Prozentgleichungen lösen

Prozentgleichungen lösen Übung

• Gib die Prozentformel und die Bedeutung der Variablen an.

  Tipps

  In Worten lautet die Prozentformel:

  Prozentwert : Grundwert = Prozentzahl : 100

  Schau dir folgendes Beispiel an:

  $\begin{array}{llr} G & = & 200~\text{m}\ell \\ W & = & 120~\text{m}\ell \\ p & = & 60 & \end{array}$

  Lösung

  Die Prozentformel erlaubt die Berechnung von

  • dem Prozentwert $W$, falls $G$ und $p$ bekannt sind.
  • dem Grundwert $G$, falls $W$ und $p$ bekannt sind.
  • der Prozentzahl $p$, falls $G$ und $W$ bekannt sind.

  Die Formel lautet $\frac{W}{G}=\frac{p}{100}$ und kann durch Äquivalenzumformungen nach der gesuchten Größe umgestellt werden.

• Berechne die gesuchten Prozentwerte.

  Tipps

  Die Prozentzahl $p$ wird oft zusammen mit der Einheit $\%$ angegeben. Es gilt $p\% = \frac{p}{100}$.

  Also musst du für $p$ die Zahl vor dem Prozentzeichen aus Großmutters Rezept einsetzen.

  Im Folgenden siehst du ein ähnliches Beispiel:

  Gegeben: $G=100\ \text{kg}$, $p=50$

  Gesucht: $W=~?$

  Lösung:

  $\begin{array}{lllll} \frac{W}{100} & = & \frac{50}{100} && \vert \cdot 100 \\ \\ W & = & \frac{50}{100}\cdot 100 && \\ \\ W & = & 50\ \text{[kg]}&& \\ \end{array}$

  Lösung

  Folgende Angaben sind uns aus der Aufgabenstellung für $200\ \text{m}\ell$ Liebestrank bekannt:

  • $20\,\%$ Honig,
  • $\frac{1}{2}$ Fledermausflügel,
  • $50$ Tränen der Liebe und
  • $17,\!5\,\%$ Feenstaub.

  Für unsere Berechnung interessieren uns folgende Größen:

  • Menge Liebestrank $200\ \text{m}\ell$,
  • Anteil Honig $20\,\%$ und
  • Anteil Feenstaub $17,\!5\,\%$.

  Mit diesen drei Größen und der Prozentformel

  $\dfrac{W\ \text{(Prozentwert)}}{G\ \text{(Grundwert)}}=\dfrac{p\ \text{(Prozentzahl)}}{100}$

  können wir die Mengenangaben für Honig und Feenstaub in $\text{m}\ell$ berechnen.

  Berechnung der Menge von Honig

  Gegeben: $G=200\ \text{m}\ell$, $p=20$

  Gesucht: $W=~?$

  Lösung:

  $\begin{array}{lllll} \\ \frac{W}{200} & = & \frac{20}{100} && \vert \cdot 200 \\ \\ W & = & \frac{20}{100}\cdot 200 && \\ \\ W & = & 40\ [\text{m}\ell]&& \\ \\ \end{array}$

  Also muss Oswald dem Liebestrank $40\ \text{m}\ell$ Honig zumischen.

  Berechnung der Menge von Feenstaub

  Gegeben: $G=200\ \text{m}\ell$, $p=17,\!5$

  Gesucht: $W=~?$

  Lösung:

  $\begin{array}{lllll} \\ \frac{W}{200} & = & \frac{17,5}{100} && \vert \cdot 200 \\ \\ W & = & \frac{17,5}{100}\cdot 200 && \\ \\ W & = & 35\ [\text{m}\ell]&& \\ \\ \end{array}$

  Von dem Feenstaub kommen $35\ \text{m}\ell$ in den Liebestrank.

• Bestimme die gesuchten Prozentwerte.

  Tipps

  Nutze für die Berechnungen die Prozentformel:

  $\dfrac{W\ \text{(Prozentwert)}}{G\ \text{(Grundwert)}}=\dfrac{p\ \text{(Prozentzahl)}}{100}$.

  Durch Äquivalenzumformung kannst du diese nach dem Prozentwert $W$ umstellen.

  Wir betrachten ein Beispiel.

  Gegeben: $G=150\ \text{Personen}$, $p=30$

  Gesucht: $W$

  Lösung:

  $\begin{array}{lllll} \frac{W}{150} & = & \frac{30}{100} && \vert \cdot 150 \\ \\ W & = & \frac{30}{100}\cdot 150 && \\ \\ W & = & 45\ \text{[Personen]}&& \\ \\ \end{array}$

  Lösung

  Folgende Daten sind uns aus der Aufgabenstellung bekannt:

  Die Gesamtzahl der Schüler aus beiden Kursen beträgt $40$. Diese liefert uns unseren Grundwert $G=40$.

  Die Prozentzahlen $p$ sind gegeben durch die Liste von Frau Schiller. Diese entnehmen wir der ersten Tabellenspalte.

  $\begin{array}{r|l} p & \text{Grund} \\ \hline 10\,\% & \text{Klausur im anderen Kurs} \\ 20\,\% & \text{Krankheit} \\ 12,\!5\,\% & \text{bereits im Zoo gewesen} \\ 5\,\% & \text{Allergie gegen Tierhaare} \\ \end{array}$

  Die gegebenen Daten, eingesetzt in die Prozentformel $\frac{W}{G}=\frac{p}{100}$, liefern uns die gesuchten Prozentwerte $W$.

  Berechnung der Anzahl der Schüler, die aufgrund einer Klausur nicht teilnehmen können:

  Gegeben: $G=40\ \text{Sch}\ddot{\text{u}}\text{ler}$, $p=10$

  Gesucht: $W$

  Lösung:

  $\begin{array}{lllll} \dfrac{W}{40} & = & \dfrac{10}{100} && \vert \cdot 40 \\ \\ W & = & \dfrac{10}{100}\cdot 40 && \\ \\ W & = & 4\ \text{[Sch}\ddot{\text{u}}\text{ler]}&& \\ \end{array}$

  Berechnung der Anzahl der Schüler, die aufgrund einer Krankheit nicht teilnehmen können:

  Gegeben: $G=40\ \text{Sch}\ddot{\text{u}}\text{ler}$, $p=20$

  Gesucht: $W$

  Lösung:

  $\begin{array}{lllll} \dfrac{W}{40} & = & \dfrac{20}{100} && \vert \cdot 40 \\ \\ W & = & \dfrac{20}{100}\cdot 40 && \\ \\ W & = & 8\ \text{[Sch}\ddot{\text{u}}\text{ler]}&& \\ \end{array}$

  Berechnung der Anzahl der Schüler, die bereits im Zoo gewesen sind:

  Gegeben: $G=40\ \text{Sch}\ddot{\text{u}}\text{ler}$, $p=12,\!5$

  Gesucht: $W$

  Lösung:

  $\begin{array}{lllll} \dfrac{W}{40} & = & \dfrac{12,\!5}{100} && \vert \cdot 40 \\ \\ W & = & \dfrac{12,\!5}{100}\cdot 40 && \\ \\ W & = & 5\ \text{[Sch}\ddot{\text{u}}\text{ler]}&& \\ \end{array}$

  Berechnung der Anzahl der Schüler, die aufgrund einer Allergie gegen Tierhaare nicht teilnehmen können:

  Gegeben: $G=40\ \text{Sch}\ddot{\text{u}}\text{ler}$, $p=5$

  Gesucht: $W$

  Lösung:

  $\begin{array}{lllll} \dfrac{W}{40} & = & \dfrac{5}{100} && \vert \cdot 40 \\ \\ W & = & \dfrac{5}{100}\cdot 40 && \\ \\ W & = & 2\ \text{[Sch}\ddot{\text{u}}\text{ler]}&& \\ \end{array}$

• Ermittle die fehlenden Größen.

  Tipps

  Nutze für die Berechnung der fehlenden Größen die Prozentformel:

  $\dfrac{W}{G}=\dfrac{p}{100}$.

  Stelle diese durch Äquivalenzumformungen nach der gesuchten Größe um.

  Lass uns die Formel gemeinsam umstellen:

  Gegeben: $G$, $p$

  $\begin{array}{lllll} \dfrac{W}{G} & = & \dfrac{p}{100} && \vert \cdot G \\ \\ W & = & \dfrac{p}{100}\cdot G && \\ \\ \\ \\ \end{array}$

  Gegeben: $W$, $p$

  $\begin{array}{lllll} \dfrac{W}{G} & = & \dfrac{p}{100} && \\ \\ \dfrac{G}{W} & = & \dfrac{100}{p} && \vert\cdot W\\ \\ G & = & \dfrac{100}{p}\cdot W && \\ \\ \\ \\ \end{array}$

  Gegeben: $G$, $W$

  $\begin{array}{lllll} \dfrac{W}{G} & = & \dfrac{p}{100} && \\ \\ \dfrac{p}{100} & = & \dfrac{W}{G} && \vert\cdot 100\\ \\ p & = & \dfrac{W}{G}\cdot 100 && \end{array}$

  Lösung

  Unsere Prozentformel kann durch Äquivalenzumformungen unter Verwendung der jeweiligen Umkehroperation nach der fehlenden Größe umgestellt werden. Wenn der Prozentwert $W$ gesucht ist, stellen wir die Formel wie folgt um:

  $\begin{array}{lllll} \dfrac{W}{G} & = & \dfrac{p}{100} && \vert \cdot G \\ \\ W & = & \dfrac{p\cdot G}{100} && \\ \\ \\ \\ \end{array}$

  Ist der Grundwert $G$ gesucht, dann können wir die Formel weiter umstellen zu:

  $\begin{array}{lllll} W & = & \dfrac{p}{100}\cdot G && \vert \cdot 100 \\ \\ W\cdot 100 & = & p\cdot G && \vert :p \\ \\ \dfrac{W\cdot 100}{p} & = & G && \\ \\ \\ \\ \end{array}$

  Zuletzt soll diese Formel noch nach der Prozentzahl $p$ umgestellt werden. Wir erhalten folgenden Zusammenhang:

  $\begin{array}{lllll} \dfrac{W\cdot 100}{p} & = & G && \vert \cdot p \\ \\ W\cdot 100 & = & G\cdot p && \vert :G \\ \\ \dfrac{W\cdot 100}{G} & = & p && \\ \\ \\ \\ \end{array}$

  Nun verwenden wir diese Formel(n), um die fehlenden Tabellenwerte zu berechnen.

  Paracetabol

  Gegeben: $G=500\ \text{Personen}$, $W=200\ \text{Personen}$

  Gesucht: $p$

  Lösung:

  $\begin{array}{lllll} p & = & \dfrac{W\cdot 100}{G} && \\ \\ p & = & \dfrac{200\cdot 100}{500} && \\ \\ p & = & 40 && \\ \\ \\ \\ \end{array}$

  Dolorwin

  Gegeben: $W=195\ \text{Personen}$, $p=65$

  Gesucht: $G$

  Lösung:

  $\begin{array}{lllll} G & = & \dfrac{W\cdot 100}{p} && \\ \\ G & = & \dfrac{195\cdot 100}{65} && \\ \\ G & = & 300\ \text{[Personen]}&& \\ \\ \\ \\ \end{array}$

  Ibuproten

  Gegeben: $G=250\ \text{Personen}$, $p=80$

  Gesucht: $W$

  Lösung:

  $\begin{array}{lllll} W & = & \dfrac{p\cdot G}{100} && \\ \\ W & = & \dfrac{80\cdot 250}{100} && \\ \\ W & = & 200\ \text{[Personen]} && \\ \\ \\ \\ \end{array}$

• Beschrifte die Formelzeichen in der Prozentformel.

  Tipps

  Die Prozentzahl wird meistens mit der Einheit $\%$ angegeben. Die Einheit $\%$ bedeutet Hundertstel, also $\frac{1}{100}$. Somit gilt:

  $20\,\%=20\cdot\frac{1}{100}=\frac{20}{100}$.

  Schau dir die Markierungen der Buchstaben an:

  • Grundwert,
  • prozentzahl und
  • ProzentWert.

  Außerdem: Beide Wörter, die das Wort Prozent enthalten, stehen in der Formel im Zähler. Der Grundwert und die $100$ stehen im Nenner.

  Lösung

  Da es sich bei der Prozentformel um eine Gleichung handelt, müssen die rechte und linke Seite der Gleichung zu demselben Resultat führen. Dies gilt nicht nur für den Zahlenwert, sondern auch für die Einheit.

  Der Prozentwert $W$ und Grundwert $G$ haben stets dieselbe Einheit, welche sich auf der linken Seite der Gleichung aufhebt.

  Die Prozentzahl $p$ auf der rechten Seite der Gleichung hat keine Einheit, genauso wie die $100$.

  Hier siehst du noch ein Beispiel: Du willst wissen, was $30\,\%$ von $200\,€$ sind.

  Da du hier eine Prozentangabe siehst, weißt du sofort, dass es sich dabei um $p$ handeln muss. Da die $200\,€$ nicht den $30\,\%$ entsprechen, muss es sich dabei um den Grundwert $G$ handeln. Wir berechnen also Folgendes:

  $\dfrac{P}{200} = \dfrac{30}{100} \Leftrightarrow P = 60\,€$.

• Entscheide, welche Größen gesucht sind und bestimme diese.

  Tipps

  Bei einem Rabatt handelt es sich um einen Preisnachlass. Er beschreibt den Anteil vom Grundwert, den der Kunde nicht bezahlen muss.

  Der prozentuale Anteil, den der Kunde bezahlen muss, ergibt sich dann zu:

  $100\,\% - \text{Rabatt}$.

  Hier folgt ein anderes Beispiel. Wir betrachten nun eine andere Rabattaktion. Auf einen Tisch aus Massivholz gibt es $12\,\%$ Rabatt. Der Ladenpreis von dem Tisch beträgt $1800\,€$.

  Wie viel kostet der Tisch nach dem angebotenen Preisnachlass?

  Gegeben: $G=1800\,€$ und $p=88$

  Lösung:

  $\begin{array}{lllll} W & = & \dfrac{p\cdot G}{100} && \\ \\ W & = & \dfrac{88\cdot 1800\,€}{100} && \\ \\ W & = & 1584\,€ && \end{array}$

  Lösung

  Betrachten wir nun die beiden Textaufgaben.

  In der ersten Aufgabe sind uns folgende Daten bekannt:

  • Rabatt: $12\,\%$
  • endgültiger Preis: $1848\,€$

  Der Kunde bekommt auf die Ware also einen Preisnachlass von $12\,\%$. Das bedeutet, dass er einen Anteil von $100\,\% - 12\,\%=88\,\%$ zu bezahlen hat. Dieser Anteil entspricht einem Endpreis von $1848\,€$. Somit sind folgende Größen für die Prozentrechnung gegeben:

  Gegeben: $W=1848\,€$ und $p=88$

  Gesucht: $G$

  Lösung:

  $\begin{array}{lllll} G & = & \dfrac{W\cdot 100}{p} && \\ \\ G & = & \dfrac{1848\,€ \cdot 100}{88} && \\ \\ G & = & 2100\,€ && \\ \\ \end{array}$

  In der zweiten Aufgabe sind uns folgende Daten bekannt:

  • zu bezahlender prozentualer Anteil: $75\,\%$
  • Preis für zwei Karten ohne Rabattaktion: $16\,€$

  Wir erfahren also direkt, dass der Kunde einen prozentualen Anteil von $75\,\%$ bezahlen muss. Somit sind uns folgende Größen gegeben:

  Gegeben: $G=16\,€$ und $p=75$

  Gesucht: $W$

  Lösung:

  $\begin{array}{lllll} W & = & \dfrac{p\cdot G}{100} && \\ \\ W & = & \dfrac{75\cdot 16\,€}{100} && \\ \\ W & = & 12\,€ && \\ \\ \end{array}$