Prozentgleichungen in mehreren Schritten lösen

Prozentgleichungen in mehreren Schritten lösen Übung

• Gib den gesuchten Preis für ein Paar Pinguin-Skier an.

  Tipps

  Bedenke, dass der Rabatt von $45~\%$ dem Anteil entspricht, den die Yetidame nicht bezahlen muss. Somit liefert der Rabatt von $45~\%$ den jeweiligen Preisnachlass.

  Die Mehrwertsteuer von $8~\%$ wird auf den Ausleihpreis nach Abzug des Preisnachlasses berechnet. Zudem erhöhen Steuern den Ausleihpreis.

  Lösung

  Nun betrachten wir das Problem gemeinsam. Diese Angaben sind uns bekannt:

  • Preis von ein Paar Skiern: $225$ Fischis
  • Rabatt: $45~\%$
  • Mehrwertsteuer: $8~\%$

  Zunächst müssen wir herausfinden, wie vielen Fischis ein Rabatt von $45~\%$ entspricht. Beachte, dass das Prozentzeichen bedeutet, dass du durch $100$ teilen musst. Es ergibt sich folgende Berechnung:

  $225\cdot 45~\%=225\cdot \frac{45}{100}=101,25$

  Dieser Betrag entspricht dem Preisnachlass, den man beim Ausleihen von ein Paar Skiern erhält. Also muss dieser von dem eigentlichen Preis für ein Paar Skier abgezogen werden:

  $225-101,25=123,75$

  Die Mehrwertsteuer von $8~\%$ wird auf den Ausleihpreis nach Abzug des Preisnachlasses berechnet. Also folgt:

  $123,75\cdot 8~\%=123,75\cdot \frac8{100}=9,90$

  Zudem erhöhen Steuern den Ausleihpreis. Also muss dieser Betrag zu dem Preis von $123,75$ Fischis hinzugerechnet werden:

  $123,75+9,90=133,65$

  Die Yetidame Jutta muss also $133,65$ Fischis für das Ausleihen von ein Paar Skiern ausgeben.

• Berechne auf eine geschickte Weise den Preis für ein Paar Pinguin-Skier.

  Tipps

  Das Prozentzeichen $\%$ entspricht $\frac{1}{100}$.

  Der Grundwert entspricht $100~\%$. Wenn der Preisnachlass einem Rabatt von $45~\%$ entspricht, so entspricht der zu zahlende Betrag einem Anteil von $100~\% - 45~\%$.

  Die Mehrwertsteuer erhöht den zu zahlenden Betrag. Der Preis inklusive Mehrwertsteuer entspricht also einem Anteil von $100~\%+8~\%$.

  Lösung

  Folgende Berechnung ist gegeben:

  $ \begin{array}{lll} 225\cdot 45~\% &=& 101,25 \\ 225-101,25 &=& 123,75 \\ 123,75\cdot 8~\% &=& 9,90 \\ 123,75+9,90 &=& 133,65 \end{array} $

  Betrachten wir zunächst die ersten beiden Zeilen:

  $ \begin{array}{lll} 225\cdot 45~\% &=& 101,25 \\ 225-101,25 &=& 123,75 \end{array} $

  Hier wird zuerst der Preisnachlass von $101,25$ berechnet und anschließend von dem ursprünglichen Preis $225$ abgezogen. Das Resultat von $123,75$ entspricht dem Anteil von $100~\%-45~\%=55~\%$. Wir können also auch wie folgt rechnen:

  $225\cdot 55\% =225\cdot\frac{55}{100}= 123,75$

  Nun betrachten wir die nächsten beiden Zeilen:

  $ \begin{array}{lll} 123,75\cdot 8~\% &=& 9,90 \\ 123,75+9,90 &=& 133,65 \end{array} $

  Wir erkennen, dass im ersten Schritt der Anteil von $8~\%$ berechnet und anschließend auf den Betrag von $123,75$ addiert wird. Auch hier können wir eine Zeile sparen. Da die Steuern eine Erhöhung des Preises verursachen, müssen wir den Anteil $100~\%+8~\%=108~\%$ von $123,75$ berechnen. Es folgt:

  $123,75\cdot 108~\% =123,75\cdot\frac{108}{100}= 133,65$.

  Somit haben wir zwei Zeilen von Juttas Rechnung gespart.

• Bestimme auf geschickte Weise den gesuchten Prozentwert.

  Tipps

  Die Prozentformel lautet:

  $\frac{W}{G}=\frac{p}{100}$

  Wie wir wissen, gilt $\% =\frac{1}{100}$. Somit kann die Formel auch wie folgt aufgestellt werden:

  $\frac{W}{G}=p~\%$

  Die Größen in der Prozentformel lauten wie folgt:

  • $W$: Prozentwert
  • $G$: Grundwert
  • $p$: Prozentzahl

  Lösung

  Nachfolgende Angaben sind uns bekannt:

  • Gesamtmenge an Tomaten: $200\ \text{kg}$
  • prozentualer Anteil verkaufter Tomaten: $75~\%$

  Außerdem gilt diese Beziehung:

  $\frac{W}{G}=p~\%$

  Gesucht ist der prozentuale Anteil der verbliebenen Tomaten von der Gesamtmenge. Die Gesamtmenge von $200$ Kilogramm Tomaten entspricht $100$ Prozent. Herr Frucht hat $75$ Prozent seiner Tomaten verkauft. Somit ergibt sich für die verbliebene Menge an Tomaten:

  $100~\% -75~\%=25~\%$.

  Wir rechnen also mit folgenden Größen:

  • $G=200\ \text{kg}$
  • $p=25$

  Somit erhalten wir:

  $ \begin{array}{lll} W &=& G\cdot p~\% \\ W &=& 200\cdot 25~\% \\ W &=& 200\cdot \frac{25}{100} \\ W &=& 50 \end{array} $

• Ermittle durch geschicktes Rechnen den gesuchten Prozentwert.

  Tipps

  Der prozentuale Anteil des verbleibenden Gewichts an Kaffee wird wie folgt bestimmt:

  $100~\% -$ prozentualer Anteil des abgenommenen Gewichts

  Rechne mit der Prozentformel:

  $\frac{W}{G}=p~\%$

  Lösung

  Folgende Angaben sind uns bekannt:

  • ursprüngliches Gewicht an Kaffee: $50\ \text{kg}$
  • prozentualer Anteil des abnehmenden Gewichts an Kaffee: $18~\%$

  Außerdem rechnen wir mit dieser Beziehung:

  $\frac{W}{G}=p~\%$

  Das ursprüngliche Gewicht von $50$ Kilogramm entspricht $100$ Prozent. Davon geht beim Rösten $18$ Prozent verloren. Der prozentuale Anteil, der nach dem Rösten erhalten bleibt, entspricht demnach:

  $100~\% -18~\%=82~\%$

  Somit erhalten wir folgende Rechnung:

  $ \begin{array}{lll} W &=& G\cdot p~\% \\ W &=& 50\cdot 82~\% \\ W &=& 50\cdot 82\cdot \frac{1}{100} \\ W &=& 41 \end{array} $

• Gib die Prozentzahlen als Dezimalzahl an.

  Tipps

  Das Prozentzeichen $\%$ hinter einem Wert besagt, dass dieser Wert mit $\frac{1}{100}$ multipliziert wird.

  Alternativ kannst du den Wert auch durch $100$ dividieren.

  Dividierst du eine Zahl durch $100$, verschiebst du das Komma um zwei Stellen nach links.

  Lösung

  Das Prozentzeichen $\%$ hinter einem Wert besagt, dass dieser Wert mit $\frac{1}{100}$ multipliziert wird. Also müssen wir die gegebenen Prozentzahlen durch $100$ teilen, um auf die gesuchte Dezimalzahl zu kommen. Dividierst du eine Zahl durch $100$, verschiebst du das Komma um zwei Stellen nach links. Wir erhalten folgende Dezimalzahlen:

  • $22~\%=22\cdot\frac{1}{100}=0,22$
  • $215~\%=215\cdot\frac{1}{100}=2,15$
  • $14~\%=14\cdot\frac{1}{100}=0,14$
  • $0,2~\%=0,2\cdot\frac{1}{100}=0,002$

  Die anderen beiden Dezimalzahlen können wir durch Multiplikation mit $100~\%$ in ihre Prozentzahlen umwandeln. Multiplizierst du eine Zahl mit $100$, verschiebst du das Komma um zwei Stellen nach rechts. Wir erhalten:

  • $2,02\cdot 100\%=202~\%$
  • $0,022\cdot 100\%=2,2~\%$

• Ermittle den Preis ohne Mehrwertsteuer.

  Tipps

  Inklusive Mehrwertsteuer bedeutet, dass die Mehrwertsteuer bereits in dem Preis enthalten ist.

  Zuzüglich Mehrwertsteuer bedeutet, dass die Mehrwertsteuer zum angegebenen Preis noch hinzugerechnet werden muss.

  Der Preis inklusive Mehrwertsteuer entspricht $119~\%$.

  Verwende die Prozentformel:

  $\frac{W}{G}=p~\%$

  Dabei entspricht der Grundwert einem Anteil von $100~\%$ und der Prozentwert einem Anteil von $119~\%$.

  Lösung

  Gegeben ist der Verkaufspreis eines Laptops inklusive Mehrwertsteuer:

  • Preis inkl. MwSt.: $1\,428\ €$
  • Mehrwertsteuer: $19~\%$

  Außerdem gilt die Prozentformel:

  $\frac{W}{G}=p~\%$

  Gesucht ist der Preis zuzüglich Mehrwertsteuer. Der angegebene Verkaufspreis enthält bereits die Mehrwertsteuer und entspricht somit $119~\%$. Wir möchten also wissen, wie groß der Grundwert ist, welcher einem prozentualen Anteil von $100~\%$ entspricht. Wir rechnen:

  $ \begin{array}{lll} G &=& \frac{W}{p~\%} \\ G &=& \frac{W~\cdot ~100}{p} \\ G &=& \frac{1\,428~\cdot ~100}{119} \\ G &=& 1\,200 \end{array} $