also alle Zahlen $x$, die größer als $1$ oder kleiner als $-1$ sind. Daher findet Graf Graph hier die Lösungsmenge:

  $\mathbb L = \{x \in \mathbb R\,|\, x < -1 \text{ oder } x > 1\}$.

• Gib die Lösungsmengen an.

  Tipps

  Die Lösungsmenge einer Ungleichung der Form $x^2 -c > 0$ mit $c \neq 0$ ist nicht leer.

  Es gibt keine reelle Zahl $x$ mit $x^2 < 0$.

  Die Lösungsmenge einer Ungleichung mit dem Vergleichszeichen $\geq$ oder $\leq$ enthält auch das Vergleichszeichen $\geq$ oder $\leq$.

  Lösung

  Die Lösungsmenge einer quadratischen Ungleichung wird durch die Lösungsmenge der zugehörigen quadratischen Gleichung begrenzt. Bei den Vergleichszeichen $\geq$ und $\leq$ gehören die Lösungen der quadratischen Gleichung zu der Lösungsmenge der Ungleichung, bei den Vergleichszeichen $>$ und $<$ nicht. Hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen, so liegen die Lösungen der Ungleichung entweder zwischen diesen beiden Lösungen oder außerhalb der Lösungen.

  Konkret ergeben sich folgende Zuordnungen:

  • Die Lösungsmenge der Ungleichung $x^2 -1 >0$ ist $\mathbb L = \{x \in \mathbb R\,|\, x < -1 \text{ oder } x>1\}$.

  • Die Lösungsmenge der Ungleichung $x^2-1 < 0$ ist $\mathbb L = \{ x \in \mathbb R\,|\, -1 < x < 1\}$.

  • Für die Ungleichung $x^2-1 \leq 0$ ergibt sich die Lösungsmenge $\mathbb L= \{x \in \mathbb R\,|\, -1 \leq x \leq 1 \}$.

  • Die Ungleichung $x^2 < 0$ hat die Lösungsmenge $\mathbb L = \emptyset$.

  • Für die Ungleichung $x^2 > 0$ findet Graf Graph die Lösungsmenge $\mathbb L = \mathbb R \backslash \{0\}$.

• Charakterisiere die Lösungsmengen.

  Tipps

  Die Lösungen einer quadratischen Gleichung sind auch Lösungen der Ungleichung mit den Vergleichszeichen $\geq$ bzw. $\leq$.

  Die Lösungsmenge der Ungleichung $x^2 -9 \leq 0$ ist:

  $\mathbb L = \{x \in \mathbb R\,|\, -3 \leq x \leq 3 \}$.

  Die Zahl $x=5$ ist keine Lösung der Ungleichung $x^2 -25 > 0$.

  Lösung

  Die Lösungsmenge einer quadratischen Ungleichung wird durch die Lösungsmenge der zugehörigen quadratischen Gleichung begrenzt. Bei den Vergleichszeichen $\geq$ und $\leq$ gehören die Lösungen der quadratischen Gleichung zu der Lösungsmenge der Ungleichung, bei den Vergleichszeichen $>$ und $<$ nicht. Hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen, so liegen die Lösungen der Ungleichung entweder zwischen diesen beiden Lösungen oder außerhalb der Lösungen.

  Aus diesen allgemeinen Überlegungen ergeben sich folgende Zuordnungen:

  • Die Ungleichung $x^2-4 >0$ hat die Lösungsmenge $\mathbb L=\{x \in \mathbb R\,|\, x < -2 \text{ oder } x > 2\}$.

  • Für die Ungleichung $x^2-4 \leq 0$ finden wir die Lösungsmenge $\mathbb L= \{x \in \mathbb R\,|\, -2 \leq x \leq 2\}$.

  • Die Lösungsmenge der Ungleichung $x^2-\pi^2 \leq 0$ ist $\mathbb L = \{x \in \mathbb R\,|\, -\pi \leq x \leq \pi\}$.

  • Die Ungleichung $x^2 -\pi \geq 0$ hat die Lösungsmenge $\mathbb L = \{x \in \mathbb R\,|\, x \leq -\sqrt{\pi} \text{ oder } x \geq \sqrt{\pi} \}$.

• Analysiere die Ungleichungen.

  Tipps

  Ist die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung nicht leer, so ist auch die Lösungsmenge der Ungleichungen mit dem Vergleichszeichen $\geq$ bzw. $\leq$ nicht leer.

  Lösungen einer quadratischen Gleichung sind keine Lösung der quadratischen Ungleichungen mit den Vergleichszeichen $<$ bzw. $>$.

  Aus der binomischen Formel $(x-2)^2 = x^2 -4x +4$ kannst Du ablesen, dass die Ungleichung $x^2 - 4x + 4 < 0$ keine Lösungen hat.

  Lösung

  Für jede reelle Zahl $x$ ist $x^2 \geq 0$. Daher hat die Gleichung $x^2 < 0$ keine Lösungen. Das Gleiche gilt für die Ungleichungen $x^2 + c <0$ und $x^2 + c \leq 0$, wenn $c>0$ ist.

  Die Ungleichung in der Normalform $x^2 + px +q < 0$ hat keine Lösungen, wenn $q > \frac{p^2}{4}$ ist. Das kannst Du an der $pq$-Formel für die Lösungen der quadratischen Gleichung ablesen. Unter der Wurzel steht dann eine negative Zahl, daher hat die quadratische Gleichung keine Lösungen. Mit der quadratischen Ergänzung kannst Du auch leicht sehen, dass die Ungleichung keine Lösungen hat. Es ist nämlich:

  $x^2 + px + q = (x-\frac{p}{2})^2 + (q - \frac{p^2}{4})$.

  Ist der zweite Term positiv, so kann die Ungleichung keine Lösungen haben.

  Im einzelnen ergeben sich die folgenden Aussagen.

  Leer sind die Lösungsmengen folgender Ungleichungen:

  • $x^2 + 3 < 0$: $\quad$ Da $3 > 0$, gilt für alle $x \in \mathbb R$ auch $x^2 + 3 \geq 3 > 0$.

  • $x^2 + 2x + 1 < 0$: $\quad$ Für alle $x \in \mathbb R$ ist $x^2 + 2x +1 = (x+1)^2 >0$. Die zugehörige quadratische Funktion hat zwar eine Nullstelle, aber die gehört wegen des $\lt$-Zeichens in der Ungleichung nicht zur Lösungsmenge.

  • $-x^2 - \pi > 0$: $\quad$ Wegen $\pi > 0$ ist für alle $x \in \mathbb R$ hier $-x^2 - \pi \leq -\pi < 0$.

  Nicht leer sind die Lösungsmengen für die folgenden Ungleichungen:

  • $x^2 -2 \leq 0$: $\quad$ Die Lösungsmenge ist $\mathbb L = \{x \in \mathbb R \,|\, -\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}\}$.

  • $x^2 - 2x +1 \leq 0$: $\quad$ Für alle $x \in \mathbb R$ gilt: $x^2-2x+1 = (x-1)^2\geq 0$. Die Lösungsmenge der Ungleichung ist die Lösungsmenge der zugehörigen Gleichung, also $\mathbb L = \{1\}$. Es handelt sich dabei um die Nullstelle der zugehörigen quadratischen Funktion. Wegen des $\leq$-Zeichens in der Ungleichung gehört diese auf jeden Fall zur Lösungsmenge dazu.

  • $x^2 +1 \geq 0$: $\quad$ Für alle $x \in \mathbb R$ ist $x^2 \geq 0$. Daher ist auch $x^2 + 1 > 0$. Die Lösungsmenge ist also $\mathbb L = \mathbb R$.

• Gib die korrekten Aussagen über Lösungen quadratischer Gleichungen an.

  Tipps

  Es gibt keine reelle Zahl $x$ mit $x^2 = -1$.

  Hat eine quadratische Gleichung keine Lösung, so ist $\mathbb L = \emptyset$.

  Es gibt keine quadratische Gleichung mit drei oder mehr Lösungen.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind wahr:

  • „Es gibt quadratische Gleichungen mit genau einer Lösung.“ Die Gleichung $x^2 =0$ hat die einzige Lösung $x=0$.

  • „Die Gleichung $x^2 -1 =0$ hat zwei Lösungen.“ Die beiden Lösungen sind $x_1=-1$ und $x_2 = 1$.

  • „Die Ungleichung $x^2+1 <0$ ist in Normalform.“ Die Normalform einer quadratischen Ungleichung ist $x^2 + px + q <0$. Hier kann auch ein anderes Vergleichszeichen stehen, aber der Koeffizient von $x^2$ ist in der Normalform immer $1$.

  • „Jede quadratische Gleichung hat eine Lösungsmenge.“ Die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung ist die Menge $\mathbb L$ aller Lösungen der Gleichung. Diese Menge gibt es immer. Hat die Gleichung keine Lösungen, so ist $\mathbb L = \emptyset$.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Eine quadratische Gleichung hat mindestens zwei Lösungen.“ Eine quadratische Gleichung hat höchstens zwei Lösungen; sie kann keine, eine oder zwei Lösungen haben. Andere Fälle sind nicht möglich.

  • „Jede quadratische Gleichung hat eine Lösung $x \in \mathbb R$.“ Die Gleichung $x^2 +1 = 0$ hat keine Lösung $x \in \mathbb R$, denn für jede reelle Zahl $x$ ist $x^2 \geq 0$ und daher $x^2 +1 \geq 1 >0$.

  • „Die Ungleichung $ax^2 + bx +c >0$ ist in Normalform.“ Die Aussage ist falsch, wenn $a\neq 1$ ist, denn bei quadratischen Ungleichungen in Normalform ist der Koeffizient von $x^2$ stets $1$.

• Erschließe die Ungleichungen.

  Tipps

  Ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ hat den Flächeninhalt $a b$.

  Lösung

  Folgende Beschreibungen sind korrekt:

  • „Graf Graph zeichnet ein Koordinatensystem und zieht mit dem Zirkel einen Kreis mit Radius $r$ um den Ursprung. Für Punkte auf der $x$-Achse, die innerhalb des Kreises liegen und nicht auf der Kreislinie selbst, findet er die Ungleichung $x^2 < r^2$.“ Die Punkte auf der $x$-Achse, die im Inneren des Kreises liegen und nicht auf dem Rand, haben einen Abstand zum Mittelpunkt, der kleiner ist als $r$. Der Abstand ist der Betrag der $x$-Komponente. Für alle diese Punkte gilt daher die Ungleichung $x^2 < r^2$.

  • „Graf Graph zeichnet im Koordinatensystem gleichseitige Dreiecke mit Kantenlänge $x$. Er interessiert sich nur für Dreiecke mit einem Flächeninhalt von mindestens $2$. Dies führt ihn auf die Ungleichung $x^2 - \frac{4}{\sqrt{3}} \geq 0$.“ Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist die Hälfte des Produktes aus der Grundseite und der Höhe. Hier ist die Grundseite $x$. Bei einem gleichseitigen Dreieck ist die Höhe zugleich die Mittelsenkrechte. Das halbierte gleichseitige Dreieck ist rechtwinklig: die Hypotenuse ist eine Seite $x$ des gleichseitigen Dreiecks, die Katheten sind die Höhe $h$ und die halbierte Seite $\frac{x}{2}$. Der Satz des Pythagoras liefert die Gleichung $\frac{x^2}{4} + h^2 = x^2$. Umgestellt nach $h$ ergibt sich $h = \sqrt{\frac{3}{4}} x^2$. Der Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks ist dann $A=\frac{1}{2} x \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$. Die Ungleichung für den Flächeninhalt lautet also $\frac{\sqrt{3}}{4} x^2 \geq 1$ bzw. in Normalform $x^2 - \frac{4}{\sqrt{3}} \geq 0$.

  Die folgenden Beschreibungen sind falsch:

  • „Graf Graph zeichnet ein Quadrat der Kantenlänge $q$. Dann zeichnet er ein Rechteck. Die eine Seite ist $p$, die andere Seite nennt er $x$. Sie soll so groß sein, dass die Fläche des Rechtecks größer ist als die des Quadrates. Diese Forderung an die Seite $x$ beschreibt er durch die Ungleichung $x^2 + px + y > 0$.“ Der Flächeninhalt des Quadrates ist $q^2$, der des Rechtecks $px$. Die korrekte Bedingung wäre $px > q^2$ bzw. $px - q^2 > 0$. Dies ist keine quadratische Ungleichung für $x$.

  • „Im Koordinatensystem sucht Graf Graph alle Punkte, für die die Differenz der Koordinaten mindestens $1$ ist. Die Menge dieser Punkte beschreibt er als Lösungsmenge der Ungleichung $x^2 >10$.“ Die Differenz der Koordinaten ist $x-y$ bzw. $y-x$, die Ungleichung wäre daher $x-y \geq 1$ oder $y-x \geq 1$. Beides sind keine quadratischen Ungleichungen für $x$.