Mengen – Einführung

Mengen – Einführung Übung

• Bestimme, welche Elemente zur Menge gehören.

  Tipps

  Vergleiche mit diesem Beispiel:

  Ein Goldbarren war nicht im Safe der Baronesse. Man schreibt $\text{Goldbarren}\ \notin\ M$.

  Folgendes gilt für die Schreibweise der Elemente einer Menge:

  Ist das Objekt Element der Menge $M$, schreiben wir $\in\ M$.
  Ist das Objekt nicht Element der Menge $M$, schreiben wir $\notin\ M$.

  Lösung

  Zunächst vergleichen wir, welche Gegenstände sich im Safe der Baronesse befanden und welche nicht.
  In ihrem Safe, den wir Menge $M$ nennen, waren der Diamant, die Geldscheine, die Halskette, der Pokal, das Tagebuch und die Krone. Diese Gegenstände sind Elemente der Menge $M$. Wir schreiben $\in\ M$.

  Die Münzen und der Ring befanden sich nicht im Safe, sie sind also nicht Teil der Menge $M$. Wir schreiben $\notin\ M$.

  Demnach sind folgende Aussagen bezüglich der Menge $M$ richtig:

  • $\text{Diamant}\ \in\ M$
  • $\text{Tagebuch}\ \in\ M$
  • $\text{Geldscheine}\ \in\ M$
  • $\text{Krone}\ \in\ M$
  • $\text{Ring}\ \notin\ M$

  Somit sind diese Aussagen falsch:

  • $\text{Halskette}\ \notin\ M$
  • $\text{M}\ddot{\text{u}}\text{nzen}\ \in\ M$
  • $\text{Pokal}\ \notin\ M$

  Die mathematischen Ausdrücke werden wie folgt gesprochen:

  • $\text{Diamant}\ \in\ M:$ Der Diamant ist Element der Menge $M$.
  • $\text{Halskette}\ \notin\ M:$ Die Halskette ist nicht Element der Menge $M$.

• Bestimme, welche Aussagen über Mengen richtig sind.

  Tipps

  Es werden nur unterschiedliche Elemente aufgeschrieben.

  Es gibt die folgende mathematische Schreibweise:

  $M=\{~\}$

  Was könnte sie bedeuten?

  Bei eindeutigen Fällen, zum Beispiel bei fortlaufenden Zahlen von $1$ bis $100$, kann man Auslassungspunkte verwenden.

  Lösung

  • Dinge, die in einer Menge enthalten sind, nennt man Elemente.

  Diese Aussage ist richtig.

  • Eine Menge wird immer mit dem Großbuchstaben $M$ bezeichnet.

  Diese Aussage ist falsch, weil eine Menge mit jedem beliebigen Großbuchstaben bezeichnet werden kann.

  • Eine Menge kann leer sein.

  Diese Aussage ist richtig. Man schreibt dann zum Beispiel $M = \{~\}$ oder $M = \oslash$.

  • Wir haben eine Menge $M$ mit den Elementen Diamant, Pokal und Geld. Dies ist eine richtige mathematische Schreibweise:

  $M = \{\text{Diamant; Pokal; Geld}\}$
  Diese Aussage ist richtig.

  • Wir haben eine Menge $M$ mit den Elementen Diamant, Diamant, Pokal und Geld. Dies ist eine richtige mathematische Schreibweise:

  $M = \{\text{Diamant; Diamant; Pokal; Geld}\}$
  Diese Aussage ist falsch. Denn es werden nur unterschiedliche Elemente aufgeschrieben, egal wie oft sie vorkommen.

  • Man muss immer jedes Element aufschreiben, egal wie viele Elemente die Menge umfasst.

  Diese Aussage ist falsch, weil man in eindeutigen Fällen wie fortlaufenden Zahlen von $1$ bis $100$ Auslassungspunkte verwenden kann.

  • Wir haben eine Menge $M$ mit den Elementen Tagebuch, Krone und Halskette. Das kann man verschieden aufschreiben:

  $M = \{\text{Tagebuch; Krone; Halskette}\}$
  $M = \{\text{Halskette; Tagebuch; Krone}\}$
  $M = \{\text{Krone; Halskette; Tagebuch}\}$
  Diese Aussage ist richtig, denn die Reihenfolge der Elemente spielt keine Rolle.

• Zeige, welche Elemente zu welcher Menge gehören.

  Tipps

  Manche Elemente gehören weder zu Menge $A$ noch zu Menge $B$. Diese Elemente sind dann weder in $A =$ noch in $B =$ zwischen den geschweiften Klammern zu finden.

  Hier ein mathematischer Tipp:

  $\text{Goldmünze}\notin A$

  Lösung

  Lukas’ Sportrucksack wird als Menge $A$ bezeichnet und die Schatzkiste seines kleinen Bruders als Menge $B$.

  Die mathematische Schreibweise sagt:

  $A = \{\text{Tennisschläger; Schwimmbrille; Fußball; Springseil}\}$

  Also gehören in Lukas’ Sportrucksack der Tennisschläger, die Schwimmbrille, der Fußball und das Springseil.

  Weiterhin haben wir noch:

  $B = \{\text{Muscheln; Perlen; Goldmünze; Bonbon}\}$

  In die Schatzkiste des Bruders gehören demnach die Muscheln, die Perlen, die Goldmünze und der Bonbon.

  Der Basketball und der Papierflieger stehen weder in der mathematischen Schreibweise von Menge $A$ noch von Menge $B$. Also gehören diese Elemente zu keiner der beiden Mengen.

• Entscheide, welche Gegenstände in welche Menge gehören.

  Tipps

  Erinnere dich: Mengen können leer sein.

  Hier ein mathematischer Tipp:

  $\text{Brille}\notin R$

  Lösung

  Timmy nimmt diese Sachen mit: Handy, Ball, Brille, Badehose, Handtuch, Buch und Flasche.
  Mengenbeschreibungen notieren wir mit einem Großbuchstaben. Dann werden die Elemente in beliebiger Reihenfolge aufgezählt und mit Semikolons getrennt sowie zusammen in geschweifte Klammern gesetzt.

  In seinen Rucksack $R$ packt Timmy diese Dinge:

  • $R = \{\text{Handtuch; Badehose; Buch; Handy}\}$

  In seinen Fahrradkorb $K$ legt er diese Dinge:

  • $K = \{\text{Flasche; Ball; Brille}\}$

  Nun hat er alle Sachen verstaut und sein Gepäckträger $G$ bleibt leer. Wir können also sagen, dass die Menge $G$ leer ist. Das schreiben wir so:

  • $G = \{~\}$

  Übrigens kannst du die Elemente in beliebiger Reihenfolge aufschreiben. Also wäre zum Beispiel auch folgende Antwort richtig:

  • $R = \{\text{Badehose; Handtuch; Handy; Buch}\}$

• Bestimme, welche Schreibweise zu welcher abgebildeten Menge passt.

  Tipps

  Erinnere dich: In der mathematischen Schreibweise nutzen wir geschweifte Klammern und Semikolons.

  Es werden nur unterschiedliche Elemente aufgeschrieben.

  Vergleiche, welche Elemente wirklich in der Menge $M$ enthalten sind.

  Zwar können Mengen mit einem beliebigen Großbuchstaben bezeichnet werden, die abgebildete Menge hat aber schon einen bestimmten Buchstaben als Namen.

  Lösung

  Bevor wir die gegebenen Mengen $A$ und $M$ betrachten, schauen wir uns zunächst die mathematische Schreibweise von Mengen an. Eine Menge wird immer mit einem Großbuchstaben bezeichnet. Anschließend werden alle Elemente, die in dieser Menge enthalten sind, innerhalb geschweifter Klammern geschrieben und mittels Semikolons voneinander getrennt. Die Reihenfolge, in der man die Elemente notiert, ist dabei egal. Ist eine Menge leer, stehen keine Elemente zwischen den geschweiften Klammern.

  Diese Mengenbeschreibungen passen zu der abgebildeten Menge $M$:

  • $M = \{\text{Geld; Halskette; Diamant; Pokal; Tagebuch; Krone}\}$
  • $M = \{\text{Pokal; Krone; Tagebuch; Geld; Halskette; Diamant}\}$

  Und so drückt man in der mathematischen Schreibweise Menge $A$ aus:

  • $A = \{~\}$

• Entscheide, ob der Gegenstand Element oder nicht Element von der Menge ist.

  Tipps

  Erinnere dich: $\in$ spricht man Element von und $\notin$ spricht man nicht Element von.

  Vergleiche:

  $\text{Diamant}\in D$

  $B\not{\!\ni} \text{Fussball}$

  Lösung

  Diese vier Mengenbeschreibungen liegen dir vor:

  • $A = \{\text{Topf; Löffel; Tasse; Pfanne}\}$
  • $B = \{\text{Fisch; Huhn; Esel; Ente}\}$
  • $C = \{\text{Fußball; Basketball; Tennis; Schwimmen}\}$
  • $D = \{\text{Kristall; Diamant; Krone; Goldbarren}\}$

  $\in$ bedeutet Element von und $\notin$ bedeutet nicht Element von. Außerdem kennen wir nun auch noch folgende Zeichen: $\ni$ heißt enthält als Element und $\not{\!\ni}$ bedeutet enthält nicht als Element. Somit sind folgende Aussagen richtig:

  • $\text{Topf}\in A$
  • $B\not{\!\ni} \text{Krone}$
  • $\text{Fisch}\notin D$
  • $C\ni\text{Tennis}$
  • $A\ni\text{Pfanne}$
  • $\text{Handball}$ $\notin$ $B$
  • $C\not{\!\ni} \text{Kristall}$
  • $B\ni\text{Ente}$